本文摘記以下數學教育研究論文的閱讀心得。
這篇文章是臺中教育大學退休教授甯平獻（甯自強）先生的遺作，可能是他的最後一篇論文吧。雖然甯教授非常資深，但我感覺他的年齡並不太大，因此聽說他的訃聞非常驚訝，也很惋惜。甯教授應當成為臺灣數學教育史的一個專章，他對小學階段數學課程有重大的影響。我暗自打算未來訪問他，我想問他一些數學教育哲學的問題，也想問一些口述史的問題，可惜突然就變成不可能了。像他這麼重要的人物辭世，應該有門生與同仁舉辦紀念聚會，但我這個外人並不知情；數學教育社群也應該為他舉辦追思活動並策劃紀念文集，而我目前也不知道有沒有？總之這種活動並不適合由我來辦，畢竟我跟甯老師並沒有淵源：我跟甯老師僅有一面之緣，當時我僅以晚輩身分作為陪客 — 兩位主客是全任重老師、張海潮老師。
- 甯平獻、張淑怡（2024）。從數學素養看長度教材發展及線段圖解題。臺灣數學教師，44 (2)，1–15。 [官網]
這篇論文帶給我最重要的啟發是：
具體得知我國分數教學的一種典型方法，是藉由中文量詞將連續量離散化。論文舉例以「公分」為單位，將連續量離散化 (p.7)，並以此例示範 \(\displaystyle{1\over3}-{1\over4}\) 的教學。整個教學的大前提是操作的連續量（彩帶）長 24 公分。
這一小段教學設計只是此文的暖身，並非主題（後面再說他們的主題）。但是這一小則範例，已經足夠啟發我了。我關心的並不是彩帶為什麼可以假設為 24 公分？假如彩帶不小心是 25 公分怎麼辦？我不關心這些技術細節，我想要商榷的核心問題是：
連續量的本質就是以任何單位施以測量時，都會發生「不盡除」的情況 — 意思是說連續量不是單位的整數倍，比整數倍再多出一點點零頭。分數與小數，正是因此而誕生，為此而存在。在此觀點下，如果撇開連續量，只討論離散量，就無法真正學習分數與小數。一個不經深思的直覺是：只要選一個足夠小的單位長，任何長度都可以「除盡」，也就是測得整數。對一個固定的線段而言，當然是這樣：只要規定那條線段的長度是單位長就好了。可是，如果拿這個單位去測其他線段就不妙了。古希臘發現的一個天大秘密，就是至少有兩條線段，保證無法同時測得整數 — 不論你選取多麼小的單位長。例如正方形的一邊，和它的一條對角線，如果有一個單位測得的邊長是整數，則用它測對角線就必有零頭；反之，如果有一個單位測得的對角線長是整數，則用它測邊長就必有零頭。所以說：連續量的本質是，不論用什麼單位去測量，零頭在所難免。
因為中文相較於其他語言 — 至少跟英文相較 — 擁有豐富的單位量詞，例如一張披薩可以切成若干片，幾片可以集成一碟，幾碟又可以湊成一盤；類似地，一捆彩帶可以截成幾條，一條又可以裁成幾段，若干段又能結成一串。我國教學經驗的歷史累積，已經純熟地將連續量藉由中文量詞轉化成離散量，然後藉由離散量來教導學生認識／操作分數。
這樣的教學策略想必有部份的成效 — 至少對初學者是成功的 — 才會傳到今天，並且儼然成為標準程序。但這樣教學的根本問題是：學生是否可能喪失了認識／操作連續量的機會？因為缺乏連續量的認知，導致很多學生無法體會分數是「一個數」？有沒有可能：經常被報導的分數學習失敗，源自於我們一致將連續量予以離散化的課程設計？
第一個啟發我思考這個可能性的人，是林碧珍教授。她在「雙語教學」的脈絡中，提出一個問題：小學數學教材中採用的豐富中文量詞，無法翻譯成英文。對我而言，她提出的「問題」不是問題，而是「跨文化的洞察」，她的洞察使我有如醍醐灌頂，猜想這可能就是我國分數教學困境的癥結所在。中文的特徵讓教師巧妙地閃避了連續量，閃避的結果獲得了局部的勝利 — 產生比較容易操作的分數教學法 — 卻導致本質性的傷害。
藉由這一篇論文，我感到更深刻地理解了小學階段數學教學者的思維根本。
以上是我真正想要記錄下來的念頭。以下是一些次要的小事。
這篇論文的主題是將前面暖身的線段教學法，延伸到比值的線段教學。此處的比值可以是不同單位之比，例如速率、濃度。論文示範了一份可能頗有效的教學法：利用線段圖操作比值的單位轉換，例如從每分鐘公尺轉換成每秒公尺（圖 5，頁 12）。我猜想它可能有效，但是並不確定它有沒有比其他方法「更」有效？其他方法之一，例如： \[{120\,\text{公尺}\over2\,\text{分鐘}} ={120\,\text{公尺}\over2\times60\,\text{秒鐘}} ={120\,\text{公尺}\over120\,\text{秒鐘}} ={1\,\text{公尺}\over1\,\text{秒鐘}}\]
在第一個延伸之後，作者再延伸到比值相較（比大小）的線段教學法（圖 6，頁 13）。我其實不懂為什麼可以這樣延伸？因為，當僅討論一個比值時，因為兩個量的正比關係，使得線段可以具體表現兩個量的伸縮變化，因此可以用來轉換單位（如圖 5）。可是那條線段表徵的是兩個成正比的量，卻畢竟不是它們的比值，怎麼能用來比較兩個比值的大小呢？
為了符應論文的題目：從「數學素養」看 ......，作者提出他們自己的數學素養定義 (p.2)：
國民素質被許以更高的期望，這個期望就叫做素養。意思是說素養是「被期望的素質」嗎？我們已經來不及追問：
作者認為「長度的『本質』是 ......『位移的程度』」(p.3)。我也不懂這個理念的背後是什麼哲學？我正在打字的這個鍵盤有個長度，我正面對的螢幕也有長度，它們的「位移」是什麼？難道鍵盤和螢幕本身的長度，不是它們的「本質」嗎？