國民教育論叢，水心遺著，司琦編輯。臺北市：臺灣商務印書館，1979。
水心教授是臺灣最早的兩位教材教法學者之一。水教授字公白，江蘇六合人氏。 我還沒查到水教授的生日，知道他逝於民國 65 年 8 月 7 日，死因是胰臟癌， 來得凶猛而令人措手不及：從發現到病逝，不及三個月。 從他得壽 68 歲的消息，推算他生於民國前 4 年 (1908)。 可能是因為水心匆匆趕往加拿大依親治病不果而驟然殞逝， 竟至如今關於他的生平記錄相當匱乏。 幸好他在生前親筆書寫了《國民教育論叢》的書名， 拜託政治大學的同事司琦教授幫忙整理已發表的文章， 集結成一冊文集。但是那一冊文集仍然缺乏先生的生平軼事。 在悼文方面，僅有臺中師專（臺中教育大學）饒朋湘教授發表過兩篇。 我對水心之個人，所知甚少，感到非常遺憾。
附帶一提，柯華葳老師說她大一的時候，就是水心的學生。 在第一堂課，水老師點名，問她知否「華葳」的典故（她知道）， 而年輕的柯老師居然立刻反嘴問老師：「水心真的是你的名字嗎？」 我第一次看到「水心」這個名字，也以為是筆名。其實是本名。
水心從「師範學校」畢業，不知是哪個師範？ 因為六合縣就在南京的北方郊區（滁河岸邊）， 我猜他讀的是位於南京的「江蘇省立第四師範學校」；這是相當於高中學齡的學校， 教育目標是培育小學教師。 我估計水先生大約在民國 15 年畢業於師範學校，而後擔任了幾年的小學教員； 其後，也許是民國 18 年，又考入「南京高等師範」改制的「中央大學」教育系。 似乎中央大學是水先生的最後學歷，而後他擔任了中學教師， 在抗戰期間進入了國民政府的教育行政部門。 民國 38 年隨政府到了臺灣，起先可能在教育部任職，民國 46 年秋季起（50 歲）， 加入政治大學教育學系的教授行列。
小學是合科教學的，是故從事小學師培與教材教法的學者，也都應該是跨科全能的。 以水教授為例，為他寫悼文的饒教授是他在社會科的合作伙伴， 而我在這篇書摘裡要談的，當然都是他在數學科的著作。
前述兩位最早的「教材教法」專業學者，另一位是創立了台師大社會教育系的孫邦正教授。 孫教授生於民國 2 年 3 月 28 日，比水心年輕四歲，安徽宣城人氏。 孫教授也是中央大學教育系的校友，民國 20 年 6 月入學，應該是水心的學弟。 但是，孫教授後來還獲得美國哥倫比亞大學的教育學碩士學位。 孫教授享壽 95 歲，於民國 96 年 12 月 21 日仙逝於美國， 台師大於次年 1 月 25 日為他舉辦了追悼會。 孫教授著作豐富，中央大學圖書館收藏了 16 本。
這篇書摘同時記錄一本小學數學教材教法的專書《算術教學》和司琦教授代為編輯的《論叢》。 我國的國小數學科一直稱為「算術」，是在民國 57 年實施九年國教的時候， 才改名為「數學」的。 在抗戰時期的民國 30 與 31 年，水心已經出版了三本教育方面的專書。 其中一本與吳研因先生合作 （1886--1975，江蘇江陰人氏，擔任過國民政府和人民政府的初等教育司長）， 另一本與沈子善先生合作（1899--1969，水心的同鄉）。 沈子善在民國 14 年 26 歲之齡，從中央大學前身之東南大學教育科畢業， 不但算是水心的學長，甚至也是第四師範學校的老師（但沈老師到任時，水心可能已經畢業）。 沈先生固然也是民初的教育學者，但是他的個人聲望和主要的社會貢獻， 卻是在書法方面。 水心出版於民國 31 年的書，是獨立作者，由正中書局發行。
初版於民國 55 年的《算術教學》也是正中書局發行的， 這一本是我所知的最早一本數學科教材教法專書。 （某些文章指出，新竹中學的彭商育老師可能寫過更早的一本數學教材教法， 但是還沒找到任何一冊。） 《論叢》收錄的最早一篇文章，發表於民國 30 年 12 月； 是時雖是戰爭期間，但是政府並未放棄教育，人民也沒有自絕於教育的機會； 雖然那個時代距離全民教育的理想還很遠，但畢竟還是有為數不少的青年， 跟著國民政府一邊逃難一邊上學； 那個時代的故事，散見於渡海老人的傳記， 例如故建中國文老師盧毅君先生的自傳： 浪跡江湖一甲子。
《論叢》收錄的算術方面文章，發表於民國 42、43、51、55 與 57 年。 從這些文章可知水心能夠閱讀英文的原文文獻。 《論叢》在算術方面的最後一篇文章出於民國 57 年，那是九年國民教育毅然開始實施的頭一年，而這篇文章對於美國的「新數學」有非常高價值的報導與解析。 這篇文章的第一段，出現了一個相當前瞻性的字眼「素養」：
由於數學知識本身之急遽增加，因而對於現代公民應有的素養， 提出了比以前更大的要求。這篇文章載於民國 57 年 2 月 5 日出版的第 928 期《中國一周》， 標題是〈美國小學算術教學的新實驗〉。
《算術教學》引述教育部民國 51 年 7 月修訂公告的《國民學校課程標準》（國教司發行）， 規定一、二年級每週 60 分鐘數學課（在「團體活動」以外，每週總學習時數為 930 分鐘）， 三、四年級每週 180 分鐘（總數為 1290 分鐘）， 五年級每週筆算時數同四年級，但增加 60 分鐘珠算（總時數為 1530 分鐘）， 六年級每週 210 分鐘筆算、30 分鐘珠算（總數同五年級）。 在《標準》第五頁寫著
清末民初的小學各年級都有算術，但都注重筆算。 民國 25 年以後，自四年級起加授珠算。民國 37 年修訂課程標準時， 將低年級的算術改為「隨機教學」，不特定教學時間，至於珠算仍從四年級起教學。 此次修訂，將低年級的算術改回「定時教學」，但仍可實施隨機教學， 並將珠算改自五年級起教學。水心接著說，自從 1902 年清末的學制改變以來 （1902 是清光緒廿八年，也是ㄚ丹出生的前一個甲子，歲次壬寅， 故當年清廷頒佈的教育新制又稱為壬寅學制），我國的小學教育就有算術， 而其內容受到美國的影響最大。我倒是質疑這個觀點：美國的影響肯定很強， 但是並沒有那麼長遠。 當時的美國還不是列強之首，她的政治與學術影響力都還未超越歐洲。 中國知識份子對美國的好感，也許可以推溯到戊戌政變的時候，這個觀點來自龍應台、 朱維錚編注的 戊戌百年記。 而美國在中國的影響力，應該是在越來越多頂尖人才運用庚子賠款赴美留學歸國之後， 才逐漸增強的；例如民國 8 年五四運動之際來到中國的杜威，很可能是一項關鍵的事件。 常燕生民國 10 年發表於《平民教育》雜誌（第 26 號）的 〈未來教育改造之觀察〉寫著：
自 1902 年到現在， 二十年來的教育制度都是取法日本，日本又是從德國學來的， 故中國過去的教育制度，可以說是屬於大陸派的，是較偏重於軍國主義的。在清末民初的時期，中國現代化的主要「參考」對象，是近鄰（雖然也是惡鄰）日本， 這個觀點我相信是很可靠的。雖然我偶而在文獻裡也讀過，日本的教育制度師法法國， 但我比較相信常燕生（還有其他當代人）說的：日本學習德國的教育制度。 不論如何，日本不是從英國、美國引進教育制度的。（日本現今的教育制度， 是二戰結束後被美軍代管的時期，由麥帥引導改制的。） 總之，美國對我們的教育制度和內容的影響，不能從民前 10 年算起， 頂多只能從民國 10 年左右算起，那就是一方面憤恨而排斥日本及歐洲列強， 一方面受到杜威、羅素訪華期間的個人魅力吸引，在菁英知識份子心中造成的消長。 所以，當水心教授參與民國 51 年的課程標準制訂工作的時候， 我國的數學教育理念已經受到美國 40 年的影響；這個時間長度已經超過一代人， 就學術而言則可以說有三代了，所以美國的影響確實是很大的。
不論我國的現代教育是從哪裡「參考」而來的，實際影響教育思想與制度最力的， 按常燕生寫在民國 16 年《中華教育界》第 17 卷第 5 期〈外患聲中教育界應有的覺悟〉的說法：
十幾年來中國的教育事業以江浙為中心。 (p.134)此話看來不虛。水心是江浙人氏，本文前面已經提過另外兩位出身於江浙的前輩， 還有正中書局也是在上海創立的，它的董事之一：周鴻經教授， 曾在大陸擔任中央大學校長，戰後來臺做過中研院數學研究所長，是江蘇徐州人。 另外一位影響台灣教育甚鉅的陳梅生先生也是浙江人。 其實，江南本來就文風鼎盛， 自徐光啟從利瑪竇和接踵而至的耶穌會傳教士學習第一手的西方知識開始， 就是西學進入中國的起始點；雖然這條香火在乾隆中年之後就算是斷了， 幸好如燼之火，煨而不熄，總算在同治年間孵育出偉大的 李善蘭 (1811-82，浙江海寧人)。 這股西學的風氣轉移到教育事業上，本也是順理成章的。
然而，這位出生於北京的山西人常燕生，雖然已經是一位非常理性的人士了， 然而在外患當頭之時，還是心急如焚地寫下了言重的抱怨。他說的話，放了一百年再看， 把省籍的情緒過濾掉之後，證諸於臺灣的教育現況，仍然叫人觸目心驚：
教育界所擅長者，不過是門面的鋪排與花樣的變換，今天這個制，明天那個制， 今天這樣教學法，明天那樣教學法 ... 教育事業之不能得到實際的效果， 最大的毛病是在宗旨的不確定，太隨風倒了。 ... 因為崇拜外人投合騖新的心理起見，凡是西洋有一種新制出來，必有人大介紹特介紹， 是否於實際情形切合不問也。結果弄得 教育自教育，實際自實際， 兩者渺不相關。 ... 國定或公定教育宗旨之類，大多是抄襲成文， 拿別人國家的東西整個的端送過來，什麼完美的理想，什麼高尚優美的生活， 都是與實際毫無關係的。 (p.134ff)就數學教育而言，陳梅生先生晚年也有所反省： 他說我國曾經三度引進美國的數學教材教法， 三次都是頗不成功的經驗。
- 第一次是「隨機教算」， 其實當我們在民國 37 年引進它的時候， 美國已經發覺不對（或者是風向轉變）而停止了；
- 第二次是所謂的「新數學」；
- 第三次就是我們記憶猶新的「建構數學」。
以上關於常燕生的言論，都來自陳正茂先生編輯的 被遺忘的學者--常燕生教育政治論文集。
前文提到的「隨機教算」曾是流行一時的想法，
認為算術應該跟隨學生的認知發展和生活需求而教學，
才不會流於形式而變成無用的負擔。
所以，算術就不排特定的課時了，而是在整個學校活動中，
遇到實用的機會就教學。
這個「理念」也許聽起來頗有理想性，
但是生活中發生算術需求的順序，不一定適合作為學習的脈絡，
容易使得學習的經驗零碎化；其次，隨機遇到的問題解決之後，
學童是否還需要熟練其「發現」的算術操作呢？
另一方面，有些為了上升到更進一步數學知識所需的算術基礎，
萬一沒在低年級學生的生活環境中遇到，難道就真的可以不學嗎？
我在一位「太陽臉」的部落格發現他分享的一件「古董」：隨機教算用計數器， 估計是民國 40 年代的產品，那是一只小盒子，裡面包含各種學習算術的小玩具； 可能只有家境較優渥的小朋友，用過這些教具吧？ 有人保存得這麼好，直到民國 97 年才拿出來網拍（有一份以台幣 2700 元成交）。
「隨機教算」是美國的社會應用說 (The Social-Utility Theory) 算術教學理念的展現， 而它的終止則是受到練習說 (The Drilling Theory) 和意義說 (The Meaning Theory) 的平衡。水心教授的《算術教學》自稱是依「意義說」理論為基礎。 水心認為，影響美國數學教育，又延續著影響我國之民國 50 年代數學教育的理念， 有以下幾種。在上述理念發生之前的十九世紀，學校裡的算術教學， 可以說全是為了提供商場上的交易需要而設計的。
- 心能訓練說 (The Mental Discipline Theory)。 此說認為算術是鍛鍊兒童記憶、推理、判斷能力的重要學科（彷彿更早的拉丁文一樣）， 算術的教學目標，是想透過學習艱深繁難的計算題材，獲得心理能力的操練， 而在算術科獲得訓練的心理能力，能夠遷移到其他的學習。 這個想法，似乎一直流傳到今日的臺灣，許多想不出有何應用價值或教育意義的數學難題， 就是鍛鍊心能的教具啊。
- 社會應用說。這項主張曾在歷史上出現兩次，第二次則是乘著「進步」教育的主張而來的，或許跟杜威的學派脫不了關係。此說認為算術課程的內容應該以兒童在校內、校外所應用的數量經驗作為取材的依據，應刪除如公因數、立方根、循環小數等不切實用的題材。 根據這個理念，還在校園裡、社會上做了大規模的調查，想要指出一般人生活中所需的算術及其使用頻率；這個理念的具體實踐，就是「隨機教算」。 其實，十二年國教標舉的「素養」理念，乃至於前一波的九貫課程標舉的「能力」指標， 在理念上仍然可以視為社會應用說的延伸。
-
練習說。 這就是行為主義心理學的典型推論了，此說認為算術教學的目的，
無非就是快速而正確地計算。搭配「編序教學」的想法，他們把算術的學習拆解成很小片段而不相關連的孤立練習，方便學生反覆練習而各個擊破，也方便教師做精確的效標評量。
這種把知識和技能當作像物質一樣可以分解成分子、原子，
以及把人當作像機械一樣反覆精確執行任務的想法，實在不太容易獲得現代人的青睞。
可是，練習說對我們的影響，也許並非遺毒難清，反而是矯枉過正，導致時下的數學教育太忽視精熟操作的功效了。
早期的電腦輔助教學 (CAI: Computer Aided Instruction) 經常採用的 「編序教學」(Programmed Instruction) 也可視為此教學理念的實踐。 編序教學的典範起源是史肯納（B. F. Skinner, 1904-90，又譯司肯納或斯肯納） 在 1957 年設計製造的「教學機」(Teaching Machine)，如右圖； 它可以立即回饋答題的對錯， 讓學生專注精神，所以實驗教學的效果極佳。 這部機器在 1960 年代轟動美國，被認為開啟了革命性的教育新紀元。 -
意義說。 此說很容易被理解為：對前述看法的反動。這個理念把數學本身的意義拉到算術課程的主角。這個想法發生得並不太晚，它在第二次世界大戰之前就提出了，
可以追溯至 1935 年出版的 NCTM（美國數學教師協會）第 10 本年鑑：
Brownell, W. A. (1935). Psychological considerations in the learning and teaching of arithmetic. In W. D. Reeve (Ed.), The teaching of arithmetic (10th yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics, pp. 1-31). New York: Bureau of Publications, Teachers College, Columbia University.
此說認為算術是由一些可理解的數量觀念、原理、方法緊密結合而成的系統，不應該將它拆開來學習，而應設計實物（教具）與活動，讓學童自行發現或理解各種觀念與方法的意義和理由，以及它們彼此之間的關係。
前面說的「意義」理念已經看到建構主義的初步想法，但是一點都不「激進」。 而意義說所謂的「讓學童自行發現」，與更早的發現式或啟發式教學法頗為神似， 但是著眼點或關注的焦點不甚相同。 可能因為它是個「教法」而不是一種算術課程的理論，所以水心沒在書裡提到它。 現在一般認為發現式教學法 (the Discovery Method of Teaching 或者 Learning by Discovery) 始自 Warren Colburn (1793--1833，美國麻州人) 於 1821 年出版於波士頓的 「智能算術初步」(First Lessons in Intellectual Arithmetic)， 他自己稱該書的特色教法是「引導式教學」：The Inductive Method of Instruction。
引導式教學法，在民國 40 年代仍風行於臺灣的小學課堂， 其表現特色是師生之間一問一答的「唱和」，當時的教案就會如此設計， 而學生常被期望能夠齊聲回答老師。但是，據 陳梅生訪談錄 所載，因為實際上學生該回應的多是固定知識性的答案， 而且如果兒童沒達出老師所擬定的答案，則老師說「不對」，學生就一直猜到對為止， 所以當時也有人譏諷這種教學法為「欺騙式」或「猜謎式」教學。
發現式教學法是一種長紅的算術教學，Colburn 的課本極為暢銷， 在十九世紀的中期，這本書每年在英國可以銷售 5,000 本，在美國 10,000 本； 相對而言，美國實在銷售得太少了，或許由此可見當時美國的國民教育還是遠不及英國的普及。 我在「網際檔案櫃」Internet Archive 找到一本出版於 1884 年的 First Lessons，事實上，這本書在 2015 年還重印過一次，在 Amazon 買得到。 對所有教科書作者而言，Colburn 的成就可能是大家一致景仰的英雄吧？
當然，人紅了就會遭受攻擊，因為讓自己出名的有效方法之一，就是攻擊名人。 反對 Colburn 的意見，像極了反對建構數學的意見： 他們說，難以期望學生自行發現那些必需的算術規則， 而一本衝著 First Lessons 而來的算術課本，則宣稱自己的教材提供簡潔、明確的算術規則，滿足那些希望孩子們接受「The Good Old Fashioned Way」算術教育的家長們。 從以上史料，Larson 和 Kanold 認為所謂的 Math War 早在 1830 年代就開始了， 他們稱之為「數學教育之辯」(School Math Debate)：
教師應該我認為 Larson 和 Kanold 的提問方式就已經預設了立場。 我起碼還能在問題 [1] 和 [2] 之後，再提兩個「子問題」：
[1] 提供簡單明瞭的規則讓學生記憶？
還是應該
[2] 提供學生教材和活動，讓他們用於推論與思考， 藉此發現並了解這些規則背後的數學原理？Shoud teachers offer students rules and facts to memorize? Or should they give students material to reason about in order to discover and develop understanding of underlying mathematical principles?
- Larson, M. R. & Kanold, T. D. (2016). Balancing the equation: A guide to school mathematics for educators and parents. Bloomington, IN: Solution Tree.
[1.5] 以簡明的規則教導學生記憶算法的教師，難道一定不能成功地解釋算則而讓學生理解嗎？
還有，
[2.5] 即使學生經過操作活動而「發現」了算術規則或數學關係， 它們就真的「理解」了嗎？
事實上，也許還有一個更根本的問題，應該提在 [1] 之前：
[0.5] 「理解」算術規則的數學原理，真的是學習算術所必需的嗎？（在初次學習的當下）
要學童「理解」算術的某些「堅持」， 讓我忍不住感覺只是成年的教師在「捏軟柿子」而已： 他們以成年人的「後見之明」來強壓（欺負）無力抵抗的小孩子。 當那些數學教師或小學數學教育學者自己還是小學生的時候， 真的就在當時「理解」那些算術嗎？ 起碼我個人不敢說自己當初就理解，而是先學會操作之後， 長大了再慢慢理解的。 數學教師或數學教育學者， 如果回想一下自己「理解」微積分算則的數學原理的歷程， 甚至回想自己「理解」無理數四則運算原理的歷程， 難道真的是在第一次學習的時候就理解的嗎？ 還是在某種程度的熟悉之後，才慢慢理解的？
舉例來說，有一道測試小學生是否「真的理解」除法計算的題目，是這樣問的：
因為 31 ÷ 4 = 7 餘 3，所以 31000 ÷ 4000 = 7000 餘 3000。對嗎？如果四年級的孩子不能（立刻）正確回答以上問題，真的可以判定他不「理解」除法嗎？ 而如果孩子無法回答以上「曲折」的問題，直接要他計算 31000 ÷ 4000 卻算得出來， 那麼我們又該怎麼解釋呢？
雖然發現式教學法看起來像極了建構主義的數學教育，但是在 1960 年代， 建構主義者卻不見得贊成發現式教學法。 例如從認知心理學的建構主義導出「有意義學習說」(Meaningful Learning Theory) 的奧蘇貝爾 (David Ausubel, 1918--2008) 就大聲反對發現式教學法。 他認為數學的原理不像自然領域的觀察對象，期待學生自行發現數學原理的教材教法， 若不是不可靠的，就是難以隨著年齡與學習目標的增長而持續進行的。 奧蘇貝爾的「有意義」概念不同於早先「意義說」， 後者所謂的「意義」是數字算則的數學原理與架構，其關注的點是數學的意義， 而奧蘇貝爾關注的點是學生心中感受的意義： 學習者將所學的新知識與既有的舊概念聯結成有意義的網路脈絡形式。 這個理論認為，學生必須在心理上認知所學之知識、技能是「有意義」的 (meaningful 或者 make sense)，學習才會發生。
奧蘇貝爾是建構主義的心理學者，他認為知識必須由學習者自己建構， 而所謂「習得」是將新的知識或技能融入或同化到他原本具備的架構之內。 而他主張，為達學習之目的，也就是讓外來的新知能夠被同化， 必須要先讓學生產生意義感，也就是認為所學的功課是「有意義」的。 在實際的執行上，奧蘇貝爾提倡使用「前導架構」(Advance Organizer) 來協助學生對學習目標產生意義感。 「前導架構」在某種程度上就像「鷹架」，但是它還是採用比較傳統的教學觀點， 認為這個架構是教師應負起的責任，而教師的教學成效就建築在這個架構上。 所謂「前導架構」是一套有助於學生將新功課融入既有架構的工具、概念、活動、類比、對比、或導言。 在這個理論的脈絡之內，奧蘇貝爾有一句名言：
The most important single factor influencing learning is what the learner already knows,有人譏諷「前導架構」缺乏明確定義而顯得太過「藝術」。 但是，教學不就本該是一種「藝術」嗎？
影響教學成效的最重要單一因素就是學生在進教室的時候已經知道什麼。
我認同奧蘇貝爾的理論，也早就不約而同地在教學中使用「前導架構」， 也就是盡量設法將新的功課連結到學生的舊經驗，使學生產生意義感。 這裡所謂的「舊經驗」，在某種程度上就是當今所謂的「情境」。 而當今的教育關鍵詞「素養」，無非是「有意義的學習」加上「實用主義的認識論」。
但是奧蘇貝爾的主張並沒有機會獲得足夠的實驗，也沒有擴散到臺灣來 （所以水心不知道他）， 就被一波洶湧的運動 (Movement) 淹沒了；那就是所謂的「新數學」(New Math) 運動。 蘇聯在 1957 年成功發射人造衛星「史波尼克」(Sputnik) 的事件， 把二十世紀的冷戰推上了高峰， 美國以一種近似「國難當頭」的危機感做出全面的反應，其中包括科學教育的積極奮進， 希望在短期內培育越多的科學家和工程師越好， 而數學被認為是科學的基礎而跟著水漲船高。 其實，因為第二次世界大戰的實證經驗：包括密碼的設計與破解、運輸補給的演算法、 特別是原子彈的威力，就已經使得數學和物理科學的地位， 在戰後被明顯地提高到超過歷史上所有時期的位階。 而「史波尼克」事件，更使得科學和數學的人才提攜，包括數學與科學的基礎教育， 被放在「正邪不兩立」的生死存亡之戰的決勝位置上。 在此脈絡下，「新數學」運動獲得超級充沛的國家資源， 國民義務教育的標準內容，也就很快地從基本的「算術」擴充到了「數學」。
如果「新數學」只在中學階段加深教學內容（數學課題）， 又如果「新數學」能站在「意義說」的基礎上，關注於各種算則之數學原理的了解， 讓學生對數學產生意義感，也就是
從數學本體的「意義」(Meaning) 轉移到學習者本體的「有意義」(Meaningful)或許就能達成它政治上的使命 (The Reason of Being)：提昇科學教育的成效。 但是後見之明總是說得容易，而人類社會不總是理性的。 當那波焦慮的浪潮忽然來襲，美國在倉促中推動了「新數學」運動， 不但迅速從中學延伸到小學階段： 因為他們在中學階段的實驗教學發現了困難，邏輯上認為必須從小學開始改革， 而且忽略了數學教育的支持性任務（作為科學教育的基礎，作為一種「語言」）， 反而以培育更多科學家和工程師的同樣思維，想要培育更多的數學家。 這個思維使得「新數學」不考慮學生的意義感，而以嚴謹的數學本位來詮釋「意義說」， 以接近專業數學的架構當作數學教育的意義解讀。 換句話說，「新數學」可以詮釋為「意義說」的一次暴走。
前段對「新數學」的詮釋可能失之於以偏蓋全，彷彿美國只有一種「The 新數學」。 以美國之大，人才之眾，更重要的是經濟資源之豐沛與求新求變之殷切， 我們應該能理解：「新數學」是一個時代的概括現象，而非唯一的、確定的一組教材教法。 將新數學引進我國的主要推手，李新民教授 （1915-2004，湖南丰陽人士，周鴻經的嫡傳子弟，曾任臺灣的中央大學的校長）， 可能也陷入了前述以偏蓋全的窠臼，導致李校長以及直到今天的數學教育界， 總以所謂 SMSG（學校數學研究會：School Math Study Group）的實驗教材與教法， 當作「The 新數學」。 水心的民國 57 年文章整理出至少六種可以歸類為「新數學」的小學階段新式數學教育實驗計畫。
- 伊利諾大學算術計畫 (Univ of Illinois Arithmetic Project)， 由 David A. Page 博士領導， 此計畫的強調引導式的發現教法 (Guided Discovery)。 這項始於 1958 年的計畫，其實是 1951 年開始的一項高中數學課程改革計畫的延伸， 而後者才是「新數學」的真正濫觴。我們隨後再解釋。
- 麥迪遜計畫 (Madison Project)，1957 年起，由雪城大學 (Syracuse Univ) Rpbert B. Davis (1926 生) 博士領導，後來擴展到密蘇里州和康乃迪克州的部分學校。 此計畫的名稱來自最初的實驗學校：雪城的麥迪遜初中，但是後來向下延伸至二年級。 在小學低年級實驗的內容，包括初等代數和坐標幾何。
- SMSG，始於 1958 年，由主聘於史丹福大學教育學院、數學系從聘的 Edward G. Begle 教授 (1914-78) 主導，而他的專業訓練是數學的拓樸學。 可能因為 Begle 的個人聲望及學術地位： 普林斯頓的數學博士、耶魯大學數學教授、美國數學學會 (AMS) 秘書長， SMSG 是最受矚目、獲得最多經費的「新數學」計畫， 也是被台灣獨尊為「新數學」的教學實驗。
- 史丹福大學的資優兒童實驗課程，著名的科學哲學家與電腦輔助學習的先驅 Patrick Suppes (1922-2014) 教授是此系列實驗的核心人物。 這一系列的實驗始於 Suppes 參與數學家 Newton Hawley 在 1958 年對小學一年級試行的幾何課程， 後來發展成低年級（1--3 年級）的幾何教材。 自從 Suppes 成立了史丹福「社會科學數學研究院」 (IMSSS: Institute for Mathematical Studies in the Social Sciences) 之後， 就展開其他的教育實驗，包括以「集合」為 K-6 年級數學課程發展脈絡的實驗， 以及對資優高年級學生的數學邏輯教學。 此計畫在 1964 年左右添加了電腦輔助學習的元素。
- 明尼蘇達基礎課程計畫 (Minnesota Elementary Curriculum Project)， 始於數學家 Paul C. Rosenbloom (1920--2005) 擔任明尼蘇達學校數學中心 (Minnesota School Math Center) 的 1959 學年， 而後他繼續主持明尼蘇達大學的教學改革計畫 (Minnesota Math and Science Teaching Project) 並且轉行到數學教育專業：Rosenbloom 離開明尼蘇達大學之後的最後一份工作， 在哥倫比亞大學的教育學院 (Teachers College)。 這份實驗提供學習實數計算的幾何模型，使兒童可以看到各種算法與數的關係。 此實驗以 K-3 年級為核心目標。
- 大克里夫蘭數學計畫 GCMP: The Greater Cleveland Math Program， 由 George H. Baird 博士領導，始於 1959 年。 此課程以理論和系統的方式組織起來， 使兒童在學習計算式之前就完全理解數學的基本原則。 此計畫引入「物質幾何」(Physical Geometry)，並有一個地方電視台的搭配合作。
水心回顧的六項主要「新數學」課程與實驗教學計畫，都是涉及小學階段的。 至少有兩項影響深遠的計畫，因為僅針對高中或初中數學課程，而被水心忽略。 其實這兩項計畫主動發生於「史波尼克」事件之前，並不是被「新數學」運動推起來的， 反而成了「新數學」啟動之時的主要參考對象。簡述那兩項計畫於下。
-
伊利諾學校數學委員會 UICSM (Univ of Illinois Committee on School Math)
在其州內發起的數學教育改革。
其起因是伊利諾大學工學院「抱怨」入學新生都沒準備好所需的基礎數學，
所以從 1951 年開始執行高中數學的教學改善教育
(Project for the Improvement of School Math)，
由伊利諾大學的工學院、教育學院和數學系共同主持，
其中的靈魂人物是 Max Beberman (1925-71)。
Max Beberman 被許多人認為是「新數學之父」，可惜他早逝，得年四十五歲。 他在 UICSM 研擬的新課程（包含教材、教法）發展模式， 我們可以仿照「板橋模式」的命名而稱之為「伊利諾模式」，那就是：- 數學家、教育學者、數學教師共同研發實驗教材；
- 在學校進行實驗教學；
- 教師接受培訓，通過之後才獲准使用新教材；
- 評量實驗教學的成效。
雖然從 1958 年起（大約至 1962 年），UICSM 也開始為「一般」高中生， 甚至部分「低成就」學生，設計數學教材教法， 但是此計畫大致上可以說是為了「升入大學工學院」的學生而設計的， 它的評量實徵資料也顯示，此實驗課程對這一族群的學生，才有顯著的成效。 而 UICSM 的課程計畫也是在 1958 年，才開始向下延伸到初中階段（7--9 年級）； Beberman 認為當時美國的初中 (secondary school) 數學課程， 有一大部分是在浪費時間。 不過，他始終對於新教材教法的導入，保持非常謹慎的態度，堅持其實驗與評量的步驟。 也正是因為如此，他反而在 1960 年代「新數學」如火如荼地運動之際， 提出質疑的聲音，逐漸脫離了主流的運動。
在 Beberman 進入初中階段的同時，UICSM 孵化出另一個獨立的小學階段數學課程改革計畫，就是前面說過的，由 Page 主持的算術課程計畫，它專注於 1--6 年級。 但是我們可以假設 Page 的計畫， 在理念和執行上都跟跟隨著 Beberman 在中學建立的「伊利諾模式」， 而他們的理念之一是：等待兒童心理成熟而延遲較高的數學教育， 反而阻礙了學生習得「數學語言」(the language of mathematics) 的能力。... pressure to wait for more development among children before teaching higher levels of mathematics had hindered the child's ability to learn the language of mathematics.
值得一提的是，此計畫認為成功的關鍵在於（小學數學）師資的「再教育」， 而其中一條主要的教育目標是：教師對數學具備正向的態度。
UICSM 對於新教材教法的推廣，一方面可以說是不遺餘力，但是另一方面也顯得非常保守。 他們嚴拒教師「自由取用」UICSM 發展的新教材，唯有經過培訓與考核的教師，才予使用。 在這群教師之間，建立書面通訊管道 (Newsletter)， 而且 Beberman 本人和核心人士，也錄製教學示範影片分發給合格教師當作參考材料， 同時當作師培課程的教材。 Beberman 本人魅力四射，透過巡迴演講和大眾傳播而紅遍大街小巷， 以今天的話來說，就是一位「網紅」級的數學教師。-
羅徹斯特大學已故數學教授 Ralph Raimi 的遺作，撰寫 1952-75 年間的「新數學」歷史，
http://web.math.rochester.edu/people/faculty/rarm/the_new_math.html -
伊利諾數學教師協會 ICTM (Illinois Council of Teachers of Math)
為 Max Beberman 獎學金製作的海報
http://www.ictm.org/assets/docs/Awards/ictm_posters_beberman.pdf - UICSM (1957). The University of Illinois School Mathematics Program. The School Review, 65(4), 457-65.
- Walmsley, Angela L. E. (2003). A History of the "new Mathematics" Movement and Its Relationship with Current Mathematical Reform. Maryland: University Press of America.
-
馬里蘭大學的數學教育改革計畫 (UMMaP: University of Maryland Mathematics Project)。
由 John R. Mayor 博士領導，在 1957 學年開始進行，
實驗的地理範圍是華盛頓特區及其周邊三個馬里蘭州的郡內公立學校，
而實驗對象是初中階段 7、8 年級的數學課程。
此計畫由馬里蘭大學的數學系、教育系、心理系和工學院共同執行。
計畫主持人開宗明義地說，當時的初中數學課程讓一部份學生痛苦而挫折，
同時讓另一部分學生無聊到死；而他們希望一舉改變這兩種現象。
無獨有偶地，UMMaP 也特別強調「語言」：他們認為不僅數學本身是一種語言， 數學觀念的溝通也需要語言，所以這份教育改革方案首先要討論「語言」問題。One of the important problems in the teaching of mathematics is that of language. Not only is mathematics a language itself, but the use of language is necessary to communicate the concepts of mathematics.
例如，他們說方程式就是一條精確的語句。 我之所以一再引用 1950 年代數學教育改革者對「語言」的重視， 就是要呼應我們寫在數學課程綱要「理念」之中的第一條理念： 數學是一種語言 。如張鎮華教授所言：「英雄所見略同。」- Mayor, J. R., Garstens, H. L., & Keedy, M. L. (1960). University of Maryland Mathematics Project. The Arithmetic Teacher, 7(2), 61-65.
對於「新數學」在小學階段的六種實驗課程，水心總結了以下幾項共同特色。
- 教學目標方面
皆以「意義說」作為基礎，使兒童獲得基本的數學概念， 認識數學結構的型態，理解基本的原理，明瞭數與數之間、算法與算法之間的彼此關係， 理解各種算法的理由。很少顧及生活上的實用價值， 好似企圖所有兒童成為未來的的數學家或科學家。 如此的教學目標，已不限於作為國民教育中的一項必需的要素， 而且要為將來研究數學和科學奠定一個穩固的基礎。
- 課程教材方面
- 取材的抉擇不再是社會應用的價值，而是選擇有助於將來繼續研究所需的基礎。 於是研究者著手分析數學各部門以及足以貫通到數的運算和代數、幾何的基本原則， 作為取材的資源。這與過去以調查社會百工常用的算術作為取材資源比較， 可以說是一種戲劇化的轉變。 可是，根據 陳梅生訪談錄 臺灣在民國 40 年代（也就是 1950 年代）還做過小學算術的社會需求調查。
- 各實驗教材大多包括：集合、等式與不等式、負數、比、非十進制記數法、點線面角。 將算術、幾何、代數等教材，兼收並蓄，冶為一爐。 這也是實驗教材不稱「算術」而叫「數學」的原因。
- 實驗課程認為過去把算術教材依據社會上應用次數多寡作為教學順序的辦法， 足以破化數的系統內在的關聯，固然在這裡沒有地位， 甚至很少用日常應用的算術情境，作為題材或例題。 新教材講究將各種數的關係和統貫性的原理、法則組織成有論理系統和首尾一貫的整體， 以發展兒童對於統貫各種算法的主要原理之認識和理解。 以數學的特質為基礎，而不以生活應用為基礎。
- 只關心數學的論理系統和內在關聯，不甚顧及各項題材的年級地位，很多採自當時的中學甚至大學。 幸而所引進的高深課題，大體還是淺顯簡易的部分，因此教材的年級地位問題， 尚不十分嚴重。
- 教學方法方面
- 都重理解。「意義」和「理解」是同一件事的兩種說法。
- 注重試探、發現、口頭說明。鼓勵一題多解，鼓勵學生親口說明他的想法和作法， 並鼓勵共同討論決定一種最經濟的解法。
- 極力使用遊戲、故事、探險、操作教具等活動，培養學生愛好數學的興趣。
- 實施配套方面
- 由數學家、數學教育專家、教育家、現場教師共同參與。
- 有豐沛的經費支援。
- 研究計畫發展的新教材，經常聲明屬於「補充教材」，而不是淘汰現行教材。
- 新教材都有「教師手冊」，並且多採用「寫在上面」的課本與作業簿混和模式。
- 提供豐富的教師進修或輔導辦法，大量地培育新師資或者在職進修課程。
寫到這裡，我只想對臺灣跟隨「新數學」的那一段往事，說一段評論：
其實美國不只一種「新數學」，而且美國的「新數學」運動有其國家利益的需求， 如果當年引進 SMSG 的臺灣數學教育前輩，多了解一些 SMSG 以外的各家之言 （像水心教授那樣去了解），又如果在跟進之前，同時也在數學本位以外， 思考一下臺灣和美國在國家資源、國際地位、社會與人民需求方面的異同， 相信能夠做出更適合臺灣當年實際情況的抉擇， 而那個抉擇也肯定會減輕今天臺灣數學教育（乃至於整個教育）的許多負擔。
水心教授在其有生之年，已經目睹了「新數學」的暴起暴落。 對於那項運動的結局，簡單來說就是「失敗」兩個字， 但是社會中的運動永遠不可能真的「船過水無痕」， 其功過得失，直到今天還有討論它的論文， 而它的實際影響，也以化整為零的方式潛入了後來的課程，包括臺灣的課程。 但是從《論叢》看得出來，水教授在民國 60 年代的工作重點轉移到國小的常識科， 和國中生的閱讀與作文，沒有再對數學課程發表過高見。
經過 1960 年代的劇烈運動，美國的數學教育在 1970 年代以「回歸基本」 (Back to the Basics) 作為基調，過了休養生息的十年。 到了 1980 年，NCTM 出版《行動綱領》(An Agenda for Action)， 提出八項建議方案的第一項：Problem solving be the focus of school mathematics in the 1980s， 可謂提出了「聚焦於解題」的數學課程概念。 這個概念與措施，仍然可以視為發現式教學這股泉源衍生而來的另一支主流， 在臺灣也稱為「數學即解題」或者「解題為本」的數學教法。
前面說過，藉由解題活動以進行數學教學的理念與實踐，從 UICSM 時期就開始了， 也散佈在「新數學」運動的各個實驗教材裡。 NCTM 請走了「新數學」大神，但是所謂「凡走過必留下痕跡」， 新數學的部分元素，還是默默地傳到了今天；「數學即解題」就是其中一項。 而這項教學思維，因為受到黃敏晃教授的推崇而風光地進入臺灣。 黃教授幾乎是唯一縱貫民國 64 年和 82 年兩份國小數學課程規劃的學者， 對於我國數學教育思維，有舉足輕重的影響力。
雖然 NCTM 那一本「行動綱領」小冊子（僅 30 頁）的行動建議都針對美國的 1980 年代， 但是「數學即解題」的教學理念卻長流至今。 此處所謂的「解題」不是素養導向的實際問題， 也不是「問題導向學習」(PBL: Problem-Based Learning) 的那種問題， 而比較像發現或引導式教學所謂的問題，是數學教師（或數學家）精心設計的數學題， 使教師能藉由帶領學生求解這些數學題的過程中，導引出對應的教學目標。 可惜的是，在臺灣，這些「題」又常常不知不覺地連結了「心能訓練」的早期思想， 變成了精心設計的「難題」。 由於這些題目的解題過程往往既不闡明「數學是什麼」，也不示範「數學做什麼」， 更不能啟發「為什麼學數學」， 反而像是解謎活動一般，專注於從題目的線索根據定義定理與計算規則破解答案， 跟數學的內部結構與外部連結，都沒有關連， 所以又常被稱為「人工難題」； 人工難題顯然符合「心能訓練」的需求，因此有時候真能帶給（某些）人滿足感， 也可能讓數學之美閃耀一下，至於它是否當真為「心能訓練」的有效工具？ 還有待心理學者來回答。
- NCTM (1980). An Agenda for Action: Recommendations for School Mathematics of the 1980s. Reston, VA: NCTM.
- 游自達、陳淑娟 (2015)。 臺灣解嚴前後國小數學教科書的發展與改變：黃敏晃口述史之分析。 論文發表於國家教育研究院主辦之「臺灣中小學教科書知識論與課程觀的演變」論壇。 臺北市。
《算術教學》是為民國 51 年的數學課程寫的，當時「新數學」還沒傳入臺灣， 但是這部教材教法已經表現出「引導式發現數學意義」的教法了。 小學算術最不好教的就是分數除以分數的「轉化除法」（將除以分數轉化為乘以倒數）。 水心用了七頁半說明此算則的教法（四頁教分數相乘）， 他用了面積（方格）表徵、數線表徵（連結除法的「連減」意義）， 先處理同分母分數除法的意義與算則，再以整數除以分數的特例， 將被除數（整數）擴分為（除數的）同分母分數，引導發現「轉化除法」的算則。 最後處理完成分數除以分數的算則之後， 水心也不免埋怨分數除以分數的「合情合理」情境實在太少了； 他舉了一個「算是比較合用」的例子：
規定要用 1 公升水來溶解重 3/16 兩的殺蟲藥粉，現在要溶解重 3/4 兩的這種藥粉， 需用幾公升的水？像這樣的問題，如果留到比例觀念穩固了之後再做，會不會反而事半功倍？ 很多人認為算術方法「美」而代數方法「醜」， 甚至算術與幾何才有數學的精神，代數「沒有靈魂」， 因此堅持在小學階段務必完整學習除法（包含前述的分數除以分數）； 但是，既然如今人人都得在基礎數學課程裡學習代數，何不等到學習了基本代數之後， 將這個算術的難題轉換成代數的基本題，而做一個統貫的理解呢？ 以上提問，就是「新數學」做課程改革的動機之一。
《算術教學》還有一項吸引我的教材，就是以中文列出整數和小數的位值名，
如右圖。
從右圖可以看出水心採用符合中文習慣的數名：以「萬」為基數。
我們如今的會計、財務系統完全被美國習慣主宰，所以每三位數寫成一節，
例如 23,571,497（2018年4月官方統計之臺灣人口數）。
成年人或者常接觸財務的人，可以學習或適應這種美式記法，
但是它對我國的小學生是非常不自然的。
人家這樣記數，是搭配人家的語言：twenty three million, five hundred
and seventy one thousand, four hundred and ninety seven。
但是我們的語言自然應該搭配每「萬」一節的記法：2357,1497，
讀作兩千三百五十七萬，一千四百九十七。
小數的位值：分、釐、毫，也是非常值得學習的。 那些字或許難寫，但是不必強迫小學生手寫，主要是需要認識它們。 這些位值的名稱，將會使得單位量的名稱具有意義， 例如釐米、毫米，乃至於長大之後再學的微米、奈米。
「數學即解題」發生在水心教授身後， 所以水教授在民國 50 年代所做的評論，當然就不含這個項目。 這或許是我寫得最久的一篇書摘，前後長達十三天，就停在這裡吧。