由此例可看出集合是不能隨便去定義的， 但如果我們要嚴格去定義的話， 又好像是要去探討什麼是點什麼是線一樣， 是我們無法用其他詞彙去描述的東西。 於是在我們在讀集合論時，集合的定義總是很快就帶過， 我們對於集合的定義沒有非常清楚，也不會問很多問題， 一旦假設我們都明白什麼是集合以後， 之後的集合論就可以繼續學習， 如：兩個集合的交集、聯集、差集、子集合與原集合的關係等一些很基本的集合論。 而交集、聯集的結合律，符合狄莫更定理的分配律， 像這些運算性質就也可以繼續發展出來。 但是最根本的問題我們不要去問 -- 究竟什麼是集合？ 用我們的直覺以及天生的瞭解，這就是訴諸於本能了。
這是不是天賦本能？現在正常而言真的被認為是天賦本能， 我們可以換個角度想：這個天賦本能不是四十萬年前我們這個物種出來就有的， 其實是經過四十萬年的物競天擇演化來的。 演化有另外一個比較殘酷的意義，就是不適合的那些人的基因被篩選掉了， 他沒有傳下他的後代，所以說四十萬年來我們這個物種之中， 不能數不到十、數不到一百的那些人的基因都沒有被傳下來，這叫做演化。 我們用反面較殘酷的眼光看演化這件事，就是把不適當的踢除掉了， 用正面眼光看演化看這件事是朝好的地方發展。 那人類這個社會特別是我們現在比較富裕，很多人就在扮演神的角色， 這話說起來挺傷人的，但這個環境還好，有一些人可能身處我們的周遭， 那些人本身生存條件是較差，先不論要工作等或是像五千年前種田、 狩獵的生活環境中是存活不下來的。 但是現在的人類社會是容許有很多這種以前活不下來的人， 但是在台灣社會或許他不但活了下來，父母還替他到泰國或者是越南找一個老婆， 讓他的基因傳下來。 其實我們理性想想也會接受這個意見：那些人本來是應該被物競天擇的， 提到這理念不代表我們要把那些人處決亦或是放棄掉， 在這個文明的社會的確可以養他侍奉他一輩子， 我們這個社會付得起這個成本。 但是讓他的基因傳下去，這其中就很有商確的空間。
回到演化話題，說不定一萬年以後每個人生下來就有極限的直覺， 沒有極限直覺的人可能在這一萬年中漸漸地不能傳下他的基因。 會不會有這樣的未來呢？ 我們現在不用擔心有沒有可能發生，但我們可以想像以此為主軸的科幻故事， 也有些人覺得我們的文明不會再持續一萬年，我們沒有下一個一萬年了， 這都是很難說的。 我們有文字歷史的這接近五千年是改變的非常大， 跟我們沒有文字歷史大約四十萬年來改變甚巨。 整個人類歷史的進步加速的很嚇人，好像一種指數函數般， 並不是說這十年與過去十年或是過去任一段十年的差異是一樣的。 用這五千年的進展速度來外插未來的一萬年的確是有點難以想像， 有不少的科幻小說在問：我們要到哪裡去。
拉丁文變成很特殊的一個文字：只有文字沒有語言， 而且這個文字也沒有人在寫了， 所以拉丁文變成了一個只能讀的語言，就是從古代的典籍開始去讀拉丁文。 而近代拉丁文典籍重要的都翻譯成英文了， 對我們來說近代最為重要的拉丁文典籍是牛頓的那一本自然科學的數學原理， 在這本書內牛頓寫了運動定律、微積分、微分方程， 以及他如何以微分方程和簡單的運動定律導出月球的軌跡、 地球的運行與日蝕、月蝕、潮汐漲落等的關係， 一些微積分的理論與數學工具都可以用他所提想法來解釋。 在牛頓之後還是有其他人用拉丁文來寫數學書，譬如：歐拉 (Euler)。 所以學了拉丁文對於學習較古老的數學或牛頓等人提出的數學方面理論有幫助，
回到當我們在學數學時如果不曉得該採取何種策略， 就假設我們在學習一個新的語言，我們做類比看看。 可以類比的例子有很多，譬如說： 到底小孩子該不該熟練的做一百以內的整數計算和質因數分解？ 如果現在我們想一想不知道的話， 好像正反意見都有道理， 不妨想想看學語言怎麼樣？ 就如九九乘法表弄得滾瓜爛熟，事實上在英國、新加坡他們還有九九加法表， 在很小一、二年級的時候搞得很清楚二十以內的加減， 九九加法表最多到十八， 這二十以內的加減其中的湊十與拆十在後來的某些情況下相信是極重要的事， 譬如：7+5=12 這是較簡單的，但是 12-7 一般來說我們只能倒著數下來， 好一點的方法，例：17-5 不需要借位，但 12-7 就要借位拆十， 要很快速的將 12 拆成７與何數？如果可以很快的剖開來的話，那就很簡單， 這種借位的減法就可以容易在心中完成，二十以內的加減法、 一百以內的乘除法訓練到很熟練，就相對學習語言的基本字彙。 我們不能說數學裡的字彙是像 prime number、 compact 等那些字， 這些字是字彙沒錯， 但它是很後面所要學習到的根據前面已知再去定義很高層次的名詞， 就像我們學習英文一樣，我們今天可能認識了兩三千個字， 我們考學校的英文檢定大概沒什麼問題，但是如果試試看去考 GRE 卻不然。 舉這個例子是想說明很多字彙是很簡單，如：I am tired。 而一樣是疲倦的意思英文有不同的詞彙， tired, exhausted, fatigue 等字， 其中越後者可能就越少人知道那個疲倦的字， 這些字顯然跟一個人的文化成長有關係的。 我們對中文太熟了，可能找不出好的例子來， 而相較於中文，英文我們較不熟就感覺得出來。 當我們去讀中大一年級程度的英文字彙， 以及要考 GRE 準備的字彙的時候就會有強烈的感覺， 為什麼每個字都不認識，光是 A 開頭的字就可能有 200 個不認識， 數學上也是如此，我們有 compactness 等絕不可能小學或是中學學生會碰到的字， 那些字是學習到很後頭層次非常高才可能遇到的， 但是我們剛開始學一個語言時明白人的認知是要慢慢來的， 不可能在中學時學到 tired 就告訴我們所有疲倦的同義詞， 然後告訴我們莎士比亞是怎麼用、文學界又是怎麼用的。 那些微語言上的差距，這算是有目標的學習， 同樣一個疲倦意思而各自有何精美的差異， 但在中學我們不會如此教導學生，我們也知道我們在中學是不能這樣被教導， 也一定會跟不上。所以學習語言也是有認知發展、有一個程序的。
數學的語言不能認為只有 0.1.2...9 這十個符號， 因為這十個符號的後面後還有很多的基本的片語或詞彙， 像：1+1＝2 是一個詞彙，7+5＝12 如果我們算的熟練的話也是一個詞彙， 7+7＝7*2＝2*7＝14 這也是一個基本的詞彙。 這些基本的詞彙就像我們在學英文字一樣， 而非 A 到 Z 那 52 個大小寫的英文字母。
我們究竟應不應該熟練二十以下的加減、一百以內的乘除？ 如果我們認定這個東西是基本字彙， 學習英文也是一樣要知道字母不是最重要的事情， 學會了英文的 A 到 Z 字母，誰會承認我們會英文？ 今天我們這國家的每一個不管年齡、不論受過多少教育的人， 我們都可以假設他曉得大寫的 26 個英文字母，在一次辯論時所提出的， 但是有人說不能用這東西，因為這並不是我們中文，必須用甲乙丙丁， 有點生氣再提出認為 16 歲以上的人應該認識大寫的 A 到 Z ， 至少 A 到 H 沒有問題， 因為我國的身份證字號第一個字是大寫的 A 到 H 中之一， 我們國家應該做此假設任何人都曉得這些字母， 要不然憑什麼我們自己的身份證字號第一個字是大寫的英文字母。 所以我們要假設所有人能回答這個問題、他可以辦一張信用卡、 可以到銀行做貸款、任何有關金融、有關戶政的任何工作， 這其中重要的是，我們不必假裝我們這社會有些人是可以不知道英文字母的。 但知道英文字母並不代表他有英文閱讀能力， 英文閱讀能力是關係在一個人認識的字彙程度上， 對讀數學系的我們而言就假設我們可以接受：二十以內加減、 一百以內的乘除是我們的基本字彙， 沒有這個字彙就好像我們不認識最基本的 100 個英文字一樣， 有誰可以相信： 一個中學學生如果不熟練最基本的 100 個英文字也可以讀懂一篇文章？ 他可以將來學英文如何去學下去？
這是數學思維的一個特色，當我們想不清楚一件事的時候， 想一個極簡單與極難的例子，中國人說過頗有道理的一句話：取兩端而知中庸， 如果我們不知道一個線段的兩端點在哪裡，我們怎能知道中點在何處， 我們要抓到事情的兩端才能取中庸不要太偏激， 我們不用對人太好也不用對人太壞要取中間， 但我們要知道最好與最壞能到什麼程度， 才能知道中間大概是什麼樣子，這是一個數學思維的特色，
因此，當我們想不清的時候這也是思維的一個方法， 可以想想看在我們面臨的事情裡， 最簡單的例子與最難的例子是什麼， 這兩個例子如果有一點感覺的話，大概這個問題就有希望了， 如果是個習題就有希望解了； 所以我們現在用類比於學習英文方式來看學習數學的話我們一定有基本的字彙， 這基本的字彙其實沒有什麼大不了的道理，就如英文字是演化了三千年， 是從對英文來說的很多外來語融會到那個民族與地區所演化而來的詞或字， 那些詞跟字可能沒什麼道理可以進一步探討，譬如：為什麼不定冠詞是 a 、 為什麼定冠詞是 the 、還有不定冠詞如果跟的是母音要變 an ， 這其中並無足以令人信服的道理。 所以在這思維前提之下，我們似乎要同意： 小孩子在他剛開始學數學的時候基本的詞彙要背的以及要用得滾瓜爛熟。 就像英文的 be 動詞、定冠詞與不定冠詞要用的很熟練， 這樣他下一步才能做下去也才會有希望繼續讀到中學二年級。
我們考慮學習數學語言的時候 保守一點小學前五年就目前綱要來看，學習數學就是基本練習， 全部是基本字彙，沒有談到有關值角三角形、等腰性質等， 我們只希望他們在小學五年能夠認的出來這個是四邊形、那個是三邊形， 三邊形內分的出大概何為正三角形、等腰三角形，四邊形中要認的出來正方形、 長方形、菱形、平行四邊形；其中曾經在審教科書時爭執了一問題， 正方形是不是長方形的一種，最後公認『是』的。這是語言上的差異。 在我們說國語的國家小學、中學裡，正方形與長方形在語言看來就有關係， 所以我們公認這性質，所以標準答案是『是的』。 但是用英文來看正方形 square 、長方形 rectangle ， 這個兩個英文字相交集的字母沒幾個，是顯然不同的兩個形狀。 當他們說 square 時不會有 rectangle 的東西，反之亦然。 而這我們國家社會如果出了牽涉到長方形的題目， 可能這個學生就會考慮到正方形這特例， 而在用英文等國家是沒有上述的必要性。 而這種語言上的差異到了我們讀大學後沒那麼大了， 反而是在很小的小孩時有發現那些基本的詞彙我們兩者之間是有差別的； 結論就是小學前五年就在學習一些基本的詞彙， 到了小學六年級才開始稍微需要一些思維與數學概念。
學語言與學數學也是一樣需要累積的事情。 雖然不是需要二十萬年的時間，但絕對不是一年做的好的。 也就是為什麼希望把英文教育拉到小學， 其中的反對派是說要先熟練一個母語， 而支持的一方提出學習英文需要很長時間的累積。 我們從中學一年級開始來不及累積到高一或者大一就能直接讀外文書， 要從夠小的時候用簡單的也就是薄薄的沙子一層一層的累積， 我們才能在六年或是八年之後閱讀西方的文獻。 我們的的確確從小一開始一層一層的累積學習， 一開始大家都會認為數學簡單， 但是很少人會到九年級還認為數學簡單。 就像累積了二十萬年的沙子其壓力已經開始出來， 而學習英文及數學讓大部分的學生覺得那麼的痛苦， 是因為沒有任何別的辦法，我們就是要一層一層很慢不能急的累積上去， 而且不管學到何種程度， 我們會發現過去學過的都跟今天來要學的有關 很難有一節數學課可以跟加法或是我們最害怕、討厭的部分無關， 如果是一堂課中的十分鐘可能辦得到但還是很困難， 不管我們學習到何種地步，我們越弱的東西會一再地出現， 因為我們不會注意對於我們強的部分了， 而越怕越弱的地方就會引起我們的強烈注意，所以認為他一再地出現， 當有一天我們去讀英文論文或是英文小說時， 我們會發現不認識的字彙為什麼那個作者一再地寫， 但是如果我們肯靜下心把那個不會的字好好查一下的話， 我們就可以發現那個自其實到處都在使用， 一點也沒有什麼了不起，這是學英文的一個歷程， 以上是英文及數學老師會被討厭的一個原因。
還有一個原因是因為英文與數學是主科， 在這個社會裡被認為是重要的， 而且是近代社會開始，特別是我們這社會裡英文與數學絕對是近代的事情， 只要稍微把時間拉久遠一點就活到 1850 年道光時期， 當時英國已經在侵略我們，所以可能就有些人會英文了， 所以在提前五十年 1800 年時，在那時代的學校裡面不管是私塾還是公學， 不可能會有英文科的，幾乎也可以相信連數學課也沒有的， 200 年前社會的不存在的兩科， 而現在幾乎每一個家長、老師、學生都最注重這兩科， 這就是事件的兩端，這中間一定有一個不連續的時間。 為什麼以前不存在的科目而現在卻是如此重視， 如果將以前比喻為 0 ，那現在就是 1 ， 這其中一定有什麼事情發生，當然可能是連續函數， 但是中間發生過的事情會讓人有不連續的感覺產生， 突然某一個時候大家的想法突然改變，發覺數學是重要的。 所以學生被壓迫的這麼厲害。
於是數學跟英文老師被學生討厭就有另一種說法。 數學是被社會認定為主要的科目，英文亦然， 如果我們想像另一個社會重視的不是數學或是英文， 而最最推崇的是『美術』：每一個小孩子進了學校以後， 從小學一年級開始就要學習調色，調完了以後就要用刷子來刷， 刷子刷完了要換毛筆，毛筆的大、中及小楷要會交替使用， 最後弄完了還要用噴槍，噴槍學習完畢還沒結束，要開始學習雕刻， 陰雕、陽雕、用刀子雕或是木雕都得學會，雕石頭、雕玻璃到塑玻璃、塑陶瓷等等， 整個小學六年最重要的就是這件事情； 數學課都被借去上美術課，學不好的要留校上第九節， 再不過就要被處罰，補習班裡學的是做陶藝等。 在那個社會理大家不會討厭數學老師，我打賭最被討厭的一定是美術老師。 數學老師的地位就是今天的美術老師差不多的地位， 每天只要把上課的時間借出去就好了。
所以回到這個社會學數學的學生為什麼受到這麼大的壓力， 相同的教授數學的老師也受到很大的壓力，甚至是不喜歡的眼光對待。 這並非是大家喜歡數學、或是重視數學， 現在人喜歡數學的心態或者程度就如同在小孩子他四歲、 五歲時把送他去上鋼琴或是小提琴的音樂課， 我們只要看這個小孩在 18 歲想要考音樂系時， 會允許他考音樂系，或是希望他考的是醫學系？ 因為絕大部分的家長可能相信一套從日本發明的奇怪理論： 就是指尖的刺激可以直接刺激到大腦神經的連結發展， 而最重要的時期就是 3 到 5 歲，如果這個理念能夠宣揚得很成功， 就連我們以後生了還子都會想到這句話時， 這就是現在台灣每鄉鎮都有音樂補習班的原因。 因為我們都被洗腦了認為這他小時候那個時期不是要學鋼琴就是學小提琴， 其實學習吉他也有學習小提琴指尖在按的功效， 又說最好是學鋼琴因為彈鋼琴是雙手分工，而學小提琴只有一隻手在按弦， 還又指出一定要練莫札特的音樂， 因為學他的樂曲最能啟發我們的理性思維， 對學數學幫助最大，那學其他的可能功效較小。 我們不知道莫札特本身數學好不好，現在沒有資料可考， 但是高斯雖然喜歡參加音樂會，卻沒有在童年就彈過鋼琴； 而我們這個社會上會樂器的人數裡就相對就較好嗎？ 所以這理論並不合理。 為什麼這理論會讓日本、台灣人這麼信服， 所以從小把小孩送去學樂器是不是希望他大學要考音樂系， 而是為了讓他將來學好數學，這種例子大有人在， 很多家長願意出錢讓小孩學樂器當興趣，卻不想要小孩將來讀音樂； 我們台灣社會上的學生跟家長真的愛數學嗎？
呈上述我們可以對應沒有很多人愛數學， 除了大學之後念數學系所的真的喜歡數學， 對數學抱持的興趣學習，大絕大部分那些數學很好的人， 甚至拿到了奧林匹亞數學競試金牌的人， 要讓他們保送到數學系通常興趣都不大， 但保送他們到醫學係、電機系他們卻是十分願意。 這種事情過去幾年有不少的例子， 他們寧可出國念以後能賺錢的科系，也不願意繼續在數學系上發展。 在國中小重視數學是功利主義的，是為了能到他覺得將來會有錢的地方， 或是權大的地方，絕對不是因為他喜歡數學， 所以數學的教育、數學老師的教導在國中小那 12 年裡是很可悲的。 我們是受到極大的扭曲，當我們在課堂上暢談數學的時候， 他興趣缺缺只希望我們給他公式給他一個超級解題方法， 而我們將來要當數學老師的都會面臨這個問題， 當我們發現這小孩很有數學天分的時候， 我們跟她爸爸說我要讓他去台大數學系上資優班， 他一定會很高興讓小孩去上， 但相反我們說要讓他直升台大數學的，家長通常會說免了不必。 我們都有機會會面臨這樣的情況，我們要想好我們有這樣教學上的問題， 我們要想好如何自處得當， 心態上既不需要太熱情也不必太悲觀， 他們覺得數學很重要，但是認知的心態我們要很清楚， 是為了升學為了下一步，所以大家不喜歡數學老師， 沒有人把數學當作獨立的學科，看重的是數學本身的美感與其價值， 每個人視數學為將來升官發財、飛黃騰達的工具、 或是上一個讓爸媽覺得光榮的學校的踏板， 所以數學老師被當成一個踏板的學習對象， 而可能成為數學老師的我們，應該就以上現象好好的自我調整。