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多邊形

多邊形 (polygons) 是一類主要的平面圖形。 七、八、九、十、十一、十二邊形除了可以說 7-gon、8-gon 之外， 比較有學問的說法是根據希臘、拉丁數字而得的學名：

7. 七邊形 heptagon / septagon：拉丁數字 7 (vii, septem)
8. 八邊形 octagon：拉丁數字 8 (viii, octo)
9. 九邊形 nonagon：拉丁數字 9 (ix, novem)
10. 十邊形 decagon：拉丁數字 10 (x, decem)
11. 十一邊形 hendecagon：hen + 拾邊形，古希臘數字 11 (ενδεκα, hendeka)
12. 十二邊形 dodecagon：do + 拾邊形，古希臘數字 12 (δωδεκα, dodeka)

每邊一樣長且每角一樣大 (equilateral and equiangular) 的簡單凸多邊形稱為「正規」多邊形 (regular polygons)，簡稱正多邊形。 正三角形 (regular triangles) 又稱為等邊三角形 (equilateral triangles)， 正四邊形 (regular quadrilaterals) 又稱為正方形 (squares)， 右圖是一個正五邊形 (a regular pentagon)。 注意五芒星 (star pentagon) 雖然也是每邊一樣長且每角一樣大，但它不是正五邊形，因為它既不凸也不簡單。 非正規的多邊形稱為不規則多邊形 (irregular polygons)。

雖然視覺可以分辨凹或凸的多邊形，但數學還是要有凸多邊形的定義： 例如規定每個內角 (interior angle) 都小於平角， 或者規定在邊上任取兩點所作的線段全部落在多邊形的內部： The line segment between two points of the polygon is contained in the interior (and the bondary) of the polygon。

將多邊形劃分成若干三角形的作法，稱為三角分割 (triangular partition)， 一組分割的樣式稱為一個 triangulation。 運用這個技術，可知 \(n\) 邊形 (\(n\)-gons) 的內角和 (sum of interior angles) 為 \(n-2\) 個平角。因此，正 \(n\) 邊形 (regular \(n\)-gons) 的每個內角皆為 \[{n-2\over n}\times 180^\circ\] 但是 \(n\) 邊形的外角和 (sum of exterior angles) 卻是固定的：一個全角 (\(360^\circ\))； 此結論一般僅對凸多邊形而言，其實對凹多邊形也成立， 只是需要考慮有向角 (directed angles)。