遞迴公式

以前討論有理函數的積分時, 曾提到下面公式: 設 $\beta \neq {0}$, $n \geq 2$. 則

$$\begin{array}{l} \displaystyle\int \frac{dx}{[(x+\alpha)^2+\b... ... \frac{dx}{[(x+\alpha)^2+\beta ^2]^{n-1}}. \end{array}\eqno(1)$$

這式子並沒完全算出所要的積分, 但若 $n-1\geq 2$, 則右邊第二項可再利用 (1) 化簡, 這步驟可繼續進行, 直到出現 $$\int \frac{dx}{(x+\alpha)^2+\beta^2}$$ 形式的積分. 而

$$\int \frac{dx}{(x+\alpha)^2+\beta^2} =\frac{1}{\beta}\,\tan^{-1}\frac{x+\alpha}{\beta}+C. \eqno(2)$$

所以反覆利用 (1) 再配合 (2), 我們可算出一般的 $$\int \frac{dx}{[(x+\alpha)^2+\beta^2]^n}$$.

公式 (1) 是個遞迴公式 (recursion formula 或 reduction formula) 的例子, 這種情形在解一般積分的問題時常常出現, 以下是一些別的例子:

例 27   設整數 $n \geq 0$. 試證明

$$\int {\sin}^n x\,dx = \left\{ \begin{array}{ll} x+C, & n=0, \... ...n-1}{n} \int \sin^{n-2} x\,dx, & n \geq 2. \end{array}\right.$$

證明. n=0 及 n=1 時本公式顯然成立, 底下考慮 $n \geq 2$ 的情形, 此時

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int \sin^{n} x\,dx = -\int \sin^{n-1} x(\cos x)^{\pri... ...-1}x\cos x +(n-1)\int \sin^{n-2} x\, dx -(n-1)\int \sin^n x\,dx. \end{eqnarray*}$$

移項後整理, 得

$$\int \sin^n x\,dx = -\frac {\sin^{n-1}x \cos x}{n} + \frac {n-1}{n} \int \sin^{n-2} x\,dx.$$

例 28   設 n 為正整數, 求 $$\int_{0}^ {\pi / 2}\sin^{n} x\,dx$$.

解. 若 $n \geq 2$, 則由例 27 知

$$\begin{array}{cl} \displaystyle\int_{0}^ {\pi / 2}\sin^{n} x\... ...-1}{n}\int_{0}^{\pi / 2}\sin^{n-2} x \,dx. \end{array}\eqno(3)$$

另外, $$\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx = 1$$, $$\int_{0}^{\pi /2}\sin^0 x\,dx = \pi/2$$. 所以對一般 n, 反覆利用 (3), 就得答案如下:

$$\int_{0}^{\pi/2}\sin^n x\,dx = \left\{ \begin{array}{ll} \dis... ... n \geq 3, \\ \noalign{\medskip } 1, & n=1. \end{array}\right.$$

這些結果叫做 Wallis 公式, 由英國數學家 John Wallis (1616-1703) 引入. 在下篇裡將用它計算 $\pi$.

例 3   設 m 為正整數, x>0, 且 $a \neq -1$, 試證

$$\int x^{a}(\ln x)^{m}\,dx = \frac {x^{a+1}(\ln x)^{m}}{a+1} - \frac {m}{a+1}\int x^{a}(\ln x)^{m-1}\,dx.$$

證明. 由部分積分法得

$$\begin{eqnarray*}{\int x^{a}(\ln x)^{m}\,dx} &=& \int \left( \frac {x^{a+1}}{a+1... ...1}(\ln x)^{m}}{a+1} - \frac {m}{a+1}\int x^{a}(\ln x)^{m-1}\,dx. \end{eqnarray*}$$

明所欲證.

習$\quad$題

1.

Evaluate the following integrals:(a) $$\int \frac {\sqrt{x}}{1+x^{2}}\,dx$$,     (b) $$\int \frac {dx}{(x+2)^{3}(x+3)}$$,(c) $$\int \frac {x}{(x^{2}+2x+2)^{2}(x-1)^{2}}$$,(d) $$\int \frac {dx}{2+\cos x}$$,     (e) $$\int \frac {dx}{\sqrt{3}\, \cos x+\sin x}.$$

2.

Find each of the following definite integrals: (a) $$\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n} x\,dx$$,     (b) $$\int_{0}^{1}x(\sin^{-1} x)^{2}\,dx$$,(c) $$\int_{1}^{\sqrt{3}}\frac {\tan^{-1} x}{x^{2}}\,dx$$,     (d) $$\int_{0}^{\pi/2}\frac {\sin x}{1+\sin x+\cos x}\,dx$$.

3.

Obtain recursion formulas for the following integrals: (a) $$\int \cos^{m} x \sin^{n} x\,dx.$$     (b) $$\int \frac {dx}{x^{n}\sqrt{ax+b}}.$$

4.

Find the following indefinite integrals: (a) $$\int \frac {x+6}{x^{4}-2x^{3}+2x-1}\,dx$$,     (b) $$\int \frac {x}{x^{4}+3x^{2}+2}\,dx$$,(c) $$\int \frac {x^{3}+2}{(x^{2}+x+1)^{2}(x+1)}\,dx$$.

5.

(a) Show that the substitution $t=\tanh \frac{x}{2}$ can convert the integral of any rational function in x of the hyperbolic functions into the integral of a rational function in t.(b) Use (a) to compute $$\int \frac {dx}{a+b\cosh x}$$.

6.

Show that $$\int_{0}^{a} \frac{\sin t}{1+t}\,dt >0$$ if a>0.