凌波初步 第三章 修改

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$\cdots$ 因此 $1\not\in V_j$， $\forall j\in\mathbb{Z} $。 這麼一來，就連方盒函數都不在 V0 裡面了，這會給我們許多不必要的限制。 所以我們要求

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$\cdots$ 必要的條件。以後會明白，沒有了這個 $\cdots$

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是，若挑定一個很大的 j，則 $\phi(2^jx-k)$ 的函蓋寬度幾乎是 0； 我們很難 $\cdots$

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反過來，若 $g\in W_0$，則 $\langle g,\phi(x-k)\rangle=0$ 所以 $\P_0g=0$或 $g=g-\P_0g$。由於 $\{\phi(2x-k)\}$ 是 V1 的基底，故存在 vk 使得

\begin{displaymath}g=\sum_k v_k\phi(2x-k) - \cdots \end{displaymath}

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將上式中的和分成奇數與偶數兩半來做，就發現

\begin{eqnarray*}&\sum_m (-1)^m c_{2p-2k-(m+1)} c_m \\ = & \sum_m c_{2p-2k-2m-1... ... c_{2p-2k-\ell-1} c_\ell - \sum_\ell c_{2p-2k-\ell-1} c_\ell = 0 \end{eqnarray*}


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$\cdots$ 前式之第一項為 0。 故 $i\omega\hat g(\omega) = \int g'(x)e^{-i\omega x}\,dx = {\cal F}[g'](\omega)$。 再由 Parseval 等式得

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回顧 $\hat B_1(\omega) = -\frac{i}{\omega}(1-e^{-i\omega})$， 根據 (2.51) 和 (2.44)，

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性質 3.4 若 $\phi(x)\in L^2(\mathbb{R} )$ 且 (3.63) 中定義的 $F_\phi(\omega)$ 為連續之 $2\pi$ 週期函數。 則 $\{\phi(x-k)\mid k\in\mathbb{Z}\}$ 形成一個正則函數集合的充分且必要條件是


Created: Aug 6, 1999
Last Revised: Aug 6, 1999
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