數學語用

連續函數

一位李老師問，像以下這種題目

設函數 \(f(x)=\displaystyle{|x|\over x}\)，試問 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 處是否連續？

其實，數學話語經常遇到的像這樣的「小麻煩」， 只是大家若不留意就一晃而過了。 例如有時候書上說 \(\tan x\) 是連續函數， 有時候又說 \(\tan x\) 在 \(x=\pi/2\) 處不連續。 有人說這些是「定義」問題，我倒認為說「定義」太沉重，它只是語言上的約定問題。

以下提出我的解釋。可是要先聲明： 我認為老師自己的觀念清楚就好， 不要用這些定義上的細微差異來命題考學生； 數學系例外，數學系的學生就該會。

當我們討論 \(f(x)\) 是否為「連續函數」時， 按「古典」的定義，它是。 因為「連續函數」的定義，就是說它在定義域內的每個點都連續。 在此定義之下，\(\tan x\) 是連續函數。 這樣定義是為了溝通「連續函數」的方便。

當我們討論 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 是否連續時，它不是。 因為這個提問並不理會 0 是否在 \(f\) 的定義域內， 而要探究 \(f\) 在 0 附近的行為。 例如 \(\tan x\) 在 \(x=\pi/2\) 處不連續。

所以

「\(\tan x\) 是連續函數」與「\(\tan x\) 在 \(x=\pi/2\) 不連續」

「\(\tan x\) 是連續函數」與「\(\tan x\) 不是實數上的連續函數」

前述「連續函數」的定義似乎太「古典」了， 有逐漸式微的趨勢。 總之，這就只是個溝通問題，雙方講清楚就好了。