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以前討論有理函數的積分時, 曾提到下面公式:
設
,
.
則
這式子並沒完全算出所要的積分, 但若 ,
則右邊第二項可再利用 (1) 化簡,
這步驟可繼續進行,
直到出現
形式的積分. 而
所以反覆利用 (1) 再配合 (2), 我們可算出一般的
.
公式 (1) 是個遞迴公式 (recursion formula 或 reduction formula) 的例子,
這種情形在解一般積分的問題時常常出現, 以下是一些別的例子:
例 27
設整數
.
試證明
證明. n=0 及 n=1 時本公式顯然成立, 底下考慮
的情形, 此時
移項後整理, 得
例 28
設
n 為正整數, 求
.
解. 若 ,
則由例 27 知
另外,
,
.
所以對一般 n, 反覆利用 (3), 就得答案如下:
這些結果叫做 Wallis 公式, 由英國數學家 John Wallis (1616-1703) 引入.
在下篇裡將用它計算 .
例 3
設
m 為正整數,
x>0, 且
,
試證
證明. 由部分積分法得
明所欲證.
習
題
- 1.
- Evaluate the following integrals:(a)
,
(b)
,(c)
,(d)
,
(e)
- 2.
- Find each of the following definite integrals: (a)
,
(b)
,(c)
,
(d)
.
- 3.
- Obtain recursion formulas for the following integrals: (a)
(b)
- 4.
- Find the following indefinite integrals: (a)
,
(b)
,(c)
.
- 5.
- (a) Show that the substitution
can convert the integral
of any rational function in x of the hyperbolic functions into the
integral of a rational function in t.(b) Use (a) to compute
.
- 6.
- Show that
if a>0.
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1999-06-27