數學科教材教法

國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域

數學與科學

94 年 10 月 5 日第二節‧劉文怡紀錄

數學是一種語言

關於數學是一種語言,我還有第三個闡述。 數學語言跟自然語言一樣,語言本身其實是不真實的, 並不直接對應我們的經驗或是一些物質。 我們的自然語言的確有一些對應物質的語言,譬如說桌子、椅子、投影機, 它當然是對應一些真實物體,但是那是因為我們在這個情境裡, 我們了解桌子、椅子、投影機是什麼意思。 這是人類思維很令人驚訝的一個地方, 當你說椅子的時候,絕大部分的人都會知道什麼是椅子。 但如果你要教電腦辨認什麼叫做椅子的時候, 這是非常困難的一件事情。像你們現在坐的椅子,它沒有四隻腳, 大部分的椅子都有四隻腳,但是有一些椅子它沒有腳,它是整個落地的; 有一些看起來是一隻腳,底下又分了些爪子出去; 有一些像明朝的椅子,木頭非常硬、非常直、垂直相交; 有一些椅子非常軟,坐下去就整個塌下去, 這些東西全部都可以被人認定為椅子。 但是如果你今天被要求寫一個程式, 那個程式只能看一張照片去決定照片裡的東西,是不是椅子, 這是件極為困難的事情。

我用這個例子來告訴同學,就算是自然語言, 語言跟真實之間,是需要人的理解來做連結, 它並不是 one-one-onto 的對應到一個真實世界的東西。 那數學也是一樣,數學本身是一種語言,但是在這個語言裡面, 我們不是並自我一致的。 在數學語言裡面,什麼叫做對?而什麼又叫做錯? 對,就是跟過去已知的數學沒有矛盾; 錯,就是跟過去已知的數學或者跟這句話的本身,能找到矛盾的。 簡單來說,數學裡面沒有矛盾的都是對的。 所以數學有一些語句,說它正確,你找不到矛盾;說它錯誤,你也找不到矛盾, 那麼既不能證明正確,也不能證明錯誤,它只好被當成是未知的, 你可以說它對也可以說它錯。

迷思

有一個很嚴重的迷思,類似於上一堂課的數學老師與美術老師的關係。 為什麼數學讓大家受這麼多苦,因為我們受到一些社會上的曲解、壓抑, 很少有人是真的欣賞數學,大部分的人只是把它當工具、踏板, 跟喜歡是完全不一樣的。

還有另外一個迷思,很多人都誤認為數學是真實的。 數學不是真實的,數學跟真實沒有任何的對應關係。 譬如說,絕對沒有一根真正的繩子,它的長度是一公尺。 同樣的道理,你也可以說沒有任何一個東西是圓的;沒有一個現實的東西是平面的; 任何數學上的 object 所討論的東西,被落實到物質的時候, 它就不再是數學,它就不再正確了。 在現實上沒有一個平面是沒有厚度的; 沒有一條線是沒有寬度的; 沒有一個點是沒有面積的。 要說幾何學是測地學的話,高斯才是真正開始在做測地學的人。 因為用平面來做幾何學都是不對的, 想像你在赤道上面,平面幾何告訴我們, 我們畫兩條垂直於赤道的線,它們應該是平行的。 但是如果你在地球上面畫這樣兩條線, 它們應該會在北極附近相交。

點線面、數字,這些概念都不能映到物質上面去, 只要映到物質上面去,它就不再是數學了。 很少有中小學的老師理解這件事,他們將數學針對物質事件來看待,但是這樣是不對的。 中文英文的語言,也要跟我們的生活經驗有關聯,才會產生意義。 數學這個語言跟真實生活是沒有關聯的,是一個封閉的系統。 數學跟電腦是唯二的兩個 man-made universes,所以它們很能互通。 只有在這兩個系統裡面有存在可以被證明的絕對真理,其他系統都沒有; 只有在這兩個系統裡,人類可以判斷自己的假設、思維是否正確。 在自然界裡,沒有所謂的絕對真理, 因為所有人類對自然界的描述,都要符合自然界,才叫做對的。 而人類無法觀察到自然界的所有事實, 用時間來說,不可能觀察到所有的事物; 用空間來說,不可能觀察到所有的狀態。 我們沒有時間、能量、資源,所以我們只能做很小的觀察。

又譬如以前我們認為,太陽繞著地球轉,在經過了很多的證明後,發現這個理論是錯的。 一旦發現自然的運行方式跟書本上寫的不一樣時, 是書上的錯?還是自然界的錯?這是個很荒謬的事, 這就是自然科學跟數學的不同。 數學,書上錯就是錯,對就是對,不需要拿書上的知識跟自然界相比。 這就叫做 man-made universe,在這裡面的對錯,是我們自己決定的。 但是書上說太陽繞著地球轉,但是觀察發現事實不然, 那麼很顯而易見的,一定是書本錯了, 因為我們有個 mother nature 在那裡。 社會科學則是研究人類各種行為, 被研究的對象為一主體,研究者為客體, 透過小部分的觀察以及大腦的推論, 我們假想出一個道理。 一旦道理在主體中找到反例的話, 很明顯的是理論錯了,理論會被推翻,然後重來。

真實與投影

所以時間簡史裡面提到:「所有的物理定律,都是假設。」, 定理擺在那邊,等待著某一天被推翻,被新的事實推翻。 沒有一件事實,是我們真的知道的。 用數學眼光來看,我們生活在一個 linear space 裡面, 整個自然界是我們這個 space 外面的空間, 假想我們活在一張平面上,整個世界為三度空間。 我們觀察不到平面外的任何事物, 僅能知道空間中的某一個點到這個平面的正射影。 如果能找到平面外的一個點,垂直投影到這個點, 則在平面上對這個點作的所有向量的內積,跟對外面的那個向量作的外積,是一樣的。 這就是垂直投影的意思。 換句話說,在平面上的生物用各種角度來觀察垂直投影, 它無法分辨真正的點跟垂直投影的差別在哪裡。 我們之所以可以分辨是因為我們活在三度空間。 但是如果這個世界是十一維空間,而我們活在三維空間裡面。 那我們能觀察的,就是十一維空間在三維空間的垂直投影。

星際大戰中,有一個角色叫做 Q。 對 Q 來說,從一個時間換到另一個時間, 就好像人類從一個房間走到另外一個房間一樣簡單。 Q 認為人類很原始、愚笨、能力很低微,但是存在著一種愛的情操。 他出現的時候,總是在作弄人類, 他看到人類做出一些不合邏輯、犧牲自己的舉動,被稱為愛的行為。 就像是人類在三度空間中,看著平面的生物, 看著他們不了解有三維的那種感覺。

無論我們生活的空間是十一維, 這個類比相當於,人類不可能有一天會知道自然界的真理, 我們永遠只能知道正交的投影。 一旦有個正交投影之後,我們大概就可以接受這是真理, 或者說這個真理就永遠不會被推翻了。 因為我們這個空間裡的人已經找到了真正真理的垂直投影, 而且在人類世界裡,沒辦法分辨這個投影與真實的東西有何差異。

用數學式子寫出來就是,如果外面的東西叫做 u,垂直投影下來叫做 uh, 跟所有的 x 是正交的, 內積就是你從一個角度去看它,得到的那個量,就是投影量。 在工程上的解釋,就是從 x 的方向去看 uh 向量有多長,這就是投影的意思。

這個式子告訴我們,在 V 這個 space 裡面,你用盡了所有角度, 都看不出來uh 跟 u 有何不同。 一定要離開這個 space 才可以看清,這就是人類存在的侷限性,科學與數學最大的分野。 科學的每一句話,都要拿去那個主體去驗證,無法自我決定對錯。 數學跟語言、電腦科學,則可以自我決定對錯, 因為前提、假設、所有詞句,都是我們自己定義的。 所以可以用自己的邏輯去推導研究對錯, 即便是愛因斯坦、費曼等著名物理學家,都說過:「這真是一個不可思議的事情, 我實在想不懂,數學明明是跟科學界、自然界毫無關係的一種語言, 為什麼一再的發現這個語言描述著自然現象呢?」。 例如:非歐幾何對應著重力空間的空間扭曲, 不但物理學如此,化學、天文學、社會學、生物學,也都一樣的讚嘆著, 數學對應著它們的現象。

數學與科學

也因為這些冥冥中的對應,科學與數學一直是藕斷絲連的,透過仔細觀察, 常會發現數學語言總是有用處的,當然這些觀察是需要經過訓練的。 嚴格來說,除了空集合、自然數是存在的之外,所有東西在自然界都並非真實存在著。 例如實數都不會真實存在,你絕對割不了一條根號二公尺長的繩子, 而割一條一公尺長的繩子,也是一樣的困難, 仔細想想就會發現,兩者都不可能達成。

我最近七、八年來,與科學家互動合作後,漸漸體會出, 科學家在學數學之外的訓練,是數學家完全沒受過的訓練。 以前的數學家只玩著自己的那本字典,而不理會字典外的事, 但是如果跟科學家合作的話,可以發現科學家做著很實際的事情, 做著可以測量、紀錄下來的實驗。從實驗開始便套入數學公式分析, 經過計算之後,猜想著例如神經與血壓的相關性,至此都還是數學的範疇。 而科學家憑著經驗、直覺以及實驗技巧,將計算所得的數學公式,套回實驗。 科學家比數學家多做了前置的工作、後段的結論,而數學只是中間那段過程。

所以科學與數學的關係,是三段關係:

  1. 第一段是要將自然界的物質數學化
  2. 第二段是找到正確的數學工具,用創意取得一個正確的結論
  3. 第三段是將結論拿回到現實世界中

題外話

最近的一份數據指出,18~35 歲的女性,生育數為 1.57 人。 如果以一個家庭應該生兩個小孩來看,1.57 則偏低了一些。 我有一個朋友恰巧剛生了一個小孩,我們鼓勵他再多生一個才有達到兩個的標準。 朋友自信的說著,他們在很近的未來,很快就能達到標準。這種語言現象相當有趣, 這句話表示他認為 1.57 人將會降低到 1 人。 但卻有很多人誤解成他們很快就會生第二個。

還有一件類似的趣事,有一次我跟兩個女同事到餐廳吃飯。 出了電梯之後,餐廳位於左手邊,廁所位於右手邊, 我跟兩位女同事說:「等我一下,我需要洗個手。」, 我正要走的時候,她們問了句:「在哪裡?」, 我就指著男廁方向說:「在這裡。」,結果原來他們是在問餐廳在哪裡? 這就是我上一個禮拜提到的溝通問題。

結論

所以數學是一種語言的第三個闡述,在課堂一開始所提到的: 數學語言跟自然語言其實是一樣的,它本身是沒有意義的。 剛開始聽是很抽象的,為什麼會沒有意義? 我想闡述的是,數學可以有自己的意思, 它可以跟生活情境、自然、真實世界是沒有關聯的。 這些關聯是要在脈絡中才能瞭解的。 這一個層次,是很多中小學老師不能理解的事,他們會把數學當成是一個真實的事, 其實數學它本身是一個主體,不是客體。 研究自然科學的人是客體,被研究的自然現象是主體。 我們用語言寫文章,我們是主體,文章內容的正確性由我們自己掌控, 而讀文章的人是否理解你的意思,是沒有關聯的。

接下來,有一份王慶安教授整理的新的課程綱要,是在一個教師研習中, 要對中學老師闡述三或六個小時的國中課程綱要架構。 我對小學課程綱要比較熟悉,但各位同學的重心是放在中學, 所以小學的部分當作旁支授課, 讓你們瞭解你們的學生在過去六年,所受的教育背景,或者對你們教育小孩也會有幫助。

題外話:現在社會貧富差距很大,吸收教育的程度, 也會因每個家庭的社經地位不同,產生很大的差異。 由於學校教育淺化,所以社會開始不滿足於達到學校標準。 於是社經地位高、期許高的家長,便會提供小孩更多的幫助。 而受到越多幫助的小孩,將來成就高的機率也高, 產生貧富差距越來越大,社會階級不能流動的現象。 以上現象,金錢是一個因素,家長知識則是另一個重要因素。 所以多瞭解一些小學課程,亦為一種優勢。

議題

我跟研究生在討論一個問題,「數學課裡是否應該使用計算機來幫助學習?」, 這個問題有支持的看法,也有反對的看法。 我們用數學常用手段來探討,找兩個極端基本的例子, 第一個情境是還在學 10 以下加法的小學一年級,剛開始學生使用計算機得到 1+1=2。 接著到了四年級,他也許發現 2/3=0.666667,而且大家得到的 6 的個數也不盡相同。 顯然我們不該過早讓學生使用計算機; 另一個情境是高三機率統計課,計算迴歸直線,而且需要計算到小數以下第三位, 不提供計算機也是顯然不正確的。這兩個極端的例子,我想中間應該會有一個反曲點。 數學的學習往往是供需曲線, 我猜想其中一個原因是學習到一個瓶頸會開始記不住,記不夠多則阻礙學習。 學數學就像學語言一樣,詞彙要記的夠多,基本詞彙記的不夠多就沒辦法創造、流暢思考。 透過流暢的思考,我們才能感覺到數學的美,體會到學數學的快樂。

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Created: Oct 11, 2005
Last Revised: 2005-10-18 (單)
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