數學科教材教法(11月17日 6-6:40pm)數碩二 張錦坤 數學這門課的主張:(1)教師風格(principle) (2)教學行為(implementation) 教師風格是虛無的目標、精神上的事情,表現在說話的態度,選擇教材的 態度上而教學行為是落實方面的。 現在,我們把教師風格分成教法和教材兩部分。在教法方面可分成四大類, 有(1)邏輯(logic) (2)口語(verbal) (3)圖形(graphical) (4)數字(numerical) 別描述之。 一.教法 在邏輯方面,教學風格重視邏輯的推理,如Cauchy Schwarz inequality 的 推導過程是非常的邏輯。又如1/6除以3/4 可以非常程序化的証法, 先告訢學生將3/4 翻過來就是4/3 ,告訢學生困難的關鍵,我們都是 走過來的人,也許忘了當時候的困難,但將來面臨學生時,我們要設身處地的 跟學生講,這是一個很大的關鍵,但這種關鍵不管跳過與否,這是邏輯或程序 上的動作,將來我們在教書時應該要非常注意。 在圖形方面,我們可以借用電腦,將三維圖形的投影做旋轉,使可以看到另外 一面,使學生更容易了解圖形的概念。同時,也包括了動畫比如要表示函數 f(x) 的圖形,則f(x-a)表示向左邊移動 a 個單位,代表水平平移或左右平移, 此觀念對大一機械系學微積分的同學有大半都無法清楚了解。在某些軟體內, 只要一行就可以做一個動畫,這個動畫比如十五分鐘。此種情況可以很清楚的 看到拋物線,雙曲線的圖形,我們也可以將此動畫反過來,可以從下面往上面, 使學生產生興趣。老師在微積分的內容想到有很多的單元可利用動畫的場合, 至於中學的數學在那些場合可以利用動畫,今後我們都有機會來嘗試。 所以在教法方面,我們一再地強調此四件事情,今後應將此當成準則。在做反省 檢查表時,要常常看是否做了此四件事情。 二.教材 在選教材方面,要注意到下列四件事情(1)單元主題 (2)整合性與關聯性 (3)應用 (4)歷史與欣賞。以下分別描述之。 (1)在選擇教材時,最重要的是不能缺少這個單元的主題,在此單元主題上建立 Mental Modol 即心智模型,或在腦內對此東西的認知或建構之虛無的心理學 名詞或哲學名詞。當我們認知或建構時,也許不知自己在說什麼,但可以感覺到自己在 說什麼。當心中了解一件事情時,在腦筋裏怎麼把它和現在所知的事情連在一起,或 使用代表符號來知道這件事。例如一個函數是連續時,你心中想到什麼 ?當一個連續 函數未必是可微,你想到什麼?是証明或例子呢? 例如想到y=|x|,這就是一個 Mental Model,再將|x|分成零的左邊和零的右邊之開區間討論,則左右邊開區間 是可微的,且導函數分別為負1與正1 ,很顯然地,這兩個函數接不上。當我們要跟 別人說明或辨論某事,先想這個模型的特色,再來推導其他東西。例如緊緻集合, 你會先想到定義或與其等價的定理呢? 所以在選擇教材時,我們特別在每個單元的 主題,想辦法選擇一個好的說法或教材,使學生建立有效率的心智模型。 (2)整合性與關連性 : 這是很重要的,因為許多研究均証明人能記住的事情也許很多, 但能想出來的例子是很少的,當別人告訢你某個答案時,你會突然說我也知道,但為何 考試想不出來呢 ?就是因為在腦筋裏,資料雖是存入,但卻找尋不到,取不出來, 不像電腦可以把事情編號,再容再地找出所要的資料。但人腦能用關鍵或心智模型的 例子去聯想相關的事情。所以有聯想性的東西才能讓學生取得出來並記得住,提醒大家 在選擇教材時不要忽略了此事。 (3)應用 : 數學其實可以不依賴其他的應用,而獨自存在這是許多純數學家的觀點。 數學是將眼睛所看到或聽到的事件,將其抽象化,抽象化後未必要與真實世界有關連性。 就像一條線沒有粗度或一個點沒有面積,但在任何地方畫一條線或打一點都有面積或粗度, 但腦筋中沒有那個模型。創造性教學的教授演講時, 將創造性教學的研究分成四大類, 數學、科學、技術和藝術。所以數學和其他東西都是分開來講。科學方面包括生物、 化學、物理等。技術方面包括電子、機械等,這兩種範圍有創造力的人,都有其特色 及研究成果。但數學上幾乎沒有成果,無法界定什麼樣的人有創造力,唯一共同的特徵, 就是他們均很聰明。 往往科學家認為對的事情,事實上未必是對的,只是還沒有找到反例, 例如哥白尼時代,爭論地球繞太陽轉,還是太陽繞地球轉 ; 地球是平的、方的或 是圓的。 到了克卜勒時, 証明所繞軌道為橢圓 ,並有克卜勒行星三定律。牛頓時, 利用萬有引力定律這模型幾乎可以解釋世界上所有的物理現象 。所以這個東西被大家 所接受,視為正確的模型。但到了愛因斯坦時又做了修正。又如電流的現象,也有 類似的 情況發生。人所看的,想過的都是很有限,不可能知道所有的例子。 數學與科學最大的不同,在於數學研究的全是人腦所想出,未必要對應 現實狀況,但經常這此東西被科學家拿去解釋某些現象,由哲學上的理由來看,因為 數學家也是生活在這世界上,他所能做出來的數學,也是從日常生活中得到靈感和 經驗。