數學通識

數學沒有標準答案

若要引用本文,除了引此網頁以外,也可以引以下文獻。

數學素養教育的一個基本主張,是將數學視為一種語言。 只要是語言,就有被操弄的危險。 很多人說數學是「真理」(我反對), 所以經常把數學或數字掛在嘴邊的人,很容易藉著人們對數學的信任而愚弄大家。 有些新聞記者或談話性節目的名嘴,發展出一種伎倆, 在幾乎每一句話裡面夾帶一個數字,使得其報導聽起來有非常高的可信度。 有句名言說得好:數字不會說謊,但是報數字的人會。

自然語言當然也會被操弄,讀者可能都心有所感,我就別再舉例了。 至於操弄數學語言的手法,其中一種是刻意地隱瞞前提: 包括忽略參考坐標,忽略單位,或者忽略該項定理可應用的範圍; 對於這種操弄,我們需要搭配科學素養去釐清。 另一種操弄則是引導讀者按照習慣去「影射」某種結論; 對於第二種操弄,我們還是需要數學素養來破解。

許多「影射」型的數學語言操弄, 都建立在讀者認為數學問題皆有「標準答案」的心態基礎上。 這個迷思很可能來自於學校裡的數學教育,這是我們的遺憾。

我在中央大學中文系有一位「情同姊弟的師長級朋友」康來新教授。 她的尊翁康洪元教授是數學界前輩(他本身也是中央大學的校友), 曾任教於台師大和東海大學數學系。 康老師提到,她從父親那裡學到關於數學的唯一一件事,就是:

數學沒有標準答案

這真是個了不起的教育。 康老教授用來教育少女時代的康老師的例子,我稱之為「康氏家學」,是問:

將一張正方形色紙剪掉一角,還剩幾個角?

如果妳/你很聰明地發現了此題的陷阱, 就會大聲嘲笑那些回答「剩下 3 個角」的小朋友。 假如你/妳認為「5」是標準答案,請再想一想,難道「3」就一定是錯誤答案嗎? 再多想一想,難道答案就只有「3 或 5」兩種可能嗎? 它不可能是「4」嗎? 注意,這個問題本身並沒有對「剪」做任何定義,因此還有更多的想像空間。 事實上,搜尋「一刀剪」會看到許多藝術作品,利用摺紙技術, 一刀剪出奇妙的圖形。

另一個例子是曾經在網路上流傳的題目:

1, 2, 6, 42, 1806, ???
任何在台灣受過中等教育的人,都看得懂這種沒頭沒腦的問題, 就是要「依規則」填入 1806 的下一個數。 按國中數學的教導,題目給了一個數列的前五項: \(a_1=1\),\(a_2=2\),\(a_3=6\),\(a_4=42\),\(a_5=1806\), 按照數學課的「潛規則」,學生們被期望要根據前五項「看出」它們的規律性, 然後按照那個規律算出第六項,也就是 \(a_6\)。

幾乎每一位受過完整大學部數學教育的受試者,都以「秒殺」的速度「解」了此題。 大家看出來的規則是:\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}\times ({{a}_{n}}+1)\), 而 \({{a}_{1}}=1\)。這是一種數列的「遞迴關係」,得到 \(a_6=1806\times 1807=3263442\)。

可是,只要能滿足前五項的規律,都是一個「合法」的規律。 誰有權力武斷地說,一個規律是「正確」的,而另一個規律是「錯誤」的呢? 就這個問題而言,恰好有另一個頗有趣的規律,也滿足前五項。 定義 \(p(n)\) 為:比 \(n\) 大的最小質數。 例如 \(p(1)=2\),\(p(10)=11\),\(p(11)=13\)。 現在,很湊巧地,\(p(2)=3\),\(p(6)=7\),\(p(42)=43\)。 所以,題目中的 \({{a}_{1}}\),\({{a}_{2}}\),…,\({{a}_{5}}\) 恰好也滿足這條規律: \[{{a}_{n+1}}={{a}_{n}}\times p({{a}_{n}})\] 按照這個規律,\({{a}_{6}}=1806\times p(1806)=1806\times1811=3270666\)。 所以,這是不是「另一個」答案? 那麼,這兩個答案,哪一個才是「標準答案」?

讀者或許認為,這一題運氣不好,所以有兩個答案。 很不幸地,所有這類題目都有無窮多種「合理」的答案。 我們在高中一年級學過:(在非退化的情況下)六個點可以決定唯一的五次多項式。 令 \(f(x)=c_5x^5+c_4x^4+c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0\), 並設定條件 \(f(0)=k\),\(f(1)=1\),\(f(2)=2\),\(f(3)=6\),\(f(4)=42\),\(f(5)=1806\),所得的五次多項式函數是 \[f(x)= \left({547\over40}-{k\over120}\right)x^5 +\left(-{407\over3}+{k\over8}\right)x^4 +\left({3781\over8}-{17\over24}k\right)x^3\] \[+\left( -\frac{2020}{3}+\frac{15}{8}k \right){{x}^{2}} +\left( \frac{3237}{10}-\frac{137}{60}k \right)x+k\] 如果規定 \(a_n=f(n)\),則 \(a_1\),\({{a}_{2}}\),…,\(a_5\) 都滿足題目的條件, 但是 \(a_6=f(6)=10302-k\)。 你可以用 \(k\) 設計任意一個你想要的答案,當然包括「標準」答案在內 (取 \(k=-3253140\) 即可)。 這組插值多項式的規律完全「合理」,而且任選一個 \(k\) 就給你一組答案; 就數學而言,沒有一個規律「優於」另一個規律。

所以,任意一個只給有限幾項而要學生「回答」下一項的問題, 都是(在數學上)無聊的。 換個說法,我們可以誇飾地說,只要給足了條件, 數學中的任何命題都可能是「正確」的。 因為,數學是人的創作,數學的正確性不需外求,不必跟自然或社會現象做比較, 只要在定義和公設的條件之下,滿足內部的一致性,就是「正確」的。 這就是康老教授跟女兒說「數學沒有標準答案」的意思。

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Created: Dec 12, 2019
Last Revised: 20/09/07
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