核心通識 -- 文化脈絡中的數學

100 學年第 2 學期(第三屆)

作業九

  1. 針對牛頓所著之《自然哲學的數學原理》, 簡報裡提出哪三項「哲學」理念?

  2. 請複習組合數,寫出 Cnk 的定義。 按照你寫的定義,代入 n=5,k=2,求其值。
        然後,按照你寫的定義,代入 n=-1,k=1, 2, 3, 4, 5,求其值。 你猜,對於一般的正整數 k, C-1k 是什麼?
        以下不是作業問題,閱讀即可,不必回答。 如果你找到了上述組合數的公式,其實你就發現了「青年」牛頓發現的一件事: (1+x)-1 的二項展開公式可以寫成無窮多項,其中規定 Cn0=1。其實,它也是以 -x 為公比的無窮等比級數公式
       1
    ------- = 1 - x + x2 - x3 + x4 - x5 + ...
     1 + x
    
    至於其「收斂條件」,只是一個技術細節,現在不提了。

  3. 當 f(x) 是一個多項式,則對任意實數 a, f(x) 除以 x-a 必有一個商式 q(x) 和一個餘數 r=f(a); 請以 f(x)=x3+x-1 和 a=1 為例,算出 q(x) 和 r。
        所以,根據除法原理,f(x)-f(a) 必定被 x-a 「整除」,得到商式 q(x)。 也就是說
    [f(x)-f(a)] ÷ (x-a) = q(x)
    (這個情況就好像:如果正整數 m 除以 p 得到商 q 而餘 r,則 m-r 被 p 整除, 得到商數 q。例如 17÷3=5...2,則 (17-2)÷3=5。) 所以,我們「幾乎」可以說
      f(x) - f(a)                            17 - 2
     ------------- = q(x)   (就好像我們說 ---------- = 5)。
         x - a                                  3
    
    在上式之右側,我們可以代入 x=a 計算 q(a) 的值。 試以 f(x)=x3+x-1 和 a=1 為例,算出 q(a) 的值, 並說明將 x=a 代入左式,會發生什麼情況?
        請問理、工、資、地學院的同學:數學如何處理上述尷尬的情況?
                    f(x) - f(a) 
    亦即,如何處理 ------------- 在 x=a 處的值?
                      x - a   
    

  4. 請自行查詢資料,簡要回答橢圓的「離心率」是什麼意思? (可以繪圖輔助。)

  5. 文本的作者認為: 唯有當社會中從事「智力勞動」的人口比例夠高的時候,「國民教育」才開始有意義。 請闡述妳/你贊成或反對的意見。



Created: May 25, 2012
Last Revised:
shann@math.ncu.edu.tw