數學科教材教法課堂筆記(二) 數三A 游逸峰 84021100 在數學的教材風格中，其中有一項叫作欣賞或是叫歷史故事，現在應演變為 常識，常識則與知識的多寡成正比，通常是知識的5%，熟練的知識就會變成 常識，在星期四我參加的中央大學創意教學研討會，一位英文系老師引用他 一位數學家姐夫的話，數學是很有詩意的，我反駁說你說的沒錯，只是一個 沒受過數學教育的人他是不能了解這一點的，你要了解文字中的詩意通常 不太難，只要能了解那個文字意思，例如唐詩宋詞或是以前英文的十四行詩， 繪畫亦是在畢卡索之前幾乎不用受過繪畫訓練即可欣賞，而之後呢，會畫變得 像數學一般須要訓練後才能它的好，最近陳建榮到美國華盛頓特區前曾問我 哪兒好玩，我特別推薦他去美術館，那美術館有兩個，分為東館和西館， 東館為貝聿明所設計建造，貝聿明這輩子可說只蓋過一棟房子，但蓋了兩百遍， 他的設計說穿了就是三角形，而這東館也就是現代美術展覽館，其內有一房間 約M104這般大小，展覽著畢卡索十八歲到五六十八歲的作品，每十年一幅， 非常有趣的看到這畫中人從本來是個人樣，變得越來越不像個人，他二十歲 與三十五歲所畫的兩幅畫都命名為女人，前作明顯看出是個女人，後作差不多 還像個女人，等他四十多歲再畫的那幅女人我是沒有辦法體會那還是個女人， 所以繪畫變成需要訓練才能欣賞，欣賞數學的美有很多也是需要訓練的， 在我與那位英文老師的談話中，有點令我不太高興的是他相信他姐夫的話 卻不相信他身旁的我，似乎認為我的水準一定比他姐夫差，不相信我所說 欣賞數學是需要足夠數學訓練，而事實上我可以告訴你英文詩句的美，我可以 跟你同樣的體會，唐詩宋詞亦是，但數學的美你不能跟我分享，這就是我們 深度不同的問題，很多學人文的人忽略數學與科學的美只因他們從小沒接受 過這方面的思想與這思想的美，從會議結束後我一直在想有哪些數學上的美 可以對映給文學院的人看到而又不需要太多這方面知識。 今天我提出三點我想到的事情，我在上星期六一邊修地磚一邊想這事，對於 數學的美我還想提出它在教育上的意義(1)驚異的美：關鍵在一句重點的話， 大腦因新奇而被喚醒，這是我在看那本多元智慧一書時跟你們提過的，作者 說在這意義之下我們的大腦可能沉睡了十五年，反正就你受教育的時間，你的 大腦就開始沉睡了，下課時它才會醒來，因為新奇不會在課堂發生，數學也有 新奇，然而你必須要有相當的數學修養你才看得到，進而點出，給學生看我 舉一個例子：有誰背得出答案，這在微積分可證明它收斂，因為以 Riemann Sum來看它是1到無窮大的積分，此積分收斂答案就是1，所以這有 上限，若n=1,....,N把它當個sequence看，它漸增，漸增又有上界的數列 一定收斂，這是實數完備性，如果用計算機計算它收斂到哪個數出來一個 很奇怪的數，大部分的人可能因此停住了，反正第一已證明它收斂了， 第二又得到一數字約1.37左右，這是個非常著名的例子，是Euler證明的事情， 這答案是這東西你要點給學生看為什麼很新奇，很不可思議，因為這兒加的 都是有理數而且都是整數分之一，1+1/4+1/9+....這些數湊在一起怎讓 這出來的跟圓周率π扯上關係的，這是非常讓人吃驚的事情，還有一個簡單的 就是1/(1+x^2)在[0,1]之間積分等於π/4，如果跟高中生則可說1/(1+x^2) 曲線下圍的面積為π/4，這π如何出來的，當然你知道微積分後就不足為 奇了，但這樣就沒啥新鮮的，不過它的確很美妙，若沒這式子則祖沖之算π 還是領先世界，可是有這式子，π他們要算多準就有多準，若你未告訴學生 證明過程，那這式應該令人覺得驚訝，令人覺得這不可思議，你可以多跟 學生說點故事，讓他們愈來愈感歎這事，其實學了微積分的同學應該多知道 一點，這函數1/(1+x^2)從0 到無窮大的積分是π/2，所以0到1就是一半， 所以面積就出來了，1到無窮大不過補了另一半，如果不看證明這是你無法 想像，無法理解的，這在教育上是有意義的。 (2)詩意的美在教育上的意義：由多元智慧論知，這種解釋起來可以從學生的 語言智慧切入，從這方面激起學生對數學新奇，或對它美的認識，詩為什麼 會美？第一不能長，第二音律要漂亮，第三要說得美，有句英文It is not what you say, it is how you say it.即不在你說什麼，而在於你怎麼說， 舉個極美的數學例子exp(i*π)+1=0 ，它短，唸起來音律也美，它在數學上 意義的美，有最重要的常數e,i, π,1,跟0最重要的運算*,+,與次方，還有 數學上最重要的觀念“=”這些全寫在一式上，但這為什麼對，說穿了這式 不就是 e=cosθ+i*sinθ，而cosπ=-1,sinπ=0這就是一首詩啊，你看以 前面方式告訴學生跟以後面方式比較，前面顯得詩意多了，後面好像是說 春天來了水變暖了，鴉子都跑去游泳了，而前面就像是春江水暖鴨先知， 雖然是同一件事情，但詩意就在這兒出現，我們數學有很多地方有詩意， 但你必須要去體會它，這就是我當時與那位英文教授談話時心裡想的， 如果沒有人指點你，你將無法體會 (3)圖像我想了一個遊戲，同學試著把雙手在頭上圍一個圓，則頭頂這點 差不多就是圓心，我們把手伸平這長度大概就是身高，而頭長大概是圓半徑， 所以身高和頭長比約為2π，我拿我自己和小孩測量，大概都差不多，有人說 維那斯肚臍上與下的比為黃金比例，現在或許她的頭身比為1:2π，我又想到 頭與雙手伸平所圍之三角形面積等於雙手圍成之圓面積，當年希臘人證明圓 面積等於2πr^2的辦法，這叫一個方圓問題，即如何找到一個圓，它的面積 等於一個正方形面積，阿基米得找到一個直角三角形的面積和圓一樣，我這 圖即把其改良變為兩邊各一半，變漂亮點，這是一個圖像的美，它可從空間 的智慧切入，如果能做些肢體配合，你也可以從肢體的智慧切入，阿基米德 怎樣找到一個三角形和這圓面積相等，他是利用圓的正外切多邊形作法， 如下圖，在古老的方法，我們只知道矩形三角形，多邊形和圓形面積，而曲面 下面積要到微基分出現才有辦法。