一位高老師問，當學生做以下計算時 \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h} =3\cdot \underset{}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}\] 第二式的 lim 算子下方，應該寫 \(h\to0\) 還是 \(3h\to0\)？
我查閱幾本最近使用的微積分課本，搭配個人教書的經驗， 寫出以下建議。但我要先聲明：我認為以上程序並非這一單元的教學關鍵點。 關鍵是要明白：為什麼需要轉換形式？既然 h 和 3h 反正都一樣是趨近於 0， 為什麼 \(\displaystyle\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}\) 的極限不是 \(f^\prime(x)\)？
我認為，理想上，完整的程序大致如下。
| \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h} =3\cdot \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}\] 因為 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}3h=0\)，所以若令 \(k=3h\)，則 \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}=\underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+k)-f(x)}{k}\] 因此 \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}=3\cdot \underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+k)-f(x)}{k}=3{f}'(x)\] |
在教學過程中，應該盡量這樣講解。但是若以批閱學生作業或考卷的標準而言， 以下三種類型皆可接受：
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\(\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle =3\cdot \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}\) \(\displaystyle =3\cdot \underset{3h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}\) \(\displaystyle =3{f}'(x)\) |
\(\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle =3\cdot \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}\) \(\displaystyle =3{f}'(x)\) |
\(\displaystyle \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}\)
\(\displaystyle =3\cdot \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{3h}\) \(\displaystyle =3\cdot \underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+k)-f(x)}{k}\qquad (k=3h)\) \(\displaystyle =3{f}'(x)\) |
以「知行識」的教學理念來看，上述算式僅為形式，真正重要的「識」， 是為什麼必須置換極限的形式，不能因為 \(h\) 和 \(3h\) 都將趨近於 0， 直接就認為 \(\displaystyle\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}={f}'(x)\)。 破除這個迷思概念才是學習的重點。
如果上述問題發生得晚，學生已知羅必達法則，就用它吧：
| \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}\] | （\({0\over0}\) 不定形式） |
| \[=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x+3h)\cdot (x+3h{)}'}{[h{]}'}\] | （\([\cdot ]^\prime =\frac{d}{dh}\)） |
| \[=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 3{f}'(x+3h) \right)\] | （假設 \(f^\prime\) 連續） |
| \[=3{f}'(x)\ne {f}'(x)\] |
但如果發生在學習微分的初期，則可舉個簡單的例子說明。 例如取 \(f(x)=x\)，則已知 \(f^\prime(x)=1\)； 而且，因為 \(f(x)=x\) 是斜率為 1 的直線，它的切線斜率是 1 才合理， 因此 \(f^\prime(x)=1\) 是合情合理的結論。在這個特例上， \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+3h)-x}{h}=3\ne 1\] 可見 \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+3h)-f(x)}{h}\ne {f}'(x)\] 要小心這個「陷阱」。
類似的情況發生在 \(\displaystyle\lim_{x\to0}{\sin 3x\over x}\)。 很多學生以為，反正 \(x\) 和 \(3x\) 都趨近於 0，就以為極限是 1。 學過羅必達之後，用它做一遍就知道不對。 可是，最直接的教學，應該是讓學生看到 \(\displaystyle y={\sin x\over x}\) 和 \(\displaystyle y={\sin3x\over x}\) 這兩個函數在 \(y\) 軸附近的圖形，就會一目了然。