積分的數值計算

在高中的課本裡介紹有矩形法、梯形法和 Simpson 法等三種方法來計算間隔 [a,b] 上的連續函數 f(x) 的定積分

$$I=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$$

的近似值. 我們將 [a,b] 分成 n 等分, 令其分點為 $a=x_0< x_1<\ldots<x_n=b$. 又令 $y_i=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_{i})$, h=(b-a)/n. 則 I 用各種方法計算得到的近似值如下:

左端點矩形法

$$h\sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1})$$.

右端點矩形法

$$h\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})$$.

中端點矩形法

$$h\sum_{i=1}^{n}f(y_{i})$$, 我們用 R 表示這個近似值.

梯形法

$$h\left[\frac{f(a)+f(b)}{2} +\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right]$$, 我們用 T 表示這個近似值.

Simpson法

(T+2R)/3.