數學課程綱要

德國導入函數的教材

本文分享曾仲祐的碩士學位論文。

• 曾仲祐（2024）。德國六至八年級數學教科書函數單元之內容分析。國立中央大學數學系未發表之碩士論文。〔論文全文，PDF 檔案，4 MB〕
• 附錄一：德國 6 至 8 年級函數教學例。

我請曾仲祐做這一份碩士班研究的目的，是帶我探究德國教科書的「函數」課程發展脈絡。我們依據的是德國（巴伐利亞邦）的數學課程綱要以及具有經典地位的 Lambacher Schweizer 數學教科書。為了接近數學教育社群的學位論文範式，我必須讓仲祐做一些量化分析與臺德比較，但我真正關切的點，僅是德國教科書發展函數課題的方式。

我們設定的研究範圍是從函數觀念的導入開始，一直到線型函數的正式教學，所以不含二次函數的正式教學單元。恰好臺德都將二次函數的正式課程安排在 9 年級，所以我們就只觀察到 8 年級的課本。至於要從哪一年級開始觀察，則費了些思量：德國可以從 5 年級開始觀察，因為他們在 5 年級引入了坐標平面；但是我們後來決定從 6 年級開始。

想要直接看論文重點的讀者，可跳到下一節「概說」。

本事

仲祐通過教師檢定考試之後，先去實習，但他在實習後應邀擔任代課教師，不料就這樣投入全職教師的生涯了。我本已經不指望他回來完成學業，卻很驚喜地看見他提出論文。在全職的教師工作壓力下寫作學位論文，是很不容易的。因為這個緣故，我對仲祐答辯之前的碩論初稿，要求並不太高，也特別感謝清華大學數理教育研究所林勇吉教授、中央大學學習與教學研究所暨師資培育中心許宏儒主任，願意接受我的妥協，仍然撥冗前來鼓勵與指教。

雖然論文初稿有點鬆散，但是我與仲祐在口試後用五星期做了六回合的修訂，不但完全回應了兩位口試委員的指教 (如下)，而且補齊了我發現的多處邏輯缺口，最後完稿的碩論品質相當好。雖然在數學教育學術論文的規準上 — 例如文獻探討與研究方法 — 內容仍顯薄弱，但是在我設定的目標上：為改進臺灣函數課程的實踐而找尋線索，已經滿意。口委們的主要意見如下（寫的是我所理解的意見，不一定是兩位口委的原文，如果有誤是筆者的責任）。

• 宏儒主任認為論文寫得太客觀，客觀到沒有人性，希望仲祐寫出「自己的」觀點，讓讀者感覺到一位作者的存在。仲祐在第 1 頁就寫下他個人的研究動機。論文內，多處表述了一點作者的看法。特別在結論與建議處，以他真正擔任國中數學教師兩年（含半年實習）的親身經歷，分享一些為什麼 (why) 或為了什麼 (for what) 有如此結果的觀點。
• 勇吉老師和宏儒主任都指出第一章「名詞釋義」的真正用意，讓我們知道初稿的釋義寫偏了，因此大幅修訂糾正過來。
• 勇吉老師認為第二章文獻探討需要大整骨，第三章研究方法也有諸多不妥。我們調整了第二章前三節的結構，並且調整了第三章關於研究對象以及研究工具的陳述。
• 勇吉老師指出我們「認知需求層次」的項目與引用的文獻不合。仲祐為此新增了詳細的分類項目沿革說明，並修訂「程序性」（再分為無連結、有連結）的解釋。
• 勇吉老師很精明地指出：
  • 沒有「做數學」的「題」，並不表示教科書內沒有「做數學」的活動。沒錯，仲祐做了補充報導。
  • 忽略了函數的「機器輸入／輸出」模型。我們補充了。
  • 研究目的的闡述，要更清楚表示這部碩論的價值是闡釋德國的教材教法，不是臺德教科書比較。我也這樣認為，盡量作文。

• 設定研究範圍的理由 — 特別是為何排除二次函數 — 需要更清楚。
• 線型函數與「正比關係」如何連結？
• 線型函數與「方程」如何連結？—「方程」意思是「二元一次聯立方程式」。

概說

讀者可以直接進入實質內容：第四章與第五章（第 37–96 頁）。但也不妨看一些背景。仲祐自述的個人研究動機，寫在第 1 頁第二段，蠻值得看看。需要知道德國學制的讀者，可以看第 3 頁的兩段簡介。關於我們選的這套德國教科書（LS 版），可以看第 1 頁第三段簡介。關於德國數學課綱、函數單元課綱，可以看第二章第一節（頁 7–12）簡介，以及第 23 頁的表 3-2。如果需要知道題目（課文中的教學例）各分類（如下）的定義與舉例，可以看第 30–33 頁。

• 概念理解
• 無連結的程序執行
• 有連結的程序執行
• 做數學

讀者請慢用，以下是我印象特別深刻的幾個發現或省思。

頁數

臺德的課綱差異那麼大 — 德國用 6–8 三年段慢慢發展函數主題，臺灣集中在 8 年級 — 做課本頁數的比較 — 德國 8 年級一冊 158 頁，臺灣 8 年級二冊共 422 頁 — 不知道有什麼意義？但是，我卻從中獲得一項省思：德國真的是在各方面節約資源，愛護地球；反觀臺灣數學課本的鋪張浪費，甚至比美國還嚴重。這些省思寫在另外兩篇網頁：〈德國 6 至 8 年級函數教學例〉和〈美國 6、7 年級比例教學例與練習題〉。

題數

因為時間限制，我做了妥協，沒讓仲祐統計習題數量。但是就教學例來看，德國課本裡的例題數量略低於臺灣，習題數量應該也差不多。相較於美國，臺德課本提供的題目應該都算是少的 — 臺灣 8 年級一個函數單元 53 題，德國 8 年級三個函數單元共 47 題。可是，在臺灣上學的人都知道：我們有很多課外題。課外習題讓臺灣學生增加了很多練習的機會。不知道德國有沒有這種情形？如果沒有，也就是如果德國學生真的只做課本提供的少量題目，那麼他們在 PISA 評量中的表現，應該算是非常優秀吧？

螺旋

我產生一個新的觀點：我們強調德國課程「螺旋」，或許是因為我們太習慣把數學主題切成一塊一塊的，而且先入為主地認為：比方說「數線」這一塊，要教的內容是固定的那些，而「坐標平面」是另一塊，也有固定該教的內容。因此，從我們的觀點看去，德國把課程「切割」得零零落落，分散在好幾個年級。可是，德國人可能本來就不這樣看數學。他們可能把數學看成一個整體，將這個整體搭配學生的認知發展，讓它們（內容與認知）相輔相成地「自然」開展，編成課程。仲祐多次使用「自然」形容他觀察到的課程螺旋狀況（他也經常用「伏筆」來類比），我認為他形容得很好。這種「自然」的感覺，使我反省，或許他們並不特別認為自己的課程是「螺旋」的，而是「自然」的。怎麼「自然」呢？以下是個最好的例子。

五年級的直角坐標

五年級怎麼可以教直角坐標呢？因為五年級要教統計圖：長條圖與折線圖。為了讀圖與製圖，自然就出現了直角坐標的概念。但是這時候還沒有負數，統計圖通常沒有負數，這有什麼關係呢？第一象限的坐標難道就不是坐標嗎？第一象限坐標的觀念，當然可以類比到其他三個象限。德國課本把統計圖一魚兩吃，自然引進了坐標概念。半年之後，德國課本引進負數，把數線從半條線擴展成整條線，而第一象限就跟著自然擴展成坐標平面了。但是德國小心拿捏五年級的負數內容，並沒有複雜的混合計算，也沒有絕對值。想想，負數一定會隨著課程發展而一再出現，以後有的是熟練負數計算的機會，何必要求學生急於一時地熟練呢？

非線型函數

臺灣也「敢」在介紹函數之初，就介紹非線型函數，讓學生明白函數不只有直線這一種。但是，臺灣只「敢」在概念層次介紹非線型函數，德國卻「自然地」讓學生操作。此外，因為德國使用科技工具，所以自然地引進非直線的函數圖形，包括二次函數。關於這一點，可能是被臺灣課綱「害」的：在臺灣，如果 8 年級出現二次函數圖形，就是超綱，不可以。在德國，反正學生已經學過平方，也認得 \(x^2\) 這樣的式子，課本利用繪圖軟體展演一下 \(y=x^2\) 的圖形，似乎很「自然」。

概念理解

臺灣的「概念理解」教學例佔比相當高，顯示我國重視「定義」，我們很在乎邏輯的嚴謹，要求學生釐清什麼是什麼，什麼不是什麼？但是「邏輯」似乎不是這樣訓練的，或者說這樣的數學概念訓練，對於邏輯思維的培育效益不大。我個人贊成「重視定義」的數學教學理念，但是實踐此理念的方法，可能還有得商榷。反觀德國 — 其實美國做得更徹底 — 在初學階段，比較重視學生能用數學「做」什麼？而沒那麼重視學生知道數學「是」什麼？難道我們因此認為德國不重視邏輯，或者德國人邏輯不好嗎？好像不能這麼推論。這讓我想到孫中山的「知難行易」主張。

函數的 I/O 模型

這是林勇吉口試委員提醒我們注意的。函數的概念心像之一，是所謂的「I/O 模型」：即函數是一個把輸入 (Input) 加工成為輸出 (Output) 的機器。臺灣課本有畫出 I/O 模型的機器示意圖，德國沒有；但德國使用具體的映射符號 (map-to notation) 表達函數，臺灣沒有。例如 \(f: x\mapsto 0.5x^2+1\) 表達一部 I/O 機器，把輸入自乘、取半再加一之後輸出；而這個函數的名字叫做 \(f\)。我認為映射符號不但是接軌國際（與高等數學）所需的符號，也有助於溝通，讓教師多一種表達方式，於是多一個說明函數概念的機會。

常數函數

德國用（例如）\(x\mapsto1\) 表達常數函數，也教導學生它的圖形是水平線。使用這組符號，無法畫出鉛直線。但是，德國在介紹直角坐標的時候，早就約定在直角坐標上 \(x=1\) 是一條鉛直線，相對地 \(y=2\) 是一條水平線，所以鉛直與水平線並不是在「二元一次方程式」或者「函數圖形」的脈絡之下產生的特例，而是伴隨著直角坐標一起發生的觀念（就好像在數線上，約定 \(x=1\) 就是一個點）。

斜率三角形

我很驕傲地發現：我自己也發明了這種教法：從直線上一點，畫出水平位移為 1，鉛直位移為 \(m\) 的直角三角形。當直線遞增，斜率三角形在直線下方；當直線遞減，斜率三角形在直線上方。斜率三角形的概念心像，將來可以變成 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\)，再變成 \(dx\) 和 \(dy\)，一脈發展微分概念。

正比與線型函數

德國把比例和正比拆開來看待 — 美國也是 — 正比是兩量關係，先以代數、表格的方式呈現，然後變成函數關係的前置經驗，然後變成線型函數的典型例。

直線方程式與線型函數

德國在線型函數之後才介紹直線方程式，而他們把方程式 \(ax+by=c\) 轉換成一次函數來說明它的圖形是一條直線，並且用已經學過的兩點式或者點斜式來繪圖。我國的數學思維習慣，馬上就會擔心：如果 \(b=0\) 怎麼辦？德國課本壓根不理會這個邏輯漏洞，隻字不提。

如果想要獲得延伸閱讀的建議，可以看看第二章第三節（頁 14–17），特別推薦楊德清指導陳豐詣的臺德二次函數比較，恰好可補仲祐這份研究的懸缺；讀者可以從博碩士論文加值網下載陳文。

• 陳豐詣（2024）。台灣和德國在國中二次函數數學素養內容之比較研究。國立嘉義大學教育系未發表之碩士論文。