科學月刊【數‧生活與學習】專欄

96 年 8 月

數學中最美的等式

前期《科學月刊》很稀奇地上演一場數學專題，為數學在金融、密碼、演算與藝術等方面的面貌各舉一隅，也算是數學在這個園地裡難得一次的團圓吧。沾上這種喜氣，本欄也要讓過去十個月（跟懷胎一樣長）提過的數學課題在這裡來個大團圓。真可惜這一篇不是寫在陰曆年的時候。
$e\approx2.71828$ 這個我們稱為『第五常數』的無理數，在數學中非常重要，因為所有的次方計算 (其中 x 是個正數，y 是任意實數) 都是通過它計算出來的。亦即 $x^y = e^{y\ln x}$ 其中 $\ln=\log_e$ 是以 e 為底的對數 (95 年 12 月)。但是 e 的次方又該怎麼算？那要通過微積分，靠著『提供無窮資源』的無窮級數來計算到任意需要的位數 (本欄二月)：
$\begin{displaymath} e^x = 1 + x + {x^2\over2!} + {x^3\over3!} + {x^4\over4!} + \cdots \end{displaymath}$

上述公式本來只代入實數的 x；但是，如果代入複數會怎樣呢？這就是拓展指數函數的定義域到複數去。複數經常帶來令人驚奇甚至驚豔的結果，例如有些二次方程式本來說沒有解的，引進複數之後不但永遠有解，而且一定有兩個解；又例如在本欄四月和六月舉出的美麗圖像和數學公式。若是一個複數：a 和 b 都是實數， $i=\sqrt{-1}$ 是單位虛數，則根據指數律 $e^{a+bi}=e^a\times e^{bi}$ 其中那一部份是舊的實數指數計算，所以我們只要探討純虛數的指數計算，就知道複數的指數計算了。
令 x 是個實數，我們習慣以形式寫一個純虛數的變數。「盲目地」代入前面的無窮級數：
$\begin{displaymath} e^{ix} = 1 + ix + {(ix)^2\over2!} + {(ix)^3\over3!} + {(ix)^4\over4!} + \cdots \end{displaymath}$

因為複數計算的交換律，所以，，， ...。但是 $i=\sqrt{-1}$ ，所以 $i^2=(\sqrt{-1})^2=-1$ ， $i^3=i^2\times i=-i$ ， $i^4=i^2\times i^2=(-1)(-1)=1$ 。於是我們看到一種「週期」性： $i^5=i^4\times i=i$ ，，， ...。這是讀者們在高一時期玩得很熟練得把戲，這個把戲的偉大應用就要出現了！
利用單位虛數次方的週期性，前面那個「盲目」代入的式子就可以變個樣子，而不那麼「盲目」了。我們多寫幾項備用：
$\begin{displaymath} e^{ix} = 1 + ix - {x^2\over2!} - i{x^3\over3!} + {x^4\over4!... ...ver6!} - i{x^7\over7!} + {x^8\over8!} + i{x^9\over9!} - \cdots \end{displaymath}$

我們曾經問：為甚麼好端端地突然不用「度」來度量角，而要改成用「弧」呢？也曾說明是為了微分公式的簡單（本欄五月）。如果用弧作單位，則 $\sin\theta$ 的微分是 $\cos\theta$ ，再微分是 $-\sin\theta$ ，微三遍是 $-\cos\theta$ ，微四遍就回到 $\sin\theta$ ...。前面所謂的「簡單」，其實是一種「週期」性；而且，跟單位虛數的次方一樣，也是每四次一個週期。這兩種同步的週期，有一個深刻的關聯，就發生在正弦和餘弦函數的無窮級數上（前個月）：
$\begin{displaymath} \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots \end{displaymath}$

和
$\begin{displaymath} \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots \end{displaymath}$

再觀察 $e^{ix}$ 的級數，看到奇數次方項都有單位虛數，偶數次方項都沒有。把沒有虛數的集合在一起，也把有虛數的集合在一起，並且提出共同項（也就是單位虛數），就是：
$\begin{displaymath} e^{ix} =\Bigl(1 - {x^2\over2!} + {x^4\over4!} - {x^6\over6!}... ...r3!} + {x^5\over5!}- {x^7\over7!} + {x^9\over9!} -\cdots\Bigr) \end{displaymath}$

和前面 sin 與 cos 的級數比一比，這不就是 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 嗎？
如此一來，我們就將標準指數函數的定義域，從實數拓展到了複數。美妙的事情之一，是棣美弗定律
$\begin{displaymath} (\cos\theta + i\,\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\,\sin n\theta \end{displaymath}$

就只是我們熟知的指數律：
$\begin{displaymath} (\cos\theta + i \sin\theta)^n = \Bigl(e^{i\theta}\Bigr)^n = e^{i(n\theta)} = \cos n\theta + i \sin n\theta \end{displaymath}$

那麼，要如何將自然對數 $\ln x$ 的定義域從實數拓展到非零的複數呢？我們曾說複數本質上就是平面向量（本欄四月），而向量有兩個屬性：長度和方向。任給一個非零複數 (a 和 b 是不同時為零的實數)，其長度為 $r=\vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}$ ，而它的方向可以用 z 與正向實軸 (右方) 的夾角 $\theta$ 來表示。所以 $z=r e^{i\theta}$ 就是複數的長度與方向表示法，其中 r 是一個正數 (當我們說「正數」就隱含了它是實數的意思，因為複數不能比大小，所以沒有大於零的複數，也就沒有所謂的正複數) 而 $0\leq\theta<2\pi$ 是 z 的主幅角。用這個形式，根據對數律就能計算 $\ln z=\ln(r e^{i\theta})=\ln r + i\theta$ 。所以就連負數都可以做對數計算了，例如 -2 相當於長度是 2 而主幅角是 $\pi$ 的複數，所以 $\ln(-2)=\ln(2e^{i\pi})=\ln2 + i\pi$ 。又例如的長度是 $\sqrt2$ ，主幅角是 $\pi/4$ ，所以
$\begin{displaymath} \ln(1+i)=\ln\sqrt2 + i{\pi\over4}={2\ln2+i\pi\over4} \end{displaymath}$

我們那個時候的學生，在國中就開始學虛數。當我學習 $\sqrt{i}$ 和一般複數的平方根算法之後，覺得那個計算實在太酷了（那時候「酷」還沒有這種用法，我們男生都用一個比較粗俗的字眼，我不好意思寫出來）。然後我就開始問自己：要怎麼算？我用盡了當時該知道的所有辦法，都解不出來。於是（可能是出於偷懶）我把一下午的數學遊戲寫在生活週記上。我的導師，張秀蓮女士（不是金管會的那位），是生物科的教師，很疼愛學生。想必她當時認真地讀了我那份週記，就幫我去問數學老師：要怎麼算？他說，沒這回事。張老師不放心又去另一間辦公室問當時的王牌數學老師，他在補習班也很紅的。得到同一個答案：沒這回事。於是張老師把「答案」批在我的週記簿上：沒有這種計算，別鑽牛角尖了。
但是，各位老師，各位同學，各位看官，每一個數學系三年級的學生都應該知道這種計算。根據次方計算的定義： $i^i=e^{i\ln i}$ 。而 i 就相當於平面上 (0,1) 這個點，它的長度是 1，主幅角是 $\theta=\pi/2$ 。所以 $\ln i = \ln 1 + i(\pi/2)=i(\pi/2)$ ，於是
$\begin{displaymath} i^i = e^{i\ln i} = e^{i(i\pi/2)} = e^{-\pi/2}\approx 0.2079 \end{displaymath}$

它居然是個實數，「酷」吧？
我的國中數學老師，可能沒想到我有一天會在《科學月刊》寫專欄。但是我相信張秀蓮老師並不會感到太過意外，雖然她可能看不懂我在寫甚麼。我不知道一名國中生如果從去年 10 月讀到這裡，是不是能夠「跟隨」上面的計算？我總認為，如果自己在國三那年讀到這一系列文章，就算不能理解，至少也可以跟隨；希望有一些國中學生能夠支持我的看法。
那麼，數學中最美的等式，究竟是誰？因為 $e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1$ ，所以，就是她：
$\begin{displaymath} e^{i\pi}+1=0 \end{displaymath}$

數學中最重要的五個常數：，， $\pi$ ，和，最基本的三個計算：加法、乘法和次方，最核心的一個觀念：等於，各自經歷了漫長而坎坷的命運，尋尋覓覓，卻因為那冥冥中早已註定的深刻因緣：微積分，終於在一起了。

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