第五點是數學溝通能力
溝通包括理解跟表達， 一方面是要理解到什麼程度，另一方面要表達自己的意思 所以數學溝通一方面要能了解別人以書寫、圖形，或口語中所傳遞的數學資訊， 另一方面，自己也要能以書寫、圖形，或口語的形式，運用精確的數學語言表達自己的意思。
第六點是教材教法
數學課程的規劃、教科書呈現的方式及數學法均同等重要。能力指標、課程規劃與課本編排均要有合理性。課程、教學、教科書(包括教科書的文字:這裡指的是錯字，是文字的精確度純熟度甚至於優美的程度) 都是學生學習環境的一環，合理審慎地處理這些環節，將能讓學生專注於學習，減少學生失誤的挫折，提升學生的學習興趣。 這個教科書的文字品質特別是我們最近在編部編版的教科書跟審教科書滿重視的一點，像我自己參與的是小學一二三年級的教科書審查工作，因為小學教科書基本上沒有什麼錯誤，還是有，像是明顯的錯誤，像是4*6=36這是明顯的，是校對上面的問題。當然也有比較深的錯誤，有一題目是四個邊一樣長的四邊形是什麼，因為那時候只教了正方形跟長方形，答案給的是正方形，這是錯誤的，不能這樣說。像這種東西我們在審的時候要抓出來，但是我們在看的時候大部分是看文字，因為用的語詞對於小學生來說要是正確的，通順的，文章應該要是優美的，比較能夠當學習的典範，這三者的視野，指的是課程、教學和教科書課程指的是這一段時間要教的大綱，教學指的是教學法 Teach instruction， ?課書指的是範本，根據哪個範本來教書。這三者的視野，都必須涵蓋整體教育過程。例如，在了解或歸那某些問題時，情境雖然有別，但其解題方式卻可能相似。要培養這種抽象能力，像是不同的情境，用同一種辦法來解決。 這個在小學二年級就用這個做法，這我們在台灣稱它為，沒有一般的名稱，在新加坡的教科書上面稱為數學模型，一個最簡單的數學模型，例如說爸爸帶了一些錢，買了一個東西花了三十五元，買完後發現剩下一百二十五元，問你錢包原有多少錢?這就是一個小學二年級就面臨的一個數學模型，跟長度無關，拿一條線分成整體跟兩部分來看，最初最初一個利用一個抽象模型幫助理解題目的方法，像這樣當然還可以說總共有七十五個月餅，一些人吃了剩下二十五個，請問吃了多少個，這叫做不同的情境，但是思考方法跟做題程序是一樣的，這就是一個最初在小二時所遇到的抽象問題。
這就是個例子，情境雖然有別，但解題方式卻可能相似。要培養這種抽象能力，必須有長期規劃，所以我們要從二年級開始規劃，用抽象模型代替實際情境的問題。在傳統上，應用問題及其解題的教學，是小學生培養這種抽象能力的好方法。其實那種題型很多，做家長的很容易湊的出來，雖然這些應用問題，在進入國中後，都可運用代數方法來解答，像是雞兔同籠的問題，我們在小學有算術方法，國中只要假設兔子有X頭，雞有Y頭就好了即可求解。但小學應用問題的教學，是利用兒童的生活經驗、直觀和一些抽象揉合在一起，但在小學?這些問題就需要一些創做能力，或是一些天份，但給了代數後，這天份就被拿掉了， 只要列出兩條式子，利用很機械式的動作就可以了。我自己的小孩在小學的時候就遇過雞兔同籠的問題，給了幾隻兔子，幾隻雞，問有幾隻腳，這個問題是我最討厭的，第一個在數學上用算數來解釋沒有必要的，第二個是無聊的，頭都看到了，為何還要問有幾隻腳。這種問題有意義的是在唐朝的時候的縣官考試， 有人報官，在旅館的隔壁有強盜在分錢，每個人分三兩銀子不夠...分二兩銀子會多幾兩，縣官就要馬上解聯立方程式，根據這兩個線索就要分辨出來有幾個強盜。或是溶液問題。學這個東西要讓學生覺得有必要，不要覺得沒有用。第一是有需求，第二是新方法是有用的。例如沒有遇到10*10的線性聯立方程式，可能?高斯消去法是有必要的，或是2*2 3*3的用克拉馬就很好算了，2*2跟3*3的determinant很好算，用行列式算一算結果就出來了，為什麼還要?高斯消去法，他會覺得要用背的因為沒有需求。我不太相信利用2*2跟3*3的會讓他引起學習高斯消去法的動機。10*10就不太一樣了，它會知道有這個規則可以做，電腦可以做，但是消去是否能夠寫成程式讓電腦來做，當然此時學生必須對電腦有一定的了解程度，知道這是可以寫出來的，但是他們會問說，為什麼不用克拉瑪的方法來做算一堆行列式就好啦，但是要花多少時間可以算出行列式，這是非常難講的問題，因為高中生的背景知識不夠在高中時代沒有探討計算複雜度的問題，這個是新時代的一個重要課題，是計算機的課題，但是高中數學已經三四十年沒有更新過了，完全沒有新時代的概念在裡面，所以學生會以為克拉瑪是解決方程式的唯一解法，反正丟給電腦就好了，這是無知的老師會這樣說。 n*n的determinant有n!項要加在一起，而每一項有n個數要乘在一起，每個數要做n+1個乘法...所以這是一個多可怕的事情，在2*2跟3*3是沒有什麼感覺的，故要眼見夠高才可以看的出來，並不是?國中只要高中畢業就可以了， 大概學到碩士以後才看的清楚高中數學大概要學哪些東西，才可以在大學的基本科目有足夠的基本知識，其他的東西都是次要的。所以想要準備課程有困難時，去翻翻微積分就可以知道要?哪些東西了。
像是複數只有數學系或是電機系會用到，其他人如果不是立志於這些方面，其實只要學基本的就可以了。 像三角函數在線性代數裡面只有在旋轉矩陣裡面才有，圓周上表達一個點的位置是(cosθ,sinθ)這個概念是極重要，但是隸美弗定理就不怎麼重要，因為以後學到Euler Formula就可以取代它了，而且很好用，所以這些東西在高中裡面就不要?太多。不過為什麼在高中裡面沒有提到e這個數字，這在複利裡面是很重要的數，讓人不解，過去的高中綱要裡面就沒有提到。三角疊合是在富利葉級數裡面才會用到，還有和角公式再用來導出sin及cos的導函數，所以在高中的時候明顯?太多了。 這個應用或許不要太早形式化，進入代數方式，不見的完全同意，需要深刻的分別探討什麼地方需要直接利用代數，而什麼地方是不需要的。這是兒童在國中學習抽象的代數以及其他學科(例如理化)時，絕佳的前置經驗，如同在能力主軸裡所強調的，這種直觀的培養，將是學童在國中學習好壞的基礎。因此，我們應該在小學教育中，放入適當的應用解題的題材。同樣地，培養抽象能力基礎的生活化情境，必須隨年級的增加與學生抽象能力的提高，作合理的調整，避免讓生活情境過分干擾數學的學習。這個畫明顯再批評前一屆的小學教育，像是分數除以分數的問題。
第七點
教師關懷 數學能力的養成是一個很複雜的過程，而且經常因人而異，因此任何單一的教本以及單一的教學法，都無法獨斷地兼顧個人的學習，甚至個人各時期的發展。我在美國做了一個訓練，有一句格言，Teaching is Re phrasing就是換一個說法，也就是說?不懂的時候就換一個說法，把一句話放慢速度再說一遍還是不會懂的， 就換個例子說明。像是我在微積分課裡面問了一個問題，n+1微分一次是多少，很快就回答出來了，再來n^2+1微兩次是多少，也一樣很快就回答出來了，那我後來問個較generalized的問題，那麼n^n的次方 微了n次為多少，就沒有人回答了，於是就在回到之前的例子，這也就是種re phrasing的方式。除了專業素養外，教師對學童的愛與關懷，是在數學學習過程中，幫助兒童度過難關最重要的助力。當學習的新的數學概念或是新的演算規則，甚至就題材的新表示方式時，學童都需藉由舊有的數學經驗來統合成新的直覺或邏輯經驗，而數學精確語言的抽象本質，常會加深學童學期的困難。這時，惟有依靠?師敏銳的觀察與分析，貼心的協助學生，結合其舊有的經驗往前到新的經驗，這正是因材施教的要點。也就是說對你自己來說，也許這套課程已經上過很多次了，對你自己覺得是很簡單，但是記得不要一次一次的加深，因為他們會學不懂的。