本文分享曾仲祐碩士學位論文的〈附錄一：德國 LS 版教科書函數單元教學例 56 題〉。
- 附錄：德國 LS 版教科書函數單元教學例 56 題。〔附錄 (PDF, 850KB)〕
- 曾仲祐（2024）。德國六至八年級數學教科書函數單元之內容分析。國立中央大學數學系未發表之碩士論文。
我請曾仲祐同學根據德國（巴伐利亞邦）課程綱要以及經典地位的 Lambacher Schweizer 數學教科書，探究德國「函數」的初階課程：從兩量對應關係始，到完成一次函數的教學止。因為我已經熟知臺灣的函數課程，所以不要求他詳細報導，但為了方便讀者觀察德國的課程特色，論文中還是做了簡單的臺德比較 — 但我要強調：「比較」並非重點。
仲祐這份工作，對臺灣數學課程研究的最基本貢獻是：從德國 LS 教科書中，提取 56 題函數單元教學例；它們的掃描圖檔以及基本翻譯集結在前面的「附錄」檔案內。從這些教學例，我們可以觀察德國如何從六年級開始，非常貼近生活地引進函數觀念。我感覺在他們的文化裡，「函數」是一個本來就在身邊，只是慢慢被「察覺」的物件。教科書的舉例未必是每一個學生共同的經驗，但我相信它們是每一名學生能想像也能理解的情境，更重要的是：這些例題讓讀者感覺「自然」，感覺「應該會發生而且需要解決」。這才是所謂「真實數學教育」(RME: Realistic Mathematics Education) 的真諦；這也是林福來教授在 108 數學領綱插入第四條理念「有感的學習」的具體表現。
我們絕未要求每一題教學例都要有情境 — 相反地，不少學者，譬如筆者的大學同學楊德清教授就認為：臺灣小學數學不需要那麼高比例的「情境」教學例，特別是那些情境多半是「為情境而情境」的（德清語），因此讓人感覺「矯揉不自然」而且「應該不會發生」— 去情境的「刻意練習」題目，在數學學習活動中，是必需的。筆者只是想要強調：如果有情境，就得是真實情境。在仲祐的分類語言中，刻意練習的題型稱為「無連結的程序性問題」。這一類教學例，德國的題數比臺灣多，佔比也較高。
臺灣教科書的「概念理解」類型教學例題，不論數量還是佔比，都高於德國。仔細閱讀題目內容，我獲得的印象是德國（在八年級或更早）用相當直觀的方式介紹函數，而臺灣則似乎從頭就要跟學生講「正規的」(formal) 數學語言，因此造成臺灣較多的「概念理解」教學例。
臺灣課程在七年級講了二元一次方程式的圖形（是直線），但是課綱要求不得將它提升到「直線方程式」，而且把「一次函數」規畫在八年級，使得教科書絕口不提函數，也不能好好利用二元一次方程式的「函數形式」：\(y=mx+k\)。來自課綱的這一項束縛，希望下次課綱能夠再討論 — 如果移除指數律，如果將負數的數線位置及加、減、乘、除以一個正數的計算，移到小學，則七年級就有足夠的教學時數，可望解除目前的束縛。
在仲祐的論文裡，我看到德國就稱 \(y=mx+k\) 這種形式的等式（將 \(y\) 孤立在左側 — isolate \(y\)）為「函數方程式」。其實函數方程式在「代入消去法」的步驟中就會出現，教師只要帶領學生「察覺」它的存在，就有機會讓一次函數在七年級現身了。至於一次函數的完整教學，例如斜率和更多的典型應用，還是可以保留在八年級。讓它在七年級「初步現身」只是拉長學習的經驗，希望能鞏固「線型函數」這個非常重要的數學物件。
台灣和德國都把二次函數的正式教學規畫在九年級，我沒要求仲祐繼續看到九年級。但是，德國「自然」看待函數，也就以「平常心」在八年級提及二次函數；又因為他們「自然」使用科技工具，所以二次函數的繪圖也就「自然」出現了。可以說，雖然二次函數是九年級的教學目標，但德國在八年級就開始「埋下伏筆」了。相對地，臺灣教科書可能因為要「依法遵守課綱」所以在八年級絕無二次函數的蹤跡。這其實也反應出教材編寫的根本習慣差異：德國好像習以為常地螺旋，臺灣還是偏愛「凝為塊狀」的內容。前者能讓較多學生成功嗎？後者能在較短時間內達成教學目標嗎？我認為此命題尚未有實徵的論定，我個人的經驗支持前者；至於後者，在教學當下可能成立，但只要延後測就垮了。
在初次涉及兩量關係的時候，臺灣和德國都讓學生有機會認知兩量關係不只有線型關係。可是臺灣對於非線型關係的引介，嚴格限定在概念理解的認知層次，德國則不怕讓學生操作非線型關係 — 布置了「無連結／有連結」的程序性教學例。臺灣教科書在這方面的保守，並不能歸咎於課綱的緣故。德國在六、七年級就能初步體驗函數圖形的操作，原因是他們很聰明（而且很自然）地將（一維）數據折線圖一魚兩吃：一方面做為數據表達的教學，另一方面做為在坐標平面上表達兩量關係的經驗。雖然在數據處理的課題上，坐標平面僅出現第一象限，但它在本質上已經足夠支持「從『數對』到平面上一點」的對應觀念。臺灣課綱將數據折線圖和坐標平面都規畫在七年級，可是臺灣的教科書沒有一本提醒學生這兩者的連結。下一屆課綱，應該可以在這方面有意識地予以提示。
從仲祐的結果中，我還「發現」一個有趣 — 也許不該這麼說 — 的現象，就是德國六、七、八年級的數學課本 (LS 版)，一年一冊，三冊共 548 頁；臺灣僅八年級這一年（兩冊）就有 422 頁。而且臺灣另有兩冊習作，德國沒有（至少 LS 版沒有正式發行習作）。而且，德國的六、七、八年級教科書頁數，是遞減的！六年級比七年級厚，七年級比八年級厚。單純以八年級相比，不算習作，臺灣教科書的頁數超過德國的 2.5 倍。但是一山更有一山高，雖然美國各版教科書厚薄不一，但我估計平均而言美國的教科書又是我國的兩倍厚，而且美國可能還另有一冊習作。譬如，請看同年另一篇劉珈妤的碩士論文，她研究的美國某版數學教科書，在六、七年級都達到每年約 900 頁。
我不知道教科書厚薄有什麼比較的意義？例如，教科書的厚薄可能跟 PISA 成績沒什麼關係，可能跟社會文化的生活習慣關係更強。我讀過一本小說，時代背景是二十世紀初，英國商人接到美國貿易夥伴寄來的「單面打字，兩倍間距」信函，雖然暗自羨慕美國的資源充裕，但臉上卻是不屑於他們的浪費或擺闊。（那時候歐洲的商務信函，標準形式是「雙面打字，單行間距」。）德國的生活環境可能比英國更拮据，所以他們可能更節省；直到今天，德國還是帶頭說要節省地球資源的國家。因此，德國的教科書頁數少，很可能是節約過日子的生活習慣。臺灣人應該也把節約視為美德，而且我們的資源確實比不上美國，是不是可以從這個角度想想教科書的頁數問題？我個人認為臺灣的教科書版面太浪費紙張了，更讓我難以釋懷的是教科書後面夾帶的「附件」，它們肯定比內文造成更多浪費。我相信稍微縮減一點教科書頁數，可以節省許多資源，而且不會導致臺灣的 PISA 成績下降。