國科會補助國內專家學者出席國際會議報告 單維彰 八十七年五月四日 核定補助文號 87-2914-I-008-077-A1 此會議之正式名稱是 International Wavelets Conference---Wavelets and Multiscale Methods, 由法國的 INRIA (Institut National Recherche en Informatique et en Automatique) 籌畫主辦, 會議在四月十三日到十七日之間在 摩洛哥 (Morocco) 王國的丹吉爾 (Tangier) 城舉行. 全程共安排了 38 場次, 每場三十或五十分鐘的演講, 及一個下午和一個傍晚的當地參觀活動. 丹吉爾是個有千年歷史的古城. 她座落於直布羅陀海峽的南端, 直布羅陀海峽比我 的想像要窄得多, 隔海北岸的西班牙領土歷歷在目. 導遊資料上說, 早起向東可以 看到地中海的日出, 黃昏向西可以欣賞大西洋的日落. 因為這種特殊的地理位置, 這個城極具國際特色. 雖然人口和語言以阿拉伯為主, 但隨處可見西班牙、法國、 英國及猶太人的痕跡. 雖然與歐洲僅只一峽之隔, 但是丹及爾的建設與文化, 都 與西歐各國相去甚遠. 基本上她仍是一個阿拉伯回教風格的城市. 與會者大約一百人, 但學者們主要來自歐洲各國; 尤其是法國, 包括了 A. Arneodo, A. Cohen, S. Jaffard, 和 J. Liandrat 及 S. Mallat 的博士班研究生. 此外, 西班牙、英國、德國、義大利、東歐諸國乃至於土耳其, 都有與會人士. 來自德國的 S. Dahkle 和 A. Kunoth 的報告都與我們的工作很有關係, 他們都是 Dahman 研究群 中的學者. 可惜 Dahman 本人在兩個月前取消了來參與會議的行程. 大約有十位 與會人士來自美國, 其中包括軟體工業的代表. 主要的美國學者有 R. Baranuik, R. DeVore 和 V. Wickerhauser. 只有四人來自於亞洲: 台灣三人, 日本一人. 從主辦單位所安排的邀請講席看來, 此次會議有兩大主題. 一是運用 Nonliear Approximation 的思想, 將 wavelets 與 Galerkin 方法相結合的多重尺度計算方法 (multiscale computational methods); 這個主題就是我們的工作目標, 也可以說 我們是為了這個主題而來參與這次的研討會. 另一個主題是運用 cascade 算法的 思想, 將 wavelets 與 multifractal 結合作為研究紊流 (turbulence) 及若干影像 問題的工具. 而這兩個主題都引導出一套新的函數空間觀念. 在 Cohen, DeVore, Jaffard 和 Arneodo 的演講中, 我們都看到這種新的函數空間在形成. 我們已經 知道 Holder index 將連續函數做精細地分類. 但是現在的某些應用問題, 發現 Holder 指標不能區別某種函數的局部不規則性 (例如所謂的 cusp 和 chirp). 這種新的函數分類定義, 就是運用 wavelets 係數的性質和 Besov 函數理論, 將 Holder 函數理論做更精細的局部分類. 藉由這種新的函數空間, 一套新的逼近 理論或誤差估計理論即將形成. 以下我依個人的理解, 大略介紹幾位講者的內容. Cohen 使用非線性逼近的想法 (有限元素法是線性逼近) 來設法做調適性 (adaptive) 有限元計算. 其中的後驗 (a posteriori) 誤差估計, 利用 wavelet 方法可以估計 H^(-1) 空間的誤差 (目前的有限元方法未能做此誤差估計). 這種誤差估計的數學 工具, 需要 Besov 空間和改善的局部估計理論. DeVore 接著刻劃了這種非線性逼近 的數學理論, 以及在 Besov 空間中的一些逼近理論. 他並且據此提議了一種樹狀的 coding 方法, 除了有利影像壓縮之外, 這種 coding 方法還有利於漸近 (progressive) 的解碼算法. 在 Besov 空間方面, 還有德國的 Dahkle 報告了一些橢圓型問題 Besov regularity 的結果. 以及 Jaffard 利用 wavelets coefficients 在局部 估計時的特性, 定義了一些新的函數空間. 並且展示其可能應用在 fractal 或 multifractal 函數上. 在類似的方向上, 還有法國的 Levy Vehel 討論了 Microlocalization analysis. 動機是 Holder index 會無視於某些人類視覺上非常 不同的 singularities (例如 cusp vs chirp), 而且在 pseudo-differential operators 之下也不穩定. 新的 microlocalization analysis 據說可以補足這些 Holder index 的缺點. 德國的 Kunoth 發表了一種定義在有限區間中的雙正交 (biorthogonal) multiwavelets. 而且她很老實的告訴我們她遇到的困難: 靠近邊界的某兩個基底 函數在數值上幾乎是平行的, 因此在計算上可能很不穩定. Liandrat 的兩位博士班學生展示了調適性的 wavelets 方法, 主要是處理有 時間變量的問題, 而運用 wavelet 壓縮係數的方法控制每個 time step 上未知數 的個數. 他們使用 collocation 來做微分方程的離散化. 在處理一維 Burger's 問題的時候, 使用 Fourier 轉換來處理非線性項的係數. 他們宣稱在 shock 附近 沒有數值振盪, 但是陳宜良教授指出, 那是因為畫圖的尺度不夠. 義大利來的 Ciccotti 使用 continuous wavelet trasform 追蹤固體中裂痕的發展. 法國的 Clerc (Mallat 的學生) 也是使用 continuous wavelet trasform 來反算 一個影像的局部曲折函數 (nonstationary process/local dilated process). 其算法基本上是要在 time-scale 相位平面上, 找到較大的 wavelet coefficients 區域的 envelop. 愛爾蘭的 Starck 利用 Donoho 的 wavelet shrinkage 和統計方法, 做天文影像 的除雜訊. 美國的 Baraniuk 講的主題是 statistical signal processing. 他考慮 wavelets coefficients 所形成的機率分佈函數, 並在裡面尋找 hidden Markov tree models, 應用在語音處理和雜訊過濾方面. 西班牙的 Dziubanski 證明了無限可微的正交 wavelets 都不可能是 exponential decay, 但是可以是 sub-exponential decay, 而且 band-limited. 德國的 Bittner 展示了一種三角形區域上的 local 三角函數基底. 從蘇俄到法國的物理學家 Arneodo 將 wavelets 應用去做 continuous random cascades analysis, 用來作為紊流的一種模型. 美國的 Wickerhauser 為 wavelets 在影像壓縮的處理過程和技術比較做了很詳細 而精彩的說明. 他並且解釋了 Huffman coding. 忘記是誰了, 在他的報告中介紹 Donoho 的 ridglet. 簡單地說 Radon transform 加 wavelets 就產生 ridglet. 而 continuous ridglet transform 會導出一種新的 regularity 的觀念. 我帶回的資料有一本 240 頁的研討會論文集, 和大約 20 頁的個人筆記. 我個人很感謝國科會補助我參加這次的研討會, 尤其感謝的是同行的還有陳宜良教授. 由於我們共同參與所有的議程, 而且我們又都是在這方面合作的人, 所以在會議進行 當中可以隨時討論. 這是一份很特別而且很成功的經驗. 我們除了在旅途及生活 上互相協助, 更重要的是在學術與文化層面上的對話有立即的激盪, 使我覺得感到 有加倍的收穫. 陳教授的博士班學生, 嚴健彰先生自費參與了這趟行程. 我相信, 對他而言也是一趟珍貴的成長經驗---因為他在接受專業與文化的刺激的同時, 還有 老師在旁邊隨時輔導. 所以我個人衷心感謝這此行程, 並且希望其他領域的研究 伙伴和研究生, 也能有這樣的機會, 可以參與他們共同興趣的研討會.