反三角函數的導函數

甲. $\arcsin x$ 的導函數. 令 $y=\arcsin x$. 則 $x=\sin y$. 故

$$\frac{dx}{dy}=\cos y$$

於是當 $\cos y\neq{0}$ 時 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}$. 但 $\sin^{2} y+\cos^{2} y=1$, 而且從 $\arcsin x$ 的定義知 $y\in{[-\pi/2,\pi/2]}$, 故 $\cos y$ 不是負的. 遂得 $\cos y=\sqrt{1-x^2}$. 這就是說

$$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, x\in(-1,1)$$

乙. $\arccos x$ 的導函數.

令 $y=\arccos x$. 則 $x=\cos y$. 故

$$\frac{dx}{dy}=-\sin y.$$

於是當 $\sin y\neq{0}$ 時 $\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin y}$但 $\sin^{2} y+\cos^{2} y=1$, 而且從 $\arccos x$ 的定義知 $y\in{[0,\pi]}$, 故 $\sin y$ 不是負的. 遂得 $\sin y=\sqrt{1-x^2}$. 這就是說

$$\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, x\in(-1,1)$$

丙. $\arctan x$ 的導函數.

令 $y=\arctan x$. 則 $x=\tan y$. 故

$$\frac{dx}{dy}=\sec^{2} y.$$

於是 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sec^{2} y}$. 但 $\sec^{2} y-\tan^{2} y=1$, 這就是說

$$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^{2}}$$

丁. $\hbox{arccot}x$ 的導函數.

令 $y=\hbox{arccot}x$. 則 $x=\cot y$. 故

$$\frac{dx}{dy}=-\csc^{2} y.$$

於是 $\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\csc^{2} y}$. 但 $\csc^{2} y-\cot^{2} y=1$, 這就是說

$$\frac{d}{dx}\hbox{arccot}x=-\frac{1}{1+x^{2}}$$

戊. $\hbox{arcsec}x$ 的導函數.

令 $y=\hbox{arcsec}x$. 則 $x=\sec y$. 故

$$\frac{dx}{dy}=\sec y\tan y.$$

於是當 $\tan y\neq{0}$ 時, $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sec y\tan y}$. 但 $\sec^{2} y-\tan^{2} y=1$, 而且從 $\hbox{arcsec}x$ 的定義知 y 在第一或第三象限, 故 $\tan y$ 不是負的. 遂得 $\tan y=\sqrt{x^{2}-1} \,$. 這就是說

$$\frac{d}{dx}\hbox{arcsec}x=\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}, \quad \vert x\vert>1.$$

己. $\hbox{arccsc}x$ 的導函數.

令 $y=\hbox{arccsc}x$. 則 $x=\csc y$. 故

$$\frac{dx}{dy}=\csc y\cot y.$$

於是當 $\cot y\neq0$ 時, $\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\csc y\cot y}$. 但 $\csc^{2} y-\cot^{2} y=1$, 而且從 $\hbox{arccsc}x$ 的定義知 y 在第一或第三象限, 故 $\cot y$ 不是負的. 遂得 $\cot y=\sqrt{x^{2}-1}$. 這就是說

$$\frac{d}{dx}\hbox{arccsc}x =-\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}},\quad \vert x\vert >1.$$