數學英文

複數

實數是測量所得的數，它是從自然數 (natural numbers) 衍生出來的數， 所以它畢竟還是「天然的」(natural)。 相對地，虛數是從代數操作 (algebraic operations) 中創造的數， 它是想像出來的，所以稱為 imaginary number。 有了想像出來的數--imaginary numbers--之後， 以前那種天然的數才被稱為真實的數--real numbers； 它們結合在一起，稱為複數 complex numbers。 複數的實數部分稱為 real part，虛數部分稱為 imaginary part；用 \(z\) 表示複數時，它的實部與虛部通常分別記作 \(\text{Re}(z)\) 和 \(\text{Im}(z)\)。 虛數單位 (imaginary unit) 通常記作 \(i\) 或 \(j\)， 使用 i 因為它是 imaginary 的第一個字母，而使用 j 只是因為它是 i 的下一個字母。

共軛是 conjugate，翻譯得好，「軛」是在一輛雙牛或雙馬拖的車子前面， 用來套住兩頭牲畜讓牠們分站車軸兩側而同時拖車的那條橫桿。 Complex conjugate 就是共軛複數， 例如 The complex conjugate of 3+2\(i\) is 3-2\(i\)。 或者 The product of complex conjugates is real (共軛複數的乘積是實數）。複數 \(3+2i\) 的共軛複數記作 \(\overline{3+2i}\)，上方的橫線讀作 conjugate of 或者 overline。

虛數單位的平方是負一，the square of \(i\) is negative one， 或者 \(i\) squared equals negative one。

容納 complex numbers 之後，二次方程 quadratic equation 就一定有解。 把重複數 multiplicity 算進來之後，quadratic equation 一定有兩個 solutions。 當 solution 是 imaginary part 不為 0 的 complex number 時， 這樣的解稱為虛根 imaginary roots。 當實係數二次多項式 quadratic polynomial with real coefficients 的判別式小於零 discriminant is negative 的情況， 它就有一對共軛虛根 a pair of conjugate imaginary roots。 意思是說令它等於 0 的二次方程有一對互為 complex conjugate 的 solutions。

代數基本定理 the fundamental theorem of algebra 是說： 非常數的 non-constant 一元 single-variable 複係數多項式 polynomial with complex coefficients 至少有一個複數根 has at least one complex root。 而這個定理可以引伸為： 非零的 non-zero 一元 \(n\) 次複係數多項式 single-variable polynomial of degree \(n\) with complex coefficients 計算重複數之後 counted with multiplicity， 恰有 \(n\) 個複數根 has exactly \(n\) complex roots。