我尊敬的前輩張進成老師，今年 5 月 17 日在 Facebook「金門高中張進成數學社」再度提起「負負得正」的話題。他「嚴肅地」證明了這個命題，以反駁稍早有人說它「不可證」的看法。即使張老師已經「證成」了這個命題，我還是想再多寫一點：從數學文化說起，然後以此議題為例，銜接主流數學知識 (CK) 與學校數學知識 (PCK)，並且分享兩種教學的技術（教法）。
相對於正數而言，「負數」是新進的數學物件。一旦加入新物件，使得舊物件得以擴充 — 例如正整數與零，加入負整數之後，擴充成整數。 數學文化 — 數學中的文化 (mathematical culture 或 culture in mathematics) — 在這裡展現出來；在這種擴充的時候，數學總是作出以下要求：
我們先約定：所謂「負負得正」的命題是指 \(-(-a)=a\)，而不是 \(a-(-b)=a+b\)。雖然兩者關係密切，但畢竟是兩碼子事。請看 〈「負」非「減」〉。本文先專注於加法運算，最末再提及減法。
負數並不是在抽象思維中創造出來的，而是在解決問題的實際需求中，被某些人創造出來，經過複雜的社會選擇歷程，最後被賦予某種公認的符號與意義而保存下來的。這個歷程是「文化中的數學」(mathematics in culture) 的一個好例子。漢文明、伊斯蘭文明和西歐基督教文明各自創造了負數，而各有各的脈絡。漢文明的《九章算術》為全世界提供了第一筆需要負數的情境：在解方程（二元一次聯立方程式）的過程中，需要負數（加減消去法）。
所謂「天下各有文化，但只有一個文明」。在長時間的競合之後，如今天下只有一種主流的數學文化。在此文化中，「負數」有了一種或多或少算是「標準」的符號與意義。數學教育的主要責任之一，是將學生（不論來自哪種母文化）導入主流的數學文化。
臺灣的數學課程基本上承繼《九章算術》的典範，在課程即將進入「方程」之前才教「負數」，而教過之後立刻應用在解方程。這樣的課程設計可能符合我們這個文化的秉氣，長久以來我們學生在「方程」單元沒有太多學習困難。但是這樣的課程安排，在「將學生導入主流數學文化」的目標上，成效仍待商榷。本文不繼續討論這個課程設計的議題。
如今，數學將「負數」的意義凝聚在一個觀念上：相反數。而「相反數」的引進，就是前述新舊物件之間的關係建立；透過相反數，把舊物件（正整數或零）與新物件（負整數）的關係建立起來。
「相反數」的幾何表達，需要以數線觀念為前提。假設已知數線上的正數觀念，則負數就是正數對稱於原點的鏡射。把同樣的概念用在負數上，則負的負數也是負數對稱於原點的鏡射，所以就還原了。這是「負負得正」的本意：鏡射再鏡射就還原。在此意義下，已經規定了 \(-0=0\)。
「相反數」的鏡射意義非常符合直覺，可以直接進入課堂，作為「負數」的教材教法。這一段教學，完成於正負數在數線上的位置，並可以定義整數的大小（三一律）。此外，因為「鏡射」涉及距離或長度，所以也可以引進數線上的距離觀念。但是筆者反對在這個教學階段使用 \(|a-b|\) 符號，而應保持在 \(\overline{PQ}\) 這種「線段長」符號。
把負數「安頓」在數線上之後，下一步自然是把正整數的加法運算擴充到整數。這裡，主流數學文化傾向於採用代數觀點 — 其實只是「用符號表達的算術」，而較不傾向於「形」的觀點。可能是因為這個原因，數學教師也傾向於想要用代數方法來推論「負負得正」，卻忽略更容易教學的「鏡射」概念（如前述）。張老師的證明就是代數的，我現在也寫一遍。
把加法從正整數或零擴充到整數，要「規定」它繼承哪些正整數或零的加法性質呢？在一段長時間的歷史發展之後，主流數學文化的選擇如下；以下，我們一律假設 \(x\)、\(y\)、\(z\) 是整數，可能正可能負也可能是零，而 \(a\)、\(b\) 是正整數。
因為 \([-(-x)]+(-x)=0\) 〔相反數定義〕
所以 \(\bigl([-(-x)]+(-x)\bigr)+x=0+x\) 〔等量公理〕
也就是 \([-(-x)]+\bigl((-x)+x\bigr)=x\) 〔結合律與零的性質〕
所以 \(-(-x)=x\) 〔相反數定義與零的性質〕
數學文化的「外人」可能要問：為什麼要麻煩地說 \(x+(-x)=(-x)+x=0\)，用交換律不就好了嗎？但此時還不能用交換律，因為我們還不確定如此擴充的整數加法是否擁有交換律？可是，為什麼結合律就可以規定它繼承，卻不能直接規定交換律也繼承呢？這確實是一件很不容易向「外人」解釋的事情；簡單說，這不只是數學文化的選擇，而且是邏輯的必須。在學校數學裡，我們最好別再解釋了。
在數學文化中，需要論證擴充後的整數加法也有交換律。過程有點繁瑣，我們舉一個狀況為例，證明 \((-a)+(-b)=(-b)+(-a)\)。
假設 \((-a)+(-b)=x\)
則 \(0=(x+b)+a\) 〔等量公理與相反數定義〕
也就是 \(0=x+(b+a)\) 〔結合律〕
可推論 \(0=x+(a+b)\) 〔正整數加法有交換律〕
故得 \(x=-(a+b)\) 〔等量公理、相反數定義、零的性質〕
也就是說 \((-a)+(-b)=-(a+b)\)
同理可得 \((-b)+(-a)=-(a+b)\)
所以 \((-a)+(-b)=(-b)+(-a)\)
數學文化如何擴充正整數的減法到整數呢？事實上，主流文化沒有擴充減法，反而「消滅」了減法。數學定義 \[x-y:=x+(-y)\] 可以說，有了負數概念之後，數學家發現「減」是假象，它其實是「加」的特例而已。從以上減法定義，反過來證明整數的加法相容於正整數的減法。
從教學面來說，主流數學文化引進負數的論述確實太複雜了；千萬不要這樣教學。但是，如果不這樣說明來龍去脈，而一昧地說「這是規定」，就會導致很多「複雜的新規則」一古腦兒地冒出來，讓學生難以招架，同樣也會造成教學的失敗。換個角度說，一昧毫無理由地「規定」也容易導致學生心理的反感（卻不敢說），潛意識地懷疑或拒絕記憶。因此，在教學上，最好還是跟數學文化一樣：盡量減少規則的數量，從少數規則推論更多規則。而所謂的「推論」，學生需要的並不一定是「證明」，而是一個「合理的交代」；臺灣稱之為「說明」，大陸有個很好的俗話：「給個說法」。
如果老師喜歡用代數「給個說法」，可以直覺地沿用交換律、結合律、等量公理、零的性質，而引用「相反數定義」推論 \[a+(-b)=a-b+b+(-b)=a-b+0=a-b\] 以及 \[a-(-b)=a+b+(-b)-(-b)=a+b+0=a+b\]
前面主要是從「數」的觀點來看負數，但數學文化也有「形」的觀點，而且「形」的觀點更適合用來教學。簡單說，就是把實數視為一維向量，而整數作為實數的子集，所以整數加法就是向量加法。例如當 \(x\)、\(y\) 分別是數線上的點 \(P(x)\)、\(Q(y)\)，則 \(x-y\) 的意義就是 \(\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OP}} + \overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{v}\smash{OQ^\prime}}\) 的向量終點坐標，其中 \(O\) 是原點，\(Q^\prime(-y)\) 是 \(Q(y)\) 對稱於 \(O\) 的鏡射點。讀者應該可以輕易檢查確認：數線上的向量模型，等價於前面「相反數」與「減法」的代數定義。
我們當然不應該直接教向量，但是向量觀念很容易在數線上直覺地操作。而且，這個教學法可以為整數加減運算的性質，提供一組「合理的交代」。方法如下。
把負數「安頓」在數線上之後，我們繼續利用數線把正整數的加減運算擴充到整數。首先，回顧 \(a+b\) 的意義是從 \(a\) 開始，向前（變大的方向）走 \(b\) 格，而 \(a-b\) 的意義是從 \(a\) 開始，向後（變小的方向）走 \(b\) 格。我們擴充這個操作到 \(x+b\) 和 \(x-b\)。然後，針對負數作為加數或減數時，只要增加一條「規定」即可：「負」就是倒退嚕，相對於「正」是進，「負」就是進的相反：「退」。從這裡開始，\(x+y\) 和 \(x-y\) 就都能算了，而且可以推論兩條關鍵等式：\((-x)+x=0\) 以及 \(x\pm(-y)=x\mp y\)。至於結合律、交換律、等量公理，就直覺地沿用吧。
前面說數學主流文化認為「減」不存在，這個觀點可以適度在教學中用來簡化公式的背誦，可是不宜全面消滅「減法」。因為「減不存在」的觀點純然是數學的，一旦要將數學應用在現實情境，只要情境中具有「方向性」，「減」就比較方便。可以這麼說：「減」的不可交換性，恰好就是它的好處，使得「減」有方向性。例如在數學分析裡，\(x-y\) 的意義是從 \(y\) 到 \(x\) 的位移，或者從 \(y\) 到 \(x\) 的變化量 (the change from \(y\) to \(x\))。學習直線斜率、函數變化率的時候，「減」的「方向性」也將發揮關鍵的功能。