數學科教材教法 (11/10 6:30--7:00 pm) 郭嘉慧 對於數學這門科目，在教育中小學生的時候，有一些理想以及實現的方法。其中 有關理想的部分，我們在前六個小時解釋過。身為教育工作者，要有自己的教學風格 ﹝style﹞，一位有獨特風格的老師，可以帶領學生，產生良好的教育效果及正向的作用， 使學生能產生自己的信念，進而培養創造的能力。什麼是風格呢？比如說有人穿衣服 總是西裝領帶、有人從頭到腳都是皮爾卡登，這就是穿衣服的風格，還有日用品、 生活習慣、飲食起居等等，都有一些和別人不同的特色。除此之外，在生活中，人們 應該有一些更深層次的文化風格，就連作研究也是如此。張憶壽老師曾經說過：「作 研究最重要的不是做出了多少東西，而是要有自己的風格──有風格就容易領導別人。」 現在，我們把教學風格分成教材和教法兩部分。 在教法方面，我們在前面的課堂中一再提及，有邏輯、口語、圖形、數字、欣賞五大類。 第一類，邏輯，是指一些嚴格的推論與證明，在中小學也包括呈現在課本上的公式及固定 的演算法則，這一部分是數學所不可或缺的，但也是最令學生感到無聊乏味的。在許久 以前，數學教育家們認為，既然邏輯在數學上這麼重要，就應該從小加以訓練，但是 後來有一群學者看出不能只偏重這麼理論的東西，中小學生會無法理解，無法將數學 活用於日常生活中，如此一來，就失去了數學發展的原動力，於是提出了以下二、三、 四類。第二類，口語，是指自然語言，日常生活的話，不是印在書中的話。就像在解釋 「數列的收斂」，並不是在嘴中唸出ε、δ就是口語了，應該用平常能用得到的東西 來「比喻」，像是：「如果我是數列的收斂點，也就是說有一個數列收斂到我這裡， 那麼無論我怎麼築圍牆，不論圍牆再怎麼靠近我，這個數列在某個足碼之後的數都會 在我所築的圍牆裡面。──我總是不得安寧！」除了用日常生活看得到的東西之外， 也可以是歷史，或者是曾經發生在生活周遭的事，總之，就是要讓正在學習的知識 變得更容易了解，更容易為人所接納，讓學生更能觸類旁通。第三類，圖形，主要 分成兩部分，一部分是運用圖畫或動畫幫助學生產生興趣及輔助記憶，一部分是為了 取信於學生，比如說在黑板上直接畫圓與直線相切，學生會很懷疑，老師自己說會相切， 當然畫成那樣，但是真的會相切嗎？這時候就要用電腦輔助，告訴學生說，看吧， 真的相切了！如果學生仍然感到懷疑，老師甚至可以將局部放大，產生「zoom in」的 效果，這就是電腦的好處了。 當然，即使是電腦，也是可以動手腳的，也是會產生錯誤的，舉例 Sum(1/n) 之和當 n 趨近無限大時，在電腦中會跑出一個固定數，但是我們都知道實際上 它是發散的，這是因為電腦不能計算無限多位，所產生的誤差，雖然如此，電腦仍然 比較能取信於學生。 此外，老師也可以用大圓規、大直尺、大三角板、大量角器在黑板上作圖，至少比 直接用手畫要好得多了。 第四類，數字，給予學生「真實」的數字，舉個例來說，如 學生不相信「(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+ … = 1」就可以丟給電腦跑跑看， 當學生看到所得到的數值越來越靠近1的時候，學生就會比較相信這個式子。 還有在應用的例子中，如果直接用很實際的數據來計算，往往算出來的數字會比較 複雜，但是如果設計一些簡單的數據，往往看起來就沒有那麼真實，所以在取捨 的時候就要注意，在做為教材，老師能夠事先準備的時候，最好採用真實的數據， 學生比較能接受，而在出題目給學生算的時候，最好能把數字設計得簡單一些， 使學生容易計算。第五類，欣賞，這一類是中國大陸的學者在近年來所提出的， 希望學生能多接觸有關數學的歷史故事、人物、事件、社會背景等等。雖然沒有 實驗或調查證實，但是學者普遍相信，提升學生對歷史的了解，有助於提升學生 整體的文化層面，其好處有二：第一，能提升情感──身為數學老師，不要總是 希望訓練出數學家，把標準降低，保持開放的胸襟，帶領學生欣賞數學發展的 整個演進過程，學生會比較喜歡數學。第二，對新的事物能有較高的創造力── 理由有二，如果學生知道現在所看到的這一切數學，都是由人們慢慢摸索、修正 得到的，不是一開始就長得那麼完美，學生就會敢於創造，因為他們知道所有完美 的東西，都是由不完美的創造修改而成的，此外，古人說「溫故知新」，唐太宗 也說過「以古為鏡可以知興替」應該也是原因之一。 在教材方面，共可分成四大類。第一類，教科書，這是最規格化、最沒意思的 一類，但是全國都在用，所以也是最不能漏掉的一類。第二類，講義，在編寫 講義的時候要特別注意，不能有錯別字，文句要完整，不能只寫「key words」， 也不要只有條列敘述，講義上寫的和黑板上寫的一樣，就達不到寫講義的目的了， 這樣萬一學生有一些課「因故」沒有聽到，回家看講義也看不出所以然來， 所以應該在講義上多寫注解。第三類，電腦，包括運用電腦製作圖片以及 運用電腦計算數字，一方面幫助學生了解上課內容，一方面取信於學生， 這些的應用剛才都有提到。第四類，整合與關聯性的教材，上次說過， 「知識是你所知道的事實所串聯起來的網」，所以常常會有直向和橫向的關聯性， 所謂直的，是有前後順序的東西，比如說， N → 0 → Z → Q → R ，在數學 中說定義，就像在字典中解釋名詞一樣，在中小學沒有給學生嚴格的實數定義， 學生只知道實數是有理數和無理數的聯集，卻無法準確的說出所謂無理數有哪些， 所以很多學問其實只是命名之學。所謂橫的，就是指過去或未來所學的和現在所學 的有什麼關聯，比如說，有理數和分數、小數、有限長、無限長有關；實數和複數 有關；有理數、整數和整係數多項式有關；…。當學生的心智能力夠了，自然能問出 程度夠深的問題，像一個九歲的小孩和一個六歲的小孩，討論到「為什麼眼淚是鹹的？」 他們只要得到類似「因為眼淚裡面有鹽」這樣的答案就滿足了，他們不會想到也比較 無法理解更深的道理。 說到這裡，我們下一個小小的結論：希望大家能朝以上所說的方向，建立自己的教學 風格，最重要的是整合性與關聯性的教授，「知識是你所知道的事實所串聯起來的網」， 如果沒有網，人們就無法記起所學的事，所謂聰明的人，就是會建網的人。人類的記憶 存取的方法就是建立圖像，明瞭事物之間的關聯性。在讀書的時候，如果沒有建立 關聯性，就只會做單一章節的題目；如果建立了關聯性，即使放長假之後，仍然 記得起重要的觀念。