民國 100 年 10 月，高中數學的 99 課剛剛開始實施， 丘成桐院士在高中數學學科中心主辦的 「2011 亞太地區高中數學教育研討會」以〈中學數學人才的培養〉為題， 發表大會開幕演講。那是一場洋溢著人文、藝術與教育素養的演講， 丘院士的題目雖然是數學，但是他的關懷遍及德育、美育和體育。 時隔十年，再度閱讀文稿，仍然感到餘音繞樑，心中低迴不已。我特別掃描了全文以供各界閱讀，故不再贅述丘院士在一般教育方面的談話。 本文專門提出他在數學教育方面的三項見識，盼能加以發揚。
- 丘成桐（2011）。中學數學人才的培養。2011 亞太地區高中數學教育研討會，2011 年 10 月 18-19 日，臺北市：國家教育研究院臺北分院。 〔全文〕
民國 109 年仲春，當 COVID-19 剛爆發的時候， 我帶著口罩到臺大數學系拜訪陳宜良老師。 陳老師把研究室裡關於教育的書籍文檔整理出來， 裝成三袋交給我。而我今天翻閱了當中的「2011 亞太地區高中數學教育研討會」手冊， 第一篇就是丘成桐院士的講稿。 其實，當時我在現場，可是如今再讀他的文字，還是被他的深與廣所震懾， 於是希望記錄於此。
我要歸納丘院士在數學教育方面提出的三項見解。
第一，丘院士指出「代數方法」不一定必須在「算術方法」之後。 他舉的例子恰是「雞兔同籠」。 對此，丘院士有親身經歷：他在九年級時擔任一名六年級學生的家教， 他相信提早教導代數方法可以幫助這位學生，而且事後證明如此。
我對這個例子特別有感。 當我讀小學的時候，對此題型困擾不已。 一下子以為自己懂了，再想想又不懂了；這次挨過板子把它記住了，下次又忘了 （那時候還有體罰）。 直到國中一年級學到方程，我即刻明白可以用它來解「雞兔同籠」， 想到明明有這麼簡單的方法可以用，以前卻白白為它挨了那麼多打， 心中的怨恨又多了一層。 我牢牢記住這件事，叫自己別忘了將來要保護自己的兒女別再受摧殘。
後來，我真的記得在女兒讀到四年級左右的時候，告訴她這個題目。 題目倒是非常容易記住（哪有這麼無聊當有趣的問題）， 我並不是提前教女兒解法，而是告誡她：記住這一道題， 如果老師教到它，她聽得懂最好，若是聽不懂則千萬不要費力去學，回來告訴我。 沒多久，女兒放學時興高采烈地說，今天真的教到那題了，而她真的聽不懂。 我問：老師有沒有生氣？她說，老師看見她在笑，就問：妳爸爸是不是已經教過妳了？ 女兒回答：我爸真的教過，可是他不是教我做，而是教我不要做。 那老師聽了之後呵呵一笑，這題就算了，全班同學都很高興。 希望我沒有害得臺灣損失一名數學天才。
後來我讀了更多的中國古典數學，非常欣慰地發現「雞兔同籠」並不出自《九章》。 我非常崇敬《九章》，認為它的題目全都是「素養導向」的，既務實且深刻。 我認為國民教育的數學課程，就應該是一套「現代化」的《九章》。 「雞兔同籠」來自地位較低的另一本算經，而那本算經的最後一題， 是要從孕婦的資料算出胎兒的性別！ 〔事實上，換個角度來看，這一題「孕知男女」的解法有其數學教育的意義， 以後另文再寫。〕
我曾到處勸告小學老師別「強教」此題，當作遊戲講講就好了。 一位前輩聽了就要制止我這樣說，他認為算術方法是一種「美」。 我想，「美」是一種緣分，別把自己的美感強加在別人身上吧。 教育像「工程」，也是一種「設計」，在某種程度上， 還是要知道「不美總比不妙好」。 丘院士在演講裡分享的故事，應該是一樣的道理。
第二，丘院士認為「反對學生記熟一些公式，凡事都需推導它的根源」 很可能是數學教師自己的迷思。他接著說：
即使大學問家也不能凡事都由最基本原理去推導， 必須基於前人做過的學問來向前發展， 然後再反覆思考前人的學問才有整個學問的宏觀的看法。又說：
我至今還不認識如果只能先假設某些結論成立 〔而自己還不能證明〕 就不往前邁步這樣的數學家。 那又為何要強迫小孩在他們學習過程中要推導出每一個公式呢？他舉了九九乘法作為一個例子，又隨口舉了另一個例子： \[\exp(i\theta)=\cos\theta + i\sin\theta\]
我認為，在教育意義上，「理解」反而是為了要達到「熟記不忘」或者 「即使忘了也容易想起來」的目的。 有些程序或概念，即使不理解也輕易記熟了，而且能用了， 這時候「理解」就成為次要的， 甚至是「奢侈的」，因此是「選備的」而不是必須的。 就好像丘院士舉例而言的九九乘法表。 其實幾乎每個人長大之後都能理解九九乘法表（如果有必要的話）， 可是堅持在小學二年級學習乘法的當下就要學童理解， 則可能是教育者本身的迷思。 在九九乘法之上，小學各年級充斥著各種「刺探」學生理解力的高深試題。 我常認為這是教師把學生當「軟柿子」捏； 可憐的小學生招架無力，也不敢反問老師： 「您自己是小學生的時候，真的會做這種題目嗎？」 對於許多折騰小學生的「概念題」，我要說， 我才不相信當老師自己是小學生的時候就會。
將數學類比於語言，並參考語言的習得，將會發現數學教學的另一條進路： 在情境的使用中模仿而習得。 這是一條有待開發的進路。 我常複述陳宜良老師的一項建議：當全班同學都認為那是對的， 而且它確實是對的，就別證明它。 「證明」是當我們懷疑它不對的時候才需要的。
整個知識體系本來就是「站在前人肩膀上」層層架構而來的。 如今已經沒有人能夠真正從頭把這整個架構完整學習一遍。 獲得一些理解各領域的「把手」，從而「識得」(make sense of) 部份的知識體系，並且走出自己的下一步， 遠比堅持理解每個步驟更為重要。 如今軟體工程在我們眼前如此神速地發展，並以 AI 之名充斥在我們周圍，就是一例。 凡是寫過軟體的人都知道要呼叫別人寫的「函式庫」， 如果一支程式不是建立在已經確立的「類別」上， 這支程式可能只是學生習作，根本就沒有解決任何真實的問題。
最後，第三， 丘成桐院士認為平面幾何應該要在中學數學課程裡佔重要的位置， 不（僅）是因為它漂亮，
更重要的是它提供了在中學期間唯一的邏輯訓練， 是一個年輕人所必需的知識。無獨有偶地，前不久中央大學葉永烜院士邀請另一位費爾茲獎得主， 法國數學家 Villani 視訊演講，他（用英語）說了幾乎完全一樣的話。
我認為丘院士的修辭太強了一點。 平面幾何或許是中學階段「最密集而純粹的」邏輯訓練， 卻很難說是唯一的。 李國偉老師曾經提出一個挑戰： 假如有人主張「電腦程式設計」是比平面幾何更有效的邏輯訓練課程， 我們可以如何回應？
當代大數學家如丘成桐和 Cedric Villani 都強調平面幾何在中學數學課程中不可抹滅的價值， 我相信他們是對的，我也全心相信如此。 可是他們都沒能說出來，在現實的課程限制條件之下， 平面幾何明明就受到許多挑戰與質疑，幾乎沒有容身之地，我們可以如何回應？ 具體而言，我們可以如何重新設計幾何課程， 使得它更「有機」地融入現在這個世界？ 我沒機會請教丘院士這個問題，但是在 4 月的視訊演講之後， 我確實「當面」向 Villani 院士提出此問。 他當時沒有回答。
「重新設計平面幾何」是我長年思考的一項數學教育議題。 其工程之大，超過我做過的任何一件事。