數學科教材教法

98年高中數學綱要 （草案）

95年10月11日第一節‧陳美君紀錄

溫故知新，事半功倍

早上上微積分的時候，我跟學生說：「上禮拜我講過的地方，今天再從頭講起，再來一遍」其實這也是我每次上課之前，我會把上ㄧ次上課的內容，用整理的方式，再講述一次，也就是說，上一次我花了五十分鐘講解一、兩個數學上的特性，所以今天也沒有必要重講。同時，今天其實是一個特別的狀況，因為中間放了五天的假，但是為了可以讓學生銜接的上，所以我們的暖身做得長一點，我大概花了快二十分鐘在講過去。

舉微積分為例

上禮拜三教的課程是線性化（linearization）跟微量（differiential）。線性化是指某一個函數可微的話，則在某一點附近的函數值，就差不多等於切線的直線函數值，用高等一點的說法，即我們用一階泰勒多項式，去逼近一個可微的函數，但是一開始講linearization的時候，我們並沒有說誤差有多小，只有說「差不多」。而在往後的課程，再講到一階泰勒多項式的時候，還需估計切線跟真正的函數誤差是多少。而differiential，即，這個Differential的概念，在未來講積分的時候還要常用，譬如：旋轉。

這本書的編排方式就是先告訴你們。是微分，即y對x微分的意思，起先它是一個符號，而這個符號並沒有和分別是分子、分母的意思。在清楚differential的概念之後，也可以把寫成的形式，就好像是和各是一個量，而它也的確是個量，就稱它為differential，在中文裡，把它翻譯成微量。

我今天說的differential，告訴我們一件事情，大約等於。就是，就是x軸上的變化量，就是當x從a變到a+的時候，f函數只變了一點點，那就知道變了多少，所以f變了多少跟x變了多少會有一個關係。這個關係在講linearization或講differential的時候，是說他差不多是a這一個點的導數值。

上個星期說大約等於，這個式子是指割線斜率跟a這個點的切線斜率差不多，今天我要告訴你們，割線斜率會等於a到a+中的某一點的切線值（見圖一）。但是兩件事情從兩個角度來看差不多，是說，我很確定這一點的切線，但是這兩個斜率差不多，並不相等。而是說，我很確定某一點的切線斜率跟你相等，但是我不知道是在那一點。一個是Approximation，另外一個是Mean Value Theorem。但是在講「差不多」這件事的兩種看法，一個是說，我確定在這一點作切線斜率的時候，跟割線斜率差不多，另外一個是說，差不多在某一點的時候，切線斜率跟割線斜率真的是一樣的。兩件事都是「差不多」，也都是可以拿來做一個估計。一個估計的方法是切點確定，另一個估計的方法是斜率確定。你要確定一個，則另外一個就不能確定。今天我們花了快二十分鐘把上個禮拜三說過的事情講一遍，把課本上的兩個例題又很快的說一遍，做一個暖身，牽扯到今天課堂要說的，就是用這一個方式，把它做一個類比移過來…

濃縮舊有知識，引導銜接新觀念

你們在下學期做實驗教學的時候，我希望以這樣的方式，模擬上一單元的課，即使這單元的課在國中僅有四十五分鐘。譬如說在求解一元二次多項式，講解公式解或者是配方法，你不可能在十五分鐘的試教都講完，你要具體而微地假設是第幾節講。比如說你要講配方法，當然，配方法不會是第一節課講，大概是在第三節或第四節講，前面已經花了三節課講，有關求解多項式的一些方法，例如：十字交乘法。故上課之前，十五分鐘你大概花三分鐘左右，你要把之前學生應該學過的東西，要做具體而微的複習，用很快的方式把知識跟技術，很迅速幫他們複習，然後每一個複習的重要概念，很快的再舉一個例子。若你真的在教書的時候，你舉的例子應該是以前上課的時候已經舉過的例子，所以你可以很快的把這一個例子帶過去。

相信這一個策略，也是你們將來通過教師甄試，來到各個學校去試教、面試的時候，一個重要的方法。面試時，你只有三個小時可以準備，在準備的時間，要想好你抽到的這個單元，你要在這一單元的第幾節開始講解，你一定要在很短的時間內，確定這件事，如果妳不能確定的話，這代表妳不會錄取，因為你對於國中或高中的教材結構沒有概念。一定要清楚到，一抽到題目，就要大概知道內容是什麼，在這節課之前，先備知識有什麼是應該學過的，那你要怎麼呈現給底下的評審委員，就是假裝在這十五分鐘的試教裡頭，假裝裡面有三分鐘的時間是帶著學生去回想以前所學的東西，然後在很短的時間把前面所學東西，彼此的關聯盡量說的非常清楚，而在說這些關聯的話當中，或者要結束故事的時候，帶出今天所要的主題。以今天的微積分課為例，當然Mean Value Theorem不可能在第一刻告訴他們，只是先說重要的事，然後就開始鋪陳，就開始一步一步証到mean value theorem。

甚至在講數值分析、微分方程數值解，這一類的數學課的時候，我大概都是用這一個形式在上課。我相信中等數學教育也是一樣，也絕對可以用這一個的形式上課，而這一個形式，雖然不見得對國文科、英文科有什麼樣的好處，但是我相信對數學科是有益的，因為我們花四十分鐘才能掌握一、兩個簡單的概念，作一些例題來熟悉這一個概念的使用後，在下一個四十分鐘，我們應該設法把前面那四十分鐘，濃縮成十分鐘或五分鐘，甚至變成一句話，這對學習是很有幫助的。我們在數學上之所以可以一直進步，是因為過去的東西一直被濃縮，濃縮到像九年一貫數學綱要說的，漸漸變成直觀。舊有的直觀加上新的觀念，熟練之後，變成新的直觀。「直觀」，有些人稱之為「直覺」，意思就是熟練到好像天生下來就會的一樣。譬如說除法，除法其實是乘法的反應用，當我們熟練到一個地步的時候，就直接知道除法該怎麼作，這就是建立性的質觀的意思。因此，學數學之所以能夠一直進步，就是要把過去，一直濃縮變成直觀，變成直觀後，就好像你忘記它，當你不需要用到它的時候，你不會天天想著它，這叫做忘記，當它一出現的時候，你就可以做出來了，這即是最高等的忘記。

98年高中數學高中綱要（草案）說明

目標:把以前強調純數學結構的數學課程綱要，修訂為重視以學習微

積分為目的，且較務實的數學課程綱要

數學Ⅰ

其實數線在國中一年級就開始講了，那為什麼要在高中再來一遍？除了不放心，也可以說是一個擴大版本的暖身運動，也就是我剛才跟同學們說的，每一節課都要給學生暖身。暖身的這段時間，是把過去一、兩節課的重點做個濃縮的整理，濃縮之後，就希望引出這一節課，想要講出來的東西。所以第一冊的目的就是銜接國中的數學，希望做個暖身，而這個暖身是把實數作一個更紮實的了解。

Ⅰ.1數、數線、方程式

Ⅰ.1.1數－度量的記號：

在實數裡面，最基本要知道的是「有理數」。有理數來自一個比例的關係，這個關係來自整數跟整數之間的一個比值。而比例關係在幾何與科學中均扮演及根本的角色，譬如：成正比及成反比。物理上，力跟加速度成正比，成正比的比值就叫做質量。未來，學到更高深一點的數學時，還會學到較好的正比關係，即用微分方程寫出來的正比關係，譬如：牛頓冷卻定律，就是說一個高溫的物體降溫，它的溫度變化率（即溫度對時間的微分）跟溫差成正比，即是物體愈燙時，降溫的愈快；物體愈靠近常溫時，它降溫的愈快。

在國中顯然不會這樣描述，所以在高中課本裡，希望能夠再提一遍比例關係，透過尺規作圖中，比例關係的複習，複習有理數為兩整數相比的幾何意涵，及其約分、擴分、相加、相乘等運算的幾何意義。這跟你們過去所學過的數學差異很大，以前，我們對分數的約分、擴分、相加及相乘，純粹是從算數的角度來看。現在希望在一條實數線上，用尺規作圖的方式來說明，也就是說，你只要在數線上隨便定兩個點，一個叫0，一個叫1，這樣單位長就出來了，拿著圓規量著這樣的1，這樣一段一段量過去，一比二或者二比三這樣的比值都可以在實數線上畫出來了。而約分、擴分是拿著這些等比例的線段作相似三角形。

透過分數的相除意涵，了解有理數可用有限小數或循環小數來表示。這件事可能學生從小學就知道了，簡單，得不到一個簡單的解，很容易發現循環數，再來，簡單，簡單 ，會發現有明顯的循環數。可能很多小學老師在小學四年級或小學五年級會告訴學生，「學生在高中以前，每個人要知道循環小數的形式」，但是在這裡要正式講，而不是用極限的方式講，而是用訣竅。正式的說，應該是說「它是一個極限」，譬如說，它正式講應該是=，即得到一個無窮等比級數，在高中第一冊說，我們假設一定會收斂，整個乘以10之後，即得到，則，這個作法嚴格來講也不算錯，在高等數學裡只差一個步驟，就是先證明它的極限存在，你只要證明它的極限存在，後面過程都是合法的。用這樣的意涵，正式說一遍，「有理數寫成小數的時候，有兩種形式，有限小數或循環小數」，那說到學生操作小分母的有理數 ，不要做太大，不要做到，作到、即可。

你們有沒有玩過一個遊戲，叫「142857」，142857這6位數，乘以1，乘以2，…，一直到乘以6，你會發現它都是142857這六個數目字的重新排列，學生會覺得怎麼這麼巧妙，這麼好玩。道理很簡單，142857剛好是的循環節，然後乘以2剛好是的循環節，乘以3是的循環節，這些循環節就是142857這些數，這些循環節往後移，所以是同樣的幾個數目字，做不同的排列組合，乘上7，你就得到，應該是1，但是你沒有作無窮多個循環節，你只有一個循環節，所以你得到的是999999。

這裡若是一個素質好的班，就有很多好玩的事可以講，譬如：0到1之間隨便抽一個數，是有理數的機會大？還是無理數的機會大？另外還可以說，什麼叫無理數，即這些小數既不有限，也不循環。那什麼叫做實數？我通常是這樣想像的，拿一顆十個面的骰子，上面的數字是0到9 ，擲無窮多次，每擲一次都可寫到小數點下的下一位，不管擲出怎麼樣的數，它就是一個實數，小數部分就是這樣，整數部分是很無聊的，其它的地方，即加任意一個整數，它就會跑到另外一截去，所以你只要在0到1之間討論實數即可，你的實數就會佈滿在數線上。0到1之間的實數是如何找到的，你可以想像拉了無窮多次的拉霸，拉了一次就會出現0到9之間的數目字，就把這個數目字一位一位排下去，排到無窮遠，不管怎麼排，你就相信它一定收斂到一個數字，這就是實數的意思。在數學上怎麼認定它一定是一個實數，就是漸增有上界的數列，每拉一位，就在後面貼一個數字，這一個數目字當然比前一個數目字大一點，因為漸增，而上界就是1，最差的情況不就是0.9999…，這是一個漸增有上界的數列。實數的完備性，前期公式是証不出來的，我們認定這樣做出的數是實數，你不要擔心作了無窮多項後，最後會如何。

如果你現在了解，隨便寫出來的小數就是一個實數的話，則你就可以了解有理數與無理數的多寡了。你要擲無窮多次骰子，你要擲出無窮多次0，它才會是有限小數，要不然你要擲出無窮多次的循環節 ，它才會是循環小數，這幾乎是不可能的事，所以你可以想像擲無窮多次0，或者是要擲無窮多次循環節的機率，不管你怎麼想都是0。換句話說，在0到1之間，隨便挑一個實數，挑到有理數的機率是0，呼應到我們在實變所學的事情，即有理數的measure是0，無理數的measure是1。所有這些事情，都跟你教國中，高中很有關係，你要對實數要有很結實的認識，然後一項一項列出來教科書要說明的事情。

我剛剛說了幾件有趣的事，除了實數的完備性，及實數裡面有理數跟無理數的不成比例，一個非常少，一個非常多。除了上述以外，這裡還有一個割容定理，即循環節的的節數一定不會超過出數，道理很簡單，譬如：，7是除數，1是被除數，7在除的時候，餘數僅有0到6七種可能，最差的情況是這七種可能各出現一次，而這七種可能只要出現一種你就不用作了，那就是0，因為它已經整除了，事實上要有循環小數的話，則餘數必不為0，那餘數不為0，那只剩下1到6這六種可能，那這六種可能，你不可能到第七次還不重複這六種可能，故七次以內，這六種可能一定會重複，一旦重複了，你的循環節就出來了，這在是一個最好的表現，這些都是在很深入談到有理數、無理數可以講到的事情。

Ⅰ.1.2實數系：實數的表現、四則運算、大小關係

『由二維的幾何度量，如直角三角形的斜邊或圓周率，可認識到許多自然界的數並非有理數。實數與數線上的點有一一對應，透過不斷地十等分的細分，直觀上，可知有限小數可以逼近數線上任一點（有理數的稠密性），而無理數可以用無限小數來逼近。』

這裡講的稠密性跟完備性說的是不一樣的事，稠密性是說兩者之間還有第三個，例如：兩個有理數之間一定還有第三個有理數，即a跟b都是有理數，加起來除以二，它一定還是有理數，所以它是稠密的，但是不完備，這是我們讀了高微非常清楚的事情。但是你們要有很結實的觀念，當有人問，「那實數也很稠密，那為什麼實數就完備，有理數就不完備？」實數跟有理數究竟感覺上有什麼不同呢？比如說你畫一個單位長的等腰直角三角形，用圓規量著這個斜邊，畫下來，直覺在這個實數線會有一個交點，這個交點叫做，如果你這條線是有理數線的話，雖然你也是一條密密麻麻的線，但是畫下來，跟這條有理數線是沒有交點的。直觀上可知有限小數可以逼近數線上任一點，而無理數可以用無限小數來逼近。