九十學年暑期‧微積分學分班

第一週驗收評量

1 (5 分)	考慮，n 是正整數。當 n 非常非常大的時候，您猜想此函數在範圍內的曲線長度大約是多少？猜一個整數。簡單說明您是怎樣猜測的。
2 (5 分)	寫出 $\sqrt{x^2-4}$ 的定義域。
3 (5 分)	觀察以下函數曲線。若已知是一個多項式，請問它的階數至少是幾？可能有幾個實根、幾個複根？簡單說明您是怎樣判斷的。
4 (5 分)	針對以下有理函數，請探討它在 $x\to\,\pm\,\infty$ 時的情形？有無漸近線 (如果有，說明之)？與 x 軸在哪些地方相交？ $\begin{displaymath}y = \frac{3x^3+2x^2-11}{x^3+8}\end{displaymath}$
5 (5 分)	假設某種抗生素在人體內每小時會被代謝排泄掉 40%。每次注入的劑量是 250 毫克。請問注入後 5 小時，體內大約有多少毫克的抗生素（給一個整數）？
6 (5 分)	假如買一筆共同基金，每年可望增值 12%。如果您希望六年後有一百萬，那麼現在應該買多少？（假設六年間都不賣掉也不加本金，給一個整數）列出算式。基金不同於存款，購買者需自負盈虧。）
7 (5 分)	每個行星以大約橢圓形軌道繞太陽運行。定義行星的均軸是此軌道之長軸與短軸的平均值。刻卜勒 (Kepler) 發現，行星繞日一週的時間，大約與其均軸的 3/2 次方成正比。已知地球的均軸大約是一億五千萬公里，而一年以 365.25 日計算。水星的均軸大約是五千八百萬公里，請問水星的一年大約是地球的幾日？
8 (5 分)	若是一個在整個實數上有意義的函數。定義證明是一個偶函數。
9 (5 分)	在一個半徑為 $\pi$ 的圓上，圓心角 ${\pi\over2}$ 所對的圓周弧長為幾？
10 (5 分)	若是奇函數而是偶函數，請探討它倆的乘積 $f(x)\,g(x)$ 有什麼可以確定的奇偶性質？
11 (5 分)	請問 $1+3\,\sin x$ 的最小值是多少？
12 (5 分)	推導以下等式 $\begin{displaymath}\tan \frac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{\sin x},\quad x\in(0,\pi)\end{displaymath}$
13 (5 分)	請問 $\sec x$ 的頻率是多少？
14 (5 分)	請問 $\sin \pi x$ 的週期是多少？頻率是多少？
15 (5 分)	根據和差公式，帶有相位差的正弦函數，可以轉換為沒有相位差的正弦和餘弦函數。一般而言： $\begin{displaymath}A\,\sin(px - \theta) = a\,\sin(px) + b\,\cos(px)\end{displaymath}$ 請問 $\begin{displaymath}\sqrt{a^2 + b^2} = \hbox{ ?}\end{displaymath}$
16 (5 分)	將以下函數分解成兩三個更基本型式的函數合成。但是不要寫出像這樣的答案。 $\begin{displaymath}f(x) = \sqrt{1+\sqrt x}\end{displaymath}$ TEXDATA="\pagecolor{\rgb{248}{244}{231}}
17 (5 分)	如果是一個週期函數，請問它是否會有反函數？
18 (5 分)	求 $\arccos(0.5)$ (如果存在的話)。
19 (5 分)	求 $\cos(\arctan x)$ 與 x 的關係。
20 (5 分)	令是 [0, 1) 的特徵函數，請問是哪個區間的特徵函數？