【數學三】
第四章 空間中的直線與平面
因為第三單元只有一般性的處理空間裡面的概念跟基本操作，空間向量跟座標點的操作，再接下來的第四單元空間中的直線與平面，就要討論平面方程式、含法向量、平面的夾角，用法向量的夾角求平面的夾角，而點到平面的距離和法向量有關，從點做一個垂線到平面，求垂線長度。含直線的參數式、點到直線距離、平行線的距離。最後是三元一次聯立方程組及其幾何意義，在線性代數的課裡面，一個聯立方程式的解是用矩陣的行向量有沒有展成一個空間去判斷，例如AX=B、A是矩陣、B是向量，B這個向量有沒有在A行向量空間裡面來解釋。線性方程式有唯一解、無窮多解、無解等情況。在高中的時候無法清楚用此方法解釋，其實只差一點就可以解釋清楚了，所以求解的方法為係數所成的三個向量有沒有可能找到其的線性組合，假設係數的線性組合數是未知的為XYZ，X乘於一個行向量加上Y乘於弟二個行向量加上Z乘於第三個行向量等於右邊的B向量，如果有就找出來。假如XYZ如果三個行向量互相線性無關的話，則XYZ是唯一解。不過在高中無法解釋，只好把聯立方程式看成三張平面，三張平面是否交於一點、平行、沒有交點、兩兩相交但三個平面的沒有焦點、三平面重疊，用這些方式談唯一解、無窮多解、無解。這個方法夠具體，缺點可是無法推廣到四維空間、N維空間，因為看不到、想像不出來，而線性組合的想法蠻方便，因為可以推廣到任意維度空間。
【數學四】
三角函數及其應用
為什麼第四冊一開始就說三角函數及其應用？以前我們一起看的簡表：第四冊的第一單元就是排列組合、第二單元機率、第三單元統計。因為講到三角函數，特別還把負數和負數的極式說出來，不過已經超過一般管理學院和社會科組需要用的數學，所以放到數學五第五、第六冊來上。當時是有這個想法是因為讀文組的學生也要考一到四冊，就是學測要考的內容。所以一到四冊是放最輕的內容，不過第二冊有放高深一點的教材，而第五、六冊有一些打星的地方，是指考數學乙不考的部份。我們現在接著看第四冊三角函數及其應用，現在要換到第五冊。這在三年級才教的內容，這裡主要談的是三角函數應用，而不去涉及太多三角方程式和恆等式，因為解三角方程式和多項式會牽涉到傅立葉展開。
在第三章談的是三角函數的代數關係，所以從來沒有把三角函數畫圖出來，因為那時候並沒有說它是函數，現在才說它是函數，所以要畫圖出來。畫圖的時候要決定橫軸，橫軸如果用角度作單位的話就會很糟糕，動不動就要畫到180或360度，所以應該要把弧度量說出來，然後才能夠再0到1、正負pi/2的地方畫出三角函數的圖形，也比較容易畫出週期性來。把角度量換成弧度量不只畫圖方便，因為弧度的從定義本身就容易寫出弧長的公式、扇型面積的公式、倒數關係、商數關係、平方關係。
隸美弗定理
這裡要介紹其他三個三角函數關係。tan在某些點上沒有意義，和角公式不談不同週期正餘弦的疊合，所以不會有sin3x+sin2x。也不談和差化積、積化合差。只談和角、差角、半角和三角函數的應用。三角函數的應用主要是談波動，同週期的正餘弦疊和可以寫成一般形式：A‧sin(wt+θ)。A代表振幅、θ代表相位差，而wt+θ代表相角，w/2pi代表頻率，頻率是指每單位時間有幾個週期。sin2x的週期是2π，每單位時間是1/2π個週期，sinkx的頻率是k/2π，這也就是為什麼工學院常寫成sin2kπx，先把2π乘上去，整個再除以2π之後，那個K就是頻率，這樣才會跟物理上面說的頻率是一樣的。圓的參數是(rcosθ , rsinθ )，複數的極式介紹複數的徑、幅角。負數乘法的幾何意義是長度相乘、角度相加；複數的乘法就是長度拉長、角度相加。如果是兩個單位長的複數相乘，就是旋轉而已。可是缺了exp(iθ)，隸美弗定理就不能夠跟複數的乘法就是旋轉的幾何意義扯上關係。隸美弗定理只要證明n等於2跟3的情況，一般的情況不證明，但卻不是不提而是直接推廣。因為這份綱要刪除了三角、和角 倍角、積化合差的公式，所以用數學歸納法證明的時候，學生操作可能不熟練，也是因為不想在這地方花太多時間，就像微積分到了泰勒展開這個地方，這條式子就要出來exp(iθ)= cosθ+ isinθ，一但出來之後，隸美弗就變成基本的代數運算了。
複數的n次方根
w是n次方的單位根的話，1+w + w2 + ....+wn-1 = 0。然後第四冊的第二單元是排列組合，這裡開始才是第四冊，不過這樣第四冊內容會太少，就要看第四冊是不是要放多一點的統計進去。或者我又聽到一個傳言，考慮把第二冊的內容放進去，為什麼會這樣做？因為有太多多項式的內容再第二冊了，所以有可能把多項式的一些東西，拉到放過來排列組合，不過這個還沒有定案。
第一章 排列、組合
其實排列組合技術問題、基本公式並不複雜，學生學習的困難常是無法把文字敘訴的題目適當的翻譯，同時應該分辨、強調的技術，對象的重要性，也就區分什麼和什麼是不同物件。
集合
現在開始正式的定義集合，其實從不等式的解已經在談集合，這裡正式對集合下定義。以前說的不等式的解，此解的集合是實數線的一個線段作交集或聯集。現在考慮的集合都是有限的，不能計數就不能排列組合，現在談的都是有限窮舉法跟樹狀圖，原始的計數仍出自於窮舉法，想辦法使用樹狀圖組織資料已達到計數的目的，所謂窮舉法就是把所有的case列出來，為了讓自己列出所有case的方式有系統一點，所以喜歡樹狀圖。在這一方面有什麼東西，另一方面有什麼東西，這樣才能列清楚，以免漏掉或重複。
窮舉法、樹狀圖
窮舉法、樹狀圖的例子用的是電腦裡面的檔案系統，檔案系統裡面有一個根目錄root，拉下來說這是文件檔、畫圖檔、課業檔，分成幾類，每一類有多少檔案通通加在一起就是窮舉法。以前想到電腦輔助數學教學時，只會用電腦做計算、畫出一些例子出來，不過這個想法只對了一半，其實電腦的設計不管軟體或硬體，比如說電腦的檔案系統就是用數學的樹狀系統去設計，其實數學是因、電腦才是果，因為電腦這個果大家都吃了，人人都知道，反而不知因，所以用電腦幫數學教學應有兩大類的應用：第一大類就是電腦幫忙計算、畫圖。但是第二大類的應用就像這樣，其實電腦裡有一些軟體設計是數學的果，現在就拿這個果給學生看，大家都很熟悉，再從這個果倒回去說數學的因是什麼，因為電腦所呈現出來的果，明明就是數學的設計，所以像我們教計概的時候，電腦的檔案系統、web、電腦主機名稱的命名系統都是數學裡的果，還有資料庫的兩個資料表格joint，就是把兩個表格做所謂的外積，兩個集合做外積，做成有序對，是從數學的因做到果。反過來講說，資料庫是這樣做，所以集合是這樣講，所以這就是第二大類電腦在數學課裡面的用處。
兩個集合之間如果可以建立一個一一對應關係，則這兩個集合就會相等。舉例來說有51個人參加網球單淘汰賽，只要輸了就淘汰出去，而且每一場一定要打到結局，不可以有和局，所以每一場一定會有一個人出局，如果有奇數個選手，則留下一個人，那一個人不參加這梯次的比賽，就是種子球員，只要進行比賽足夠多次就會有冠軍出現。請問要比幾場才會有冠軍？如果真的去排賽程答案會變的很複雜，也許可以參考另一個想法，每一場都會有一個人失敗，出局了就不能再回來，所以這51個選手，每一個人會失敗一次，只有一個人不敗，所以51個人裡面有50個人要失敗一次，那每一場只能敗一個人，所以就是50場比賽。所以敗的人數跟比賽有一個一一對應，能夠有這樣的想法就可以設法解決這個問題，要設法再問題裡面找到一一對應的關係。
乘法原理
乘法原理是剛剛提到的資料庫，當我們在了解關聯式資料庫的時候，其實就是用到外積，AB兩個集合用到外積把兩個jiont起來。第四冊接著是排列，n個相異物的排列，其實是用把n個有編號的球放到n個有編號的籃子裏，每個籃子恰放一個球總共的放法有n階個。如果是n個元素中取出k個排列，為不滿N階層的排列。重複排列總數是n的k次方，丟銅板的結果可視為0或1，為重複排列的例子，結果是n2。接著是組合，組合就是從n個元素裡面取k個，用不同方法的組合不在乎順序，把k個不可辨識差異的球放進n個有編號籃子裏面，每個籃子裡最多放一個球，共有幾種組合的方法。重複組合像是把東西拿出來放回去又再拿，n個東西裡面取k次出來組合，但每次取了又假裝可放回去組合，不過最後一次不用再丟，所以等於放了k-1個東西進去，總數不是n而是n+k-1，從n+k-1取k個組合。
二項式定理
二項式定理就是(X+Y)n 展開就是(X+Y)互相乘了n次，有n個(X+Y)各取一個出來的結果。 巴斯卡三角形，李國偉教授查中國古書裡面記載不是楊輝三角，而是楊暉寫在書裡面是賈憲作的，應稱為賈憲三角，在上星期上課的時候就提過了，還沒有組合的概念可適用第回或是數學歸納法就推的出來係數的關係，也可以把細數相對關係找出來。
第二章 機率
再來就是說到機率，機率與統計主要是讓學生了解隨機的本質，並能學到估計的概念，而不只是學到數學的計算。各種概念產生的背後原因，如機率的性質，期望值及變異數、信賴區間等，更應產是清楚。樣本空間與事件，是藉由集合來說明事件之未發生，幾個事件同時發生，至少有一事件發生，全班同學作為樣本空間，事件為數學成績及格、男生或女生。