- 幾何觀念的認識應有操作活動
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課綱的學習內容裡頭提到（S-4-6）：學習活動的設計「能用平移、旋轉、翻轉做全等疊合」，我們看到課本裡的活動確實在交代全等圖形，可是整個活動的鋪陳都只有靜態圖片的呈現，佈題是一個拼圖，有三塊要拼進去，其實是想像的活動，而且看得出來只要平移就可以疊合上去。所有佈題其實都是平移，只有到第五題，也許是要透過一些旋轉。所以整個活動沒有顯現出讓學生做翻轉、旋轉的活動。然後單是平鋪直敘，好像就是交代：有「全等圖形」這一件事情。像這樣的情形，我們會認為可能需要做一些補充：教科書的操作活動應該能讓老師在教學的時候，可以知道在這裡要有一些旋轉跟翻轉的活動需求。
- 低年級文字太多，活動轉換頻繁而欠連貫
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當我們看 108 課綱，在前言或者是在引導 108 課綱的素養導向教學的時候，看法蠻不錯的，比如說要培養好奇心，要讓學生從生活中觀察規律，要運用數學思考日常生活所需要的應用等等；要從這些角度來切入數學的學習內容。但是當我們看教科書的課程實踐的時候，會發現一些問題：就是蠻多時候，數學學習內容會比較偏向從數學角度出發的教材內容。比如說，國小低年級會很強調四則運算的意義，試圖建立算則的概念；因此會發現，有一些問題的設計會比較著重在運算的熟練上面，比較少讓學生真正從這些學習任務（或者學習內容）產出一些解題策略，比較像是由老師來告訴學生這麼做。
比較常見的就是給一個佈題，然後就開始作答，歷程性的教學活動比較少。我們很早就看到：根據 108 課綱新編出來的教材，跟以往的教材並沒有什麼不同。尤其在低年級的時候，我們看到的是文字很多，而且情境大部分是虛擬的，或者是在活動與活動之間的轉換很頻繁，沒有辦法讓學生產生連貫性的學習。
在小一小二的課本裡出現的文字量非常多。比如說，情境就是單純地支付 40 塊錢買一個東西，卻用很多的文字去描述他要付多少錢？要怎麼付？然後要學生一個一個地數 5 元銅板，又如果全部要用 1 元銅板付，要付幾個？其實這整個頁面充滿了文字敘述，那也比較偏向是直接的教學，這樣的金額要怎麼樣去支付？
就生活經驗來說，你要去買一個 40 塊錢的東西，會怎麼付？讓學生去發展他付錢的方式。當然教科書還被賦予引導學生去發現學習內涵的責任，所以也許要有一些引導，讓學生知道為什麼做這件事情，而不是照著做或者是解題。所以我們有一些想法：盡可能讓學生感覺到數學有學習的需求，在數學的學習上，少一點點教師的介入鋪陳。
- 大單位的學習缺乏「量感」的建立
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即使課綱希望要讓學生建立大單位的量感，有一份教材介紹了很多動物，然後這直接告訴我們虎鯨有多重、長頸鹿有多重？確實是有用概數來介紹東西的重，可是要學生轉換成幾公斤，這些轉換可能無助於量感的建立。坦白說，一輛車大概 1 公噸 300 公斤，那 4 輛車共重多少公噸？學生為什麼要去做這件事情？這件事情對他學習的意義是什麼？跟課綱相比，教材表現出來的內容和課綱的內涵之間，並沒有完美的匹配。
「認識平方公里」也一樣。如果從量感的角度出發，到底 1 平方公里有多大，小孩子的經驗裡頭，能夠知道 1 平方公里有多大嗎？這教材上，我們看到的就是比較侷限在單位換算；雖然有說明 1 公里是 1000 公尺，那 1 平方公里就是 1000 公尺的平方這件事情，這是不是有辦法建立學生的大單位量感？而且這樣的教材，當教學現場的老師要去實踐時，知不知道怎麼樣去轉化成建立學生 1 平方公里量感的教學？
- 情境的需求性與合理性
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在文字題的佈題上，我們看到另外的問題：到底那些應用問題存不存在需求性？為什麼要佈這樣的問題？
比如說：爸爸買了 5 公尺的延長線，它是幾公里？這裡為什麼要把公尺換算成公里？當然這樣的問題是可以求解的，小孩子也可以解這個問題，可是我為什麼要解這個問題？在我們的教科書裡，常常出現這些不能讓我們感受到解題需求的問題。特別是在習作裡，這種問題特別多，因為教科書要提供很多練習題，所以就只單純因為它可以做，就把它布出來，沒有考慮為什麼要讓學生解這個問題。
另外一個是情境的合理性問題。比如說：一籃龍眼重 3967 公克，地上放了 6 籃，共重多少公克？這個也是可以求解的問題，它其實就在鋪陳一個多位數乘以整數的問題。可是這個問題的合理性存在嗎？就是一般裝在籃子裡的龍眼不會剛剛好都是同樣重──準到公克。這樣的問題是可以求解的，可是它不合理。
再比如說：師傅要做蛋糕，每一個需要 1 小時 40 分鐘，他預計做 4 個，從上午 10 點開始做，下午幾點可以完成？這個似乎是隱含說，這位師傅是做完一個以後，再做下一個，然後從 10 點開始做，中間一分鐘也不休息，什麼時候能夠結束？像這樣的問題是可以求解的，只是我們生活當中，似乎不是這樣子的。做蛋糕的時候，應該不會做完一個才開始做下一個，也不會都不休息。這個布題的合理性，也是一個我們常常看到的問題。
- 數據的合理性與需求
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數據合理性的問題是在小數、分數這些章節比較容易看到的。生活當中，我們會用到重量、體積、容積的公制單位，生活當中比較常是用小數來表達不足一單位的量，用分數的情境不多。但是因為教科書要處理分數的教學，所以在命題上就要出現分數。可是用分數表達公制單位的量時，就會出現佈題的數據，比如說用掉 2 5/9 公升、跑了 7/3 公里，長度是 33/15 公尺，其實我們生活當中不太會使用像這樣的量。純粹為教分數的運算──乘與除──就造了這些分數量詞出來，可是它並不是生活當中常用的，所以我們認為這樣的佈題數據不太合理，而且也不是很有意義。
假如我們真的要教分數跟小數的混合計算，一定需要相關的布題，那是不是可以著重在運算的原理跟怎麼樣去思考？比如說兩個分數的分母不一樣，怎麼樣讓它變成一樣？話說回來，是不是一定得操弄不同分母的數值資料？教科書常常會認為，這一題已經練過這個分母數了，所以下一題就要換一個分母。可是如果從合理性的角度來講，其實生活當中很少用到「奇怪」分母的情況，所以也許應該還是要從生活情境當中的需求來佈題。
期許教科書減少「用生活情境為名，但以計算為實」的題目。我們比較常看到，為了要讓學生熟練某些計算，所以我就要提供相應的情境，可是這些情境中的數字卻又不真的存在，主要就是想要讓學生練習而已。
- 重複使用的虛假情境
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我們的「數」的教學是次第擴展的，從整數擴展到分數、小數，當我們教新的數型，比如說兩個小數的加法、乘法運算，兩個分數的乘法、除法運算，教科書就勢必要用情境來佈題，這樣的設計從一年級開始就出現了。所以，當學童在學小數加法的時候，遇到的問題可能就是國小一開始的兩個整數的加法情境。我們看到教科書裡頭會有不斷重複出現的情境。比如說現在在做的分數乘法問題，其實它就是在整數乘法裡頭出現的問題，只不過改了數字。所以學生就做了很多同樣的練習，尤其後面中高年級會發現說，那個習作的題數特別的多，因為可能也是希望學生多做一點的練習，那題數很多的時候就會發現這些情境變來變去，其實都是同一組情境，題目也沒有新的意義。再加上剛剛也提到：這些題目不但都是相同結構的問題，而且很多是不合理的情境或不合理的數據。這樣的教材能不能夠呼應課綱裡頭說，要讓學生感受數學在生活當中的實用性跟需求性？根據我們的看法，這些佈題比較流於解題，缺少歷程，比較沒有辦法引發學生的好奇心。
我們的學生對數學不感興趣、不喜歡數學，是全球有名的。現在仔細看看教科書，就會覺得我們的教科書似乎編得讓學生不想做，或者做了一大堆相同的練習。
- 數字讀法不應做紙筆評量
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從低年級開始數的聽說讀寫做，「讀」這件事我們在教科書裡頭都會有類似的活動，就是給一個阿拉伯數字，然後要學生寫下它的國字。我們要問的是，到底這樣的活動有沒有讓學生練習怎麼讀？說出數詞還是寫下國字？課綱在一年級就做了這樣子的要求，希望不要再有「寫下讀作」這種紙筆評量，不是說在教學歷程當中不可以有「讀作」的教學。這個「讀」是可以在教學現場做的活動，比如說在課堂上面，老師教學生以口語報讀數字是可以的，但不是讓學生寫下國字。如果練習題是寫出這個數字的讀法，請學生圈出正確的，這個是 ok 的。所以就是在「讀」的部分，希望不要再去做相關的紙筆評量。從一年級開始的數的讀法，到中高年級的大數讀法，我們都堅持所有的習作練習不要作「讀」的紙筆練習。
- 國小不要整理四邊形的性質
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其實從我唸書的時候，就會作一張表格要小學生「分析」四邊形的幾何性質；國中的課本大概也是類似這樣的東西，那麼國小和國中兩階段，在四邊形主題有何差異？幾何性質的表格整理這件事情，倒不是說不可以讓學生去探索每一個幾何形體的特性，只是我們發現幾乎每一本教材都在課堂上做同樣的活動──讓學生去整理性質的表格（習作或者所謂的「試試看」都有這樣的表格），我們就感覺不妥了。如果在教學歷程中，老師在課堂現場給定一個圖形，讓學生去一一檢核這些性質，是可以的。可是如果把它表格化，而且我後來觀察教學現場真的是這樣教──老師把表格拿出來，一個一個叫學生判斷要不要勾選，並沒有任何操作活動，然後老師也就是看各個空格有沒有打勾來決定成績。我們相信這對一些孩子來說蠻困難的，尤其是教科書已經發展成一張表上有 5 個圖形，然後有這麼多的性質，對學生來說如果他沒有足夠的這個時間去操弄這些形體、去觀察、去做測量、去做比較，就是 35 個基本事實。如果學生沒有很清楚，或者練習度不夠的時候，對他來說就是 35 個孤立的事實要強加記憶。
所以我們就強烈要求取消這個表格，主要的想法就是希望能夠改變教學現場，做一些判斷但是不去整理這個表格。不過我們也不確定，因為其實有些老師教久了，或者老師自己又把這個表格在課堂中呈現出來，這也是有可能的。不過我們認為教科書不宜呈現這樣的表格，更進一步希望課堂能有探索與判斷的真正活動。不過即使教科書沒有呈現出來，我也不清楚是不是這樣的表格就真的不會出現在教學現場，也許要借助教師手冊／教師研習去做一些說明，但是也不清楚這樣能不能夠落實？
- 課綱的書寫能不能更支持教科書編寫與審訂？
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單老師有傳給我前一個場次（周淑卿教授）的全文稿，她提到是不是課程綱要可以寫得更詳細一些。我們在後面也會提到一些例子，發現課綱這樣子寫，但是這個意思是我們還可以再延伸嗎？還是不行？
我們慢慢發現一個問題：課綱所寫的學習內容跟學習表現，到底是教材編寫的天花板還是地板？教科書的編寫可不可以在課綱內容之下，再多寫一點？可不可以再做深化、再做變化？
比如說，課綱要求教 2 的倍數、5 的倍數、10 的倍數的判別，那是不是可以延伸到 3 的倍數？教科書想要多教一點可不可以？一個考慮的觀點是：2、5、10 的倍數判別比較容易，可以藉由數字而直接觀察，可是 3 的倍數判別不能直接「看」出來，需要計算，所以確實是比較難的。在此理念之下，我們經過討論而決定不允許加入 3 的倍數判別，而我們的理由就是因為課綱沒有要求 3 的倍數判別，可惜這個主題也沒有寫在更高年級的學習內容裡（例如寫在 7 年級），所以以課綱作為理由，就沒有那麼明確。
雖然國中階段的課綱也沒有提到 3 的倍數檢定，可是習慣上國中一年級總會學到，那是不是有必要國小的教材就去安排這樣的學習內容？尤其是放在課本裡，只要放在課本裡，現場老師就會把它解讀為必須要教，然後就必須要考，所以假如說課綱沒有要求 3 的倍數判別，那是不是教材可以給 3 的倍數判別法？尤其是學生一旦了解倍數，現在計算機很方便，是不是有必要在國小階段去學快速的倍數判斷？
- 「是非題」減量
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在評量的問題上面，比如說綜合練習，教科書非常喜歡出一些是非題，而且是非題的量還不少。是非題通常就是用一句文字去描述概念，然後叫學生去判別對錯。事實上是非題蠻難的。但也不是說不可以出是非題，只是有一些的題目可能真的對孩子來說有點困難，特別是那些必須要想很多例外情形的問題，使得那一條敘述是錯的，對學生來說那個思考負擔是蠻重的。我們現在在課堂裡，教學節數又很少，老師都覺得教不完，所以如果在教材裡頭出現很多這樣的是非題，其實是犧牲了某一些孩子。到底對他們來說是不是有必要？尤其是到高年級以後，這些問題的量還蠻多的。例如
- 任何整數都可以找到最大的倍數
- 兩個小數比大小時，小數位數多的小數一定比較大
- 整數相除結果也一定是整數
- 通分是把不同分母的分數，用擴分或約分的方法，化成同分母的分數
- 一個線對稱圖形只有一條對稱軸
這些問題到了5年級、6年級以後常出現。比如說任何整數都可以找到最大的倍數，類似這種一般性的問題，對一個孩子來說，如果沒有足夠的教學活動去刺激他，或者是他去做一些抽象化的思考，就一個敘述來說，對或錯是比較難判斷的。
其實這每一條敘述都是老師在課堂上可以花半節課的時間去討論，再去歸納形塑出來的概念。課本裡沒有足夠的學習活動，然後就在練習題出來，對小孩子來說，他可能就是要做過，然後也許做錯了，經由講解然後練習，然後最後把它記下來。可是記下來可能也不是他自己真的懂，所以變成最後小孩子就是去背下這個事實，把他當成一個事實的規範記起來。所以我們不支持這種是非題的練習；更積極地希望：如果教科書想要鋪陳這樣的東西，是不是在他課本內容裡要有足夠的活動。
- 不要在小學置入國中畢業會考試題
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這也是在高年級容易出現的，好像都想要把國中畢業會考（或者基測）的題目放進教材裡，而且教科書都會說這樣的題目叫做「素養」題。尤其是放了「素養」兩字，會讓人覺得似乎會考題目就是素養題。這個現象不限於一個版本，就是好幾家出版社都會把國中會考的題目拿進來。
有些國中會考的題目確實不難；如果從解題的概念或技能來看，小學生確實會，所以理論上應該會解這個問題。但是會考題目也是一種綜整的概念，對學生來說也許給他練習並不是壞事，但是把它標誌出來，然後特別說這個就是國中會考考過的題目，對學生來說是不是有必要？所以後來我們認為所有這種標榜考題放進教材的通通不宜，就是說沒有必要讓學生在國小階段，就去看會考試題，會考是國中畢業才考的問題。
- 課綱是天花板還是地板？以異分母分數比較為例
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課綱「N-5-4 異分母分數」規範兩個數的分母都是一位數，或者一個分母是另外一個的倍數，要乘以 2、3、4、5 就可以找到兩個分母的公倍數。不過這個限制寫在備註，到底它只是一個大原則，還是不一定要跟著這麼嚴格的限制；可不可以超過一點點？這個部分也是我們很難去決斷的。
因此，如果在教異分母分數通分算則的時候，要學生比較 9/10 和 10/11 這兩個分數，如果按照這個單元的教學，學生可能要通分，這個通分就會超過課綱的備註。可是這個活動可以不用通分，可以拿這兩個數和 1 比較，它們分別跟 1 差 1/10、差 1/11 ，所以也能比大小。這確實是個不錯的學習活動，但是如果放在異分母分數的加減跟比較這裡，去搭這個課綱的這一條指標，它是超綱的。像這樣的問題可不可以出現？如果就這個單元內容的課綱角度來看，它不符合規範，但是如果從學習的角度來講，其實這也是一個不錯的概念：不是所有的分數比較都得通分。
怎麼處理這一類型的問題？對於一個還不錯的佈題，如果在這裡要求刪除了，會不會因此這樣的概念就不見了？這是我們看教材的過程，會碰到像這樣兩難的問題。
- 課綱是天花板還是地板？以立方公分／立方公尺轉換為例
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課綱規範說立方公尺跟立方公分的換算不需要評量。換句話說，如果我們教 1 立方公尺等於 100,0000 立方公分，我們不要求評量。課綱的意思應該是不希望做像「3 立方公尺是幾立方公分」、「3752,8625 立方公分是幾立方公尺」這種無謂的轉換。一旦課文出現就會看到習作就有一大堆類似題目出來，這是明顯不宜的。
但是，如果在情境中介紹一個櫃子的邊長，量尺的單位有公分，也有公尺，在此情境中看來相當合理，那麼教科書可以計算它的體積，換算成兩種體積單位來呈現嗎？又或者情境給一個長方體箱子，用公分標示長寬高，問容積是幾立方公尺（甚至指定約至一位小數），這樣的換算在生活經驗中也算是自然的，可以嗎？
像這樣的為難，就是到底課綱的規範有多嚴格？還是可以給一個準則：在什麼條件之下，可以適當地發展？很傷腦筋。這時候似乎要掌握一個更大的原則：畢竟這個單元的重點是讓學生認識一立方公尺有多大，也就是前面提到的量感概念。
- 課綱：教學的地板，評量的天花板
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我個人的解讀是，課綱應該是我們教學的地板：課綱裡安排要學的內容，教科書一定都要鋪陳到。教學的時候，這些內容應該都要教到，應該是可以多教一點點。如果從評量的角度來講，課綱是我們的天花板：不可以評量過多的東西，最多就是課綱所定的內容。
比如剛剛說的異分母分數的比較與加減，評量不可以超過課綱規範的數的大小範圍，教科書只能在這個範圍內設計題目。這是我個人去解讀，我也不知道這樣子的解讀是不是合適，所以從第一段我提說我們看到的現象，到第二段我們有一些堅持，到我們看到這些課綱對於未來在編寫教材的教科書的編寫者，我們在看這些教科書的內容的時候，到底那個拿捏得準則是怎麼樣？因為有一些的規範，坦白說我們也不是很清楚為什麼要規範這些數量？當然規定也有它的好處，就是各版本不會差異太大，也不會在小學階段做太多、大量的解題練習，彷彿提早準備升學考試似的。
但是這些規定有沒有一些彈性判斷的準則？有沒有一套原則，讓審定者與編寫者可以據以衡量？這方面我覺得比較少的。如果真的要談對未來課綱的期許，是不是這一部分可以寫得更清楚？提供給教科書編寫者或者是教學現場的老師，使同仁們更容易判斷教學的彈性。
- 單維彰
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「全等」要從平移、旋轉、翻轉都能看得出來，這一件事將來希望可以在課綱寫得更好。這也是正新老師正在國教院做的研究──將來如果課綱可以有一點格式上的修訂，那個「學習表現」可以怎麼樣修訂？我覺得這似乎最適合寫在學習表現裡面，學習表現應該要說出來學生可以辨識全等圖形之間的翻轉。呼應上一次周淑卿老師說的：「可不可以把活動放在課綱裡面？」要有真實的東西在手上，要不然所謂的翻轉，它又可以變成一個邏輯推論的問題，但是如果有一片東西是看的到、拿得到，不一定每個小孩手上有，但是至少在學習表現陳述實物操作這一件事，這是可以考慮寫在課綱規範裡面的。
有人說這一次 108 的課綱跟過去的課綱有些主要的不同，其中一個不同就是把教法規範在裡面，但是我個人認為這個應該是從九年一貫就開始了，九年一貫課綱就試圖把教法規範在課綱裡面。但是當然也有人反對，因為你規範的越多就好像越沒有創意，限制了大家的創造力。所以這當然是需要許多人一起討論的。
- 單維彰
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文字會不會太多？情境合不合理？確實不容易寫下客觀的標準。例如如果題幹寫著有人跑了 3 又 5/7 公里，可能有人指責正常情境不會測量出 5/7 公里，但作者可以說我就是每 1/7 公里有一個路標，不行嗎？
- 袁媛
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類似地，題幹畫兩條魚，左邊這一條魚 10 公分，右邊這一條魚 12 公分，把兩條魚接在一起，問你這兩條魚幾公分？為什麼，我們什麼時候要去把兩條魚頭尾接在一起？
- 林原宏
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釣魚比賽的時候，比誰釣的魚比較長；真的有那種釣魚比賽要把兩條魚加起來。
- 吳昭容
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我猜想是不是國小的數學內容，的確要找到呼應生活情境是容易的，所以你要說服他們不困難，因為他們也可以想到其他更合理的情境。但會不會國中、高中以上的數學，其實它本來就有難度，所以你去挑戰編者，他們就會覺得那你告訴我一個更合理的情境，可能我們自己也舉不出來。
- 林原宏
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有時候不盡然說完全是生活情境他才會學得會，有時候數學上要有適當的理想化，他也一樣學得會。所以如果說所有的情境都要生活情境，坦白講不是每個小孩的生活經驗都一樣，你不能夠說所有的孩子都適應一樣的生活情境。
關於公里、公升出現分數那件事，我有一點不同的意見。有時候我們不能認為：出現分數的時候，就一定要在平分的情況下看待分數。應該在中年級開始──至少 4 年級開始──就要把分數當成是一個數了。以這個情境而言：當我知道 1 公升的量，我自然心裡面可以把它劃分成 9 等份。我們有比較過芬蘭其他歐洲國家的教科書，在很多度量衡的單位裡面，你已經知道 1 公升、1 公里、1 公尺，那個「一」存在性的時候，我自然而然就會大約的把那個一做平分的動作。
我知道這是對分數的數值形式不大一樣的解讀，早期是從等分割的觀點形成分數，可是 4 年級開始，學生應該是要把分數看成一個數。如果緊守著說度量衡裡面都不適合用分數表示的話，那學生以後一定是沒辦法使用分數。
- 袁媛
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我想表達的是，如果今天是要教運算原理，那是不是就要操弄各式各樣奇怪的情境？然後那些分數也不可能在生活當中出現──雖然我們不能說它不可能出現，但是真的有沒有呢？生活當中，假如容器或量尺沒有 7 等分刻度的話，我們要怎樣把一個東西 7 等份？所以太多的問題都是因為要做很多練習，所以給了很多情境，帶出各式各樣的數量，真的需要這樣教學嗎？
- 林原宏
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減少是非題的堅持，我覺得非常贊成。我去幫忙帶國小老師專業成長的時候，有些老師真的很喜歡考是非題，就是一個命題敘述，用文字敘述，我教你判斷圈或叉這樣子。但是小朋友都不解其義，就是圈叉下去而已。這個我也非常贊同。
但是關於讀法評量那一件事，我有一點不太一樣的看法。如果列出國字要學生圈出正確讀法，有比較好嗎？
- 單維彰
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這個地方，我也覺得是適合寫在「學習表現」的。在這裡，我們就是希望課綱帶著教科書，教科書帶著老師，老師帶著學生真的要發聲，要學生說出來、講出來，而不是寫出來。
如果課綱在 7 年級說要能夠判別 3 跟 11 的倍數，那就是很清楚 5 年級不要教這些。但我剛剛去翻了課綱，我們的國中課綱確實沒有寫 3 跟 11 的倍數。
- 單維彰
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異分母分數比大小，為什麼沒有化為小數的方法？
- 袁媛
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這一節是要教異分母分數的加減與比較，其實是要教通分的方法。
- 林原宏
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我相信很多老師，沒辦法自己拿捏教學跟評量之間的差異。所以有一個心得，我相信袁老師也會同意，我們光從教科書的形式去規範老師說「這個只能教不能夠評量」，其實老師是不知道的。老師的習慣都是：有教，就可以評量。
- 袁媛
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不僅老師如此，教科書編輯也是。你看課綱寫不需評量，還是發現他們的習作都有。所以我才會想，也許這是我們可以採取的一個規準：就是在評量上面不准超過課綱，可是教學就可以有一些適度的延展。但是，又擔心一旦教學頁面超過了，教師就認為可以評量。所以，即使課綱這樣寫，我們在這邊討論得很清楚，但是教學現場完全不知情。
- 林原宏
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但是我覺得評量要看整個班級的學習狀況，有時候要因地制宜。教育部給很多一定要評量、一定不能評量這種規範，使得很多老師沒辦法因地制宜。
- 袁媛
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我想提另外幾件事，已經準備了投影片但是沒有放在正文之內。很多研究已經在說，單位分數是不是一定要從平分引進，是不是也可以從測量概念引進？比如說這個黑板有多長？九個板擦多一點點，這要怎麼去表示它？它就不是用公平切割的概念引進分數。日本好像就有從測量概念引進分數概念，不見得是用平分引出單位分數。就是比較有需求性說，我需要用一個數來表示像這個不滿 1 的怎麼辦？
第二個是，在國小要不要去用符號代表數？比如說甲乘以乙等於丙的時候，丙是甲的倍數也是乙的倍數，到底這樣的東西要不要出現在小學？課綱沒有特別寫這樣的東西啊。但是它們都在，比如說高年級習作的重點整理，就會整理這樣的代數規則出來。
- 袁媛
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我覺得在課本裡，目前那些幾何題的「問題」蠻嚴重的。像這樣子，三個例子之後，就開始宣告：任何兩邊長的和大於第三邊，沒有足夠的引導。就是前面講的，有限例就宣告發現，在教材有限的頁面內，會出現這個狀況。這個很嚴重，會變成我們的老師就像這樣教，給了幾個例子就宣告結果。這個是我看到的一個現象。
例如像這樣：我給你四邊形，然後他內角和是 360 度，接下來要學生想想看不同四邊形都是 360 度，然後宣告任何一個四邊形的內角和都是 360 度。這樣是不是太快了？
雖然國中也教，但是小學就出來說四邊形的內角和都是 360 度啊。我的意思是說，在國小階段的幾何裡頭，好像都用很少的例子，然後很快的就結論一個發現。這樣的是不是過度？就是到最後學生就是只記得這個結果，為什麼會產生這樣的一個結果？好像也沒有那麼重要，因為他很快就已經有那個結論出來了。這是我看到的幾何部分值得注意的現象。
- 袁媛
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另外一個國小特有的問題──國中可能比較不會有這種問題，因為在國中就計算答案──國小有太多規約，像是題目要你用算式記下來，然後又要寫橫式，又要寫直式。到底什麼時候需要橫式？什麼時候需要直式？好像也沒有特別的意義。特別是應用問題最後一定要解答，好像是規範的，然後如果有單位就一定要寫上。
- 林原宏
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我也贊成袁媛老師提的這個問題。這種題目要看那個單元的教學目標是什麼？這一題已經是在做直式計算了。也就是說，它一定要用直式做計算，因為要學直式這種程序算則，那我們透過情境讓學生會用程序來做計算，所以這一題的主目標是在直式的計算。至於橫式，以三下而言，通常都會寫。為什麼？教科書沒寫的話，現場老師不同意。我們都要用橫式把問題記錄下來。教科書知道在三下，直式是一定要的，而橫式則是順應使用者（老師）的習慣。
所以我有一個心得：教師使用教科書的時候，有一個是隱性知識 implicit knowledge，一個是顯性知識。顯性知識是教科書呈現給你看的，隱性知識必須要靠老師的專業來說。這個單元到底在學什麼？主要教學目標是直式算則時，有沒有橫式其實並不那麼重要，但是寫不寫橫式是老師的自主權。
- 袁媛
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可是我們都沒有把這個部分講得很清楚，老師就解讀說用橫式記錄下來，然後他看到課本這麼寫，就會要求學生一定要把橫式寫下來。這個部分好像我們沒有講得那麼清楚。
- 林原宏
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教師手冊都會寫。可是老師不看教師手冊，老師只看課本。
- 袁媛
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我還有另外一個問題，就是說應用問題。假如我是在教直式算則，是不是每一個直式算則的教學都要搭配應用問題？現在每一個直式算則的教學，都會先出一個應用問題把它引出來。
- 林原宏
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歐美的教科書，都是單純的直式計算。
- 袁媛
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是直接教學生算對不對？不要去管文字題，中低年級學生連讀都沒有讀懂，都到不了計算這一關。可是我們的教科書一直以來都先有布題。
- 林原宏
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這的確是我們國內的習慣。像芬蘭、新加坡，很多是先會程序算則，再把那個算則套到情境去。
- 袁媛
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再一個意見是關於數線。數線要幫助學生理解什麼？目前課綱是說讓他知道加減的意義，可是如果課本出一個 1327+4 的問題，他已經會算了，幹嘛還要讓他在數線上做加減？感覺教科書好像比較沒有搭到數線的教學目標。另一個是跟我做的研究有關，就是我們好像一直很少著墨於「數線由實數所佈滿」這個觀念，然後小學學的數最後都要延伸到數線上的位置。可是數在數線上的位置、數線的意義，這些學習內容一直以來好像沒在課綱講清楚。
- 袁媛
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最後一個意見，是我們的評量有太多的變化。比如說兩個數比大小，就是要寫出大於、小於、等於符號，那我們就會出左邊是一個算式的題目，要不然就是「一百二十」跟 102，一個是用寫中文數詞，一個寫阿拉伯數碼。這麼樣的變化多端，好像也不是那麼有意義。我是覺得在教科書裡，盡可能不要做這麼多的變化例題。
- 袁媛
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想要最後講一個我的觀察，就是我們在 89 暫綱有講到等號的意義，從小一就開始告訴小朋友 5+3=3+5 那個等號的左右兩邊相等。後來 92 正綱就說小學生學不會等號的意義，所以就拿掉了。但是好像這一條目就沒有再寫出來，教科書並沒有在什麼適當時候特別去教等號的紀錄方式，就是等號的左右兩邊可以都是算式，這件事情好像就不見了耶。但是孩子到國中以後，如果沒有在國小獲得這個概念，可能到國中是會有狀況的。國小階段在 89 暫綱有寫出來，後來因為現場有一些聲音拿掉了。
- 單維彰
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這件事可能已經有共識，1960 年代美國 SMSG 就是這樣寫的，後來被罵得臭頭，已經被認定失敗。所以的確在小學中低年級是不應該；這個可能已經是共識：小學階段不用談等號的 equivalence 的意義，他只是一個紀錄計算的過程的意義。但是袁老師說的非常有道理，在小學高年級有沒有適當的時間點？在進入國中之前的哪一個時間點，可以把它置入小學課程？還是國中要自己負起責任？這必須由課綱說清楚。
- 吳昭容
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袁老師剛剛提到的四個堅持，我現在看起來都是排除法，不是說應該做什麼，說的都是不可以做什麼，我會覺得這樣蠻好的。負面表述有兩個優點，第一是可以避免以審代編。如果你跟他們說要做什麼，那其實你就已經在指導他們要怎麼寫，這個是審定委員的一個大忌諱；就是我們不希望審查者介入太多。另外一個優點，就是它會釋放出課本的篇幅，讓編者被迫去思考要怎麼編出一些新的東西，而不是沿用舊的方式。如果採用保守作法，說得好聽是讓編者有比較大的空間，可是實際上看到的是，大家跟隨以前的編法，所以以前課本長什麼樣，大概就繼續這樣子。
- 林勇吉
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我可以提供一個實徵資料，讓老師們可以更大方的說。我最近在做比和比值的教科書研究，發現國小跟國中大概有 90% 的 overlap，比和比值的概念都一樣：例如比的意義、比值是什麼、最簡單整數比，國中跟國小都有。唯一的差別就在於國中有加負數進來，其他地方可以說百分之百一樣。然後我去訪談國小老師跟國中老師，我發現被訪談的 20 幾位國中老師，沒有一位老師在教學時，覺得學生已經學過比和比值，他們都從頭再教一次：什麼是比？什麼是比值？什麼最簡單整數？全部從頭再教一次。學生也沒有因為曾經學過，學這個主題就很強很快，老師們完全沒有這個感覺。直到我跟他說國小課本有，他們才說：「那我就不要教啦。這都已經教過了。」
事實上這個故事告訴我們說：課綱把比和比值放在國小，不知道效用有多少？對國中來說，老師並不覺得學生會，國中其實又再教一次，而且不是教新的方法，是一模一樣的東西再教一次，連例子都跟國小會用的例子一模一樣。如果是這樣的話，那這種國小跟國中 overlap 的地方，對學生又沒有幫助的話，要不要考慮就把它在國小弱化，或是變成補充教材之類。
國中課綱已經把指數律拿掉蠻多，規範一些不能計算，但是國中老師還是想辦法要去計算，而且要去證明這樣做還是不違課綱。我支持袁老師說 3 的倍數應該從國小拿掉。就以比和比值這個例子來說，如果其實國中會學到的話，就專心留給國中，除非我們有證據顯示螺旋式課程──國小談一次，國中再談一次──學生學得比較好。但是根據我訪談的 20 幾位國中老師，我覺得有一點點證據力，國中老師完全沒有感覺學生學過。20 幾位老師表示學生也沒表現出他們學過的樣子；我覺得可能有一兩名學生記得，但是他們不肯說，可以確定大部分學生忘記了。我覺得這是一個我們可以再思考的問題。