科學月刊【數‧生活與學習】專欄 96 年 6 月

虛數的實在存在

    不知道這只是我一個人的錯覺,還是你們也發現了? 我覺得最近幾期《科學月刊》裡面的數學越來越蓬勃, 讓我讀得興味盎然;希望你們也是。 至少我個人,從來不強求數學在『科學』月刊中的版面。 因為,雖然我們常聽人說數學是科學之母啦、之皇后啦、之僕役啦, 但數學和自然科學其實是兩種智識活動, 它們幽微且盤錯的關係雖然是冥冥之中註定的, 但畢竟是形而上的。我還是認為「數學是科學的語言」是比較中肯的說法 (本欄 95 年 8 月)。 把數學系放在理學院, 跟一群孜孜不倦在實驗室裡工作的偉大科學家放在一起, 實在只是為了科層組織管理方便的權宜之計而已。

    這個月我要跳回去講複數(原訂的三角函數順延)。 因為打鐵要趁熱,我想回應五月號『文化裡遇見數學』關於三次方程式的公式解 (pp.354--8)。當初介紹虛數的時候 (本欄四月), 就想要提起這段故事,並且闡述高斯 (Carl Gauss) 的一個見解: 虛數 (imaginary number,直譯為「想像的數」) 並不全然是人類的想像, 它是實在地存在的。他舉的例子,就是三次方程式的公式解: 當公式的中間步驟產生實數的時候,方程式其實有一對複數根; 當公式的中間步驟產生虛數的時候,方程式其實有三個實數根。 如果你想要走進三個實數根的殿堂,就必須穿越虛數的門廊。 透過三次方程式,實數和虛數互相映照的關係,被明確地表現出來。 所以虛數和實數一樣是數學內在結構裡的本質元素, 而不是人類想像出來的怪物!

    我當時認為這個故事,偏離我預定的目標太遠 (數學中最美的等式),所以割捨了。 欣然見到英家銘和蘇意雯兩位老師,恰好為我補足了所有需要的基礎, 真是天作之合啊 (我們真的不是約好的)。 歷史故事和公式解的推導,都被英、蘇兩位老師 (不是兩國) 講完了, 我們就從 357 頁開始。只考慮 $x^3+px=q$ 這種形式的 (實係數) 三次方程式,以後就稱它為 (P), 其中 p 是正數,q 不管是正還是負還是零都可以; 我們馬上就說明古人要求 q 是正數的原因。令

\begin{displaymath} \Delta = (\frac{q}{2})^2+(\frac{p}3)^3
\end{displaymath}

$u=\sqrt\Delta+(q/2)$, $v=\sqrt\Delta-(q/2)$$x=\sqrt[3]u -\sqrt[3]v$ 就是 (P) 的一個(實)根。 各位可以看到,不管 q 是正是負,(q/2)2 必為正數, 而規定 p 為正數的目的,只是為了 $\Delta$ 必為正數,因此後面計算 uv 的步驟可以開根號。 原文 356 頁右上方寫著,消去平方項之後的三次方程式可以分成三種, 其實是四種:當 (P) 右側的 q 是負數時,不影響 $\Delta$ 的計算,只是 u 變得比 v 小, 所以計算 x 的時候就要用小數減大數。 古人不習慣這種計算,我們可以接受,而得到一個負的 x

    稍後我會舉一個實際計算的例子。請先忍耐著看完符號上的推理過程。

    把 (P)「改裝」成函數的形式 $f(x)=x^3+px-q$, 則 y=f(x) 的函數圖形與 x 軸的交點就是 (P) 的根, 此後我們就稱這條曲線為 C。 運用一點點微分學,我們會知道,當 p 是正數, C 永遠漸增,因此只會跟 x 軸產生一個交點;(P) 只有一個根。 因為 Cy 截距 (代入 x=0) 就是 $-q$, 所以若 q 為正數,交點必在 y 軸的右邊,也就是有正根; 若 q 為負數,交點必在 y 軸的左邊,也就是有負根。 一圖解千言,讓我們看一張圖吧: http://libai.math.ncu.edu.tw/~shann/Lite/essay/9606/index.html。 我以 p=3 為例,為讀者畫了 q=3,2,...,-3 七種情況的曲線, 也就是七種 C。 觀察 q 是負數的時候有負根,q 是正數的時候有正根。 然而,現在我更想要強調的是:這些方程式都只有一個根。

    同樣也是運用一點點微分學,我們會知道,當 p 是負數, C 就會往下折和往上折: 在 C 往下折的轉彎處,有一個山峰;在它往上折的轉彎處,有一個山谷; 在山峰的左邊,C 無盡下降,在山谷右邊,C 無盡上升。 請看前述網頁的第二幅圖。 學過一個月微積分的讀者,都能算出來,山峰一定發生在 y 軸左邊的 $x^-=-\sqrt{\vert p\vert/3}$ 處,而山谷一定發生在對稱的 y 軸右邊 $x^+=+\sqrt{\vert p\vert/3}$ 處。想像著坐標平面上的曲線 C,如果它的山峰發生在 x 軸下方, 則山谷更低也在 x 軸下方, 所以 Cx 軸只能有一個交點,而且一定在 $x^+$ 的右邊;所以 (P) 只有一個正根。 如果它的山谷發生在 x 軸上方,山峰更高也在 x 軸上方, 所以 Cx 軸只能有一個交點,而且一定在 $x^-$ 的左邊;所以 (P) 只有一個負根。

    有趣的是,如果山峰高過了 x 軸,但是山谷卻低於 x 軸, 則 C 就會和 x 軸有三個交點:(P) 就會有三個根! 只要求解兩個不等式 $f(x^-)>0$$f(x^+)<0$ 就會發現,原來這種有三個根的情況,就是 $\Delta<0$ 的情況!所以 $\Delta$ 其實可以當作 (P) 有幾個根的「判別式」! 若 $\Delta>0$ 則 (P) 只有一個根,若 $\Delta<0$ 則 (P) 有三個根。我留給有興趣的讀者自己去推論 $\Delta=0$ 的情況。

    高斯的話就是指這裡:當 (P) 有三個根, uv 的計算卻面臨負數的平方根,也就是虛數! 但是具有虛數的 uv 最後卻能幫我們找到 (P) 的三個根。 如果 uv 的計算正常地得到實數,(P) 反而只有一個根, 但是實數的 uv 卻可以幫我們找到 (P) 的一對共軛複數根! 多麼美麗而必然的對稱關係?

    舉個有數字的例子。令 p = -3,q = 1,也就是求解 $x^3-3x=1$。 此時

\begin{displaymath}
\Delta = (\frac12)^2+(\frac{-3}{3})^3 = \frac14 -1=-\frac34
\end{displaymath}

所以

\begin{displaymath}
u = \frac12 + \frac{\sqrt3}2\,i\quad
v = -\frac12 + \frac{\sqrt3}2\,i
\end{displaymath}

上面那兩個數很面熟嗎?它們是 60 度角的餘弦和正弦值:$\cos60^\circ=1/2$$\sin60^\circ=\sqrt3/2$。 所以 $u=\cos60^\circ+i\,\sin60^\circ$$v=-\cos60^\circ+i\,\sin60^\circ$

    記得棣美弗定律嗎?他說

\begin{displaymath}
(\cos\theta + i\,\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\,\sin n\theta
\end{displaymath}

高中時代只討論了正整數的指數 n, 其實 n 也可以是分數。它跟「數學中最美的等式」只有一丘之隔了, 我們還會另外講它。現在您只要驗證 n=1/2 的情況, 就請您相信 n 是任意分數都行吧:因為

\begin{displaymath}
(\cos\frac{\theta}2 + i\,\sin\frac{\theta}2)^2
= \Bigl(\cos^...2\Bigr) + i\,\Bigl(2\sin\frac{\theta}2\cos\frac{\theta}2\Bigr)
\end{displaymath}

根據倍角公式,等式的右邊就是 $\cos\theta + i\,\sin\theta$, 這就驗證了 n=1/2 的情況。

    現在我們應用 n=1/3 的棣美弗定律來計算

\begin{displaymath}
x=u^{1/3}-v^{1/3}
=(\cos20^\circ +i\,\sin20^\circ)-(-\cos20^\circ+i\,\sin20^\circ)
=2\cos20^\circ
\end{displaymath}

這就是 $x^3-3x=1$ 的一個根。利用 $60^\circ$ 的兩個同界角 $60^\circ+360^\circ$$60^\circ+720^\circ$ 的 1/3,我們得到另外兩個根 $2\cos140^\circ$$2\cos260^\circ$。 這三個根的數值大約是 -0.35, -1.53 和 1.88, 您可以對照上述網頁圖二的紫色曲線。

    我希望上面的例子順便表現出一種學習廣義角的動機與需求。 下個月我們回到三角函數,解釋像 $\cos60^\circ$ 這種數值是怎麼算出來的?


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Created: May 17, 2007
Last Revised:
© Copyright 2007 Wei-Chang Shann

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