數學的方法、動機與目的

我本來想要說，對於每一個數學課題（或主題、或單元），
我們都要明確地向學生交代『數學的意義』。
但是後來又想，「意義」這個辭太抽象了。
想要對中學生講解什麼叫做「意義」就已經夠困難了，更何況是數學的意義。
因此我設法將這一節想要表達的事情，用更明確的名詞標明出來。

我認為，對於每一個數學課題，在我們的教材內容中，
都要明確地向學生交代有關這個課題之『數學的方法、動機與目的』。
說得更淺白一點，「方法」就是「如何做」、
「動機」就是「為什麼要這樣做」、「目的」就是「做什麼」。

大部分的數學老師，都能詳實地傳授「方法」這一部分。
這確實是數學內容的最主要部分，也是國內學生的數學能力，
比起西方同儕最為自豪的部分。
但是，數學課之所以獲致最多的反感與誤解，卻多是因為忽略了「動機」與「目的」之故。

特別要提醒大家注意的是，數學的動機與目的，時常可以分成內部的與外部的。
所謂「內部」，指的是數學這門學問的內部。比如說微積分的嚴謹化，
集合論乃至於整個數學的公理化，其動機與目的都可以算是內部的。
所謂「外部」，汎指應用於數學以外的。比如說 delta 函數與廣義函數的定義，
其動機可以說是來自於量子力學，所以是外部的。再如最初發展微積分的動機，
亦可說是為了能夠以數學方法，處理像牛頓運動定律 (F=ma) 這樣的物理關係，
所以也是外部的。

有的時候，無論是動機還是目的，都牽涉到超出中學生知識範圍的典故。
這就是中學教師的責任：要能夠抓住要領，以當代的眼光，回顧一段歷史，
用適當而淺顯的範例，甚至以感性或哲學的口吻，傳授這兩部分的知識。