數學英文

描述統計

統計 (statistics) 的字根是 state──國家或政府， 而統計原本的意思就是用來「描述一個國家」的數據 (description of a state)。 所以描述性統計 (descriptive statistics)，又譯敘述性統計， 簡稱描述統計或敘述統計，就是統計的基本內容。 它用少數幾個數來描述一組資料 (a data set，但此 set 並非「集合」之意) 的特徵， 這些數通稱為統計量，英文也是 statistics，或者說 statistical parameters。 做統計的人──統計師或統計學家──稱為 statistician。

描述統計的主要任務就是描述資料的分布 (data distribution)，而描述的辦法，主要就是用描述統計量 (英文還是 descriptive statistics) 以及統計圖和統計表。

描述統計量有兩大類型，一種量度資料的集中趨勢 (central tendency)， 因此就稱為集中量數 (measures of central tendency)； 另一種量度資料的分散程度 (variability 或 spread)， 因此稱為分散量數 (measures of spread/variability)。 要注意，我們通常翻譯成「平均」的 average，有時候用來泛指集中量數； 所以有時候「平均數」(measures of average) 的意思是一般性的集中量數， 而不是算術平均。

最基本的集中量數（或「平均數」）是三個 M：Mean, Median 和 Mode。

Mean

算術平均數，因此又特別說是 arithmetic mean， 習慣記作小寫希臘字母 \(\mu\)。 假如將資料寫成數列 \(\langle x_i\rangle\)，也習慣將它們的 mean 記作 \(\bar x\)， 讀作 x bar。

Median

中位數。 連續型資料 (continuous data) 有唯一的中位數，但離散型資料 (discrete data) 卻很可能有無限多種符合定義的中位數。 中學數學只討論離散型資料，所以必須接受中位數的含糊性 (ambiguity)。 數學老師堅持要有「唯一標準答案」的習慣，在這裡受到嚴重的挑戰。

Mode

眾數。雖然英文看不出 Mode 是一個「數」，但中文翻譯是恰當的：它必須是一個數。 Mode 最初由英國數學家 Karl Pearson 在 1895 年發表的論文中定義， 指的是將資料呈現在坐標平面時，發生最大值（最高點）的 \(x\) 坐標。 既然資料可以描繪 (plot) 在坐標平面上，它們當然是量化資料 (quantitative data) 或數值資料 (numerical data)，而不是質性資料 (qualitative data) 或名目／類別資料 (nominal data)。 對於非數值的資料，我們就不用集中量數來描述它，也不討論它的眾數。
　　一組資料的眾數未必唯一，有兩個眾數的「雙峰」資料稱為 bimodal， 有三個或更多眾數的「多峰」資料稱為 multimodal。 但是，有太多眾數的資料，根本就不應該用眾數來描述它的集中趨勢。 只有無聊的數學老師才會問學生 \(\langle1, 2, 3, \cdots, 100\rangle\) 的眾數是什麼？ 統計學家不會考慮這種問題。