對數函數

如果墨西哥的人口數從 1980 開始就保持每年千分之 2.6 的成長率。而 1980 的墨西哥人口數是 67.38 百萬，則 1980 以後的第 t 年，她的人口數大約是

那麼，在哪一年墨西哥會突破一億人口呢？要解這個問題，我們得知道，當 t 是多少的時候，

先不管這個答案的數值是什麼，我們知道它的符號如下：

當 a > 0，我們稱

是 b 以 a 為底的對數。這個符號的意思是說

例如

因此我們瞭解，固定一個正數 a 之後，對數也就定義了一個函數關係，我們稱這個函數為對數函數，記做

因為對任意數 y，

恆正，所以對數函數的自變量 x 必須是正數。換句話說，對數函數的定義域是

，例如

是沒有意義的。

從指數運算的性質，可以輕易推導對數運算的性質。這些性質都應該是在高中學過的，我們只是列出來以備複習。以下表格中的各種數值，都要符合指數與對數函數的基本規定，不再明言。其中最後一列並不分別是指數和對數的運算性質，而是對數的定義而已。

表格右邊第四條式子，稱為對數的換底公式。因為這個公式，使得我們不必為每一個底數 a 設計一套對數函數的計算方法或數值表。例如像 (1) 那種題目，可以寫成

在計算機普及以前，政府或學術機構，會雇用程度較高的人力，來針對某個固定的底數計算對應許多不同 x 的對數值，製成表格供人查詢，這些表格通稱為對數表。想必同學們已經見識過。如今，人們只要在計算機上按幾個按鍵，就得到對數了。例如以 10 為底的對數函數，稱為常用對數，簡記做 log x (省略不寫底數了)。進入計算機時代，大家還常用以 2 為底的對數，簡記做 lg x。

因為 a ⁰ 總是 1，所以總是 0；或者說，對數函數總是通過 (1,0) 這一點。而且，如果底數 a > 1，則 x > 1 的時候，對數值是正數； x < 1 的時候，對數值是負數。如果底數 0 < a < 1，則反過來。這些事實都很容易從對數的定義和指數的性質推導出來。以下我們看一張示範圖。

y = log[2](x), y = log[10](x), y = log[1/2](x)

當 a > 1 而且 p > 0 的時候

但是比較它們的速度，其實

對數函數永遠跑得比冪函數慢

我們觀察以下兩張圖所表現的例子。

y = x^(1/2), y = log[2](x)	y = x^(1/10), y = log[2](x)

這一次，紅隊終將獲得最後的勝利。

習題

題目
假設已知所有的指數運算規律，證明
假設已知所有的指數運算規律，證明
假設已知所有的指數運算規律，證明
猜想

說明為什麼？
猜想

說明為什麼？
若注入體內的藥劑劑量是 A 毫克，經過 H 小時之後變成 A/2 毫克，則稱 H 是此藥劑的半衰期。假設某種抗生素在人體內每小時會被代謝排泄掉 40%。請問此種抗生素的半衰期是幾小時？[HA]
若從民國六十九年開始，新屋房價大約每年漲價 5%。請問在哪一年，房價將達到民國六十九年時代的兩倍？
肯亞在 1984 年的人口數是 19.5 百萬，在 1986 年是 21.2 百萬。若肯亞的人口可以每年呈固定比率成長，請問她的每年成長率是多少？[HA]
盡量化簡以下算式：[HH]
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