體積

在積分的幾何應用中, 除了面積和弧長外, 最重要的恐怕是體積的計算了. 體積的嚴謹定義要利用重積分的關念, 相當不容易; 但若採用直觀的立場引入計算體積的公式, 卻不困難.

設 R 為空間中的有界區域, 其中點 P(x,y,z) 的 z 座標橫落在間隔 [a,b] 中. 於 $z\in[a,b]$, 令

$$S(z)=\{ (x.y):(x,y,z)\in{R}\} ,$$

再令 A(z) 為 S(z) 的面積.取間隔 [a,b] 的 partition

$$a=z_0<z_1<\ldots <z_n=b.$$

如果在子間隔 [z_i-1,z_i] 內截面 S(z) 不變, 均為 S(z_i), 則總體積為

$$\sum_{i=1}^n A(z_i) \Delta{z_i},$$

式中 $\Delta{z_i}=z_i-z_{i-1}$. 在一般狀況下, 這個截面會變, 但當 partiton 愈來愈細時, 它將趨近於積分

$$V=\int_a^b A(z) \,dz.$$

積分 V 便是 R 的體積.

在文藝復興的時代, 義大利數學家 Bonaventura Cavalieri (1598-1647) 曾說過: 如果兩個立體於任意高度的截面的面積均相等, 則它們的體積必相等. 這原理叫做 Cavalieri Principle, 可從上述體積公式得到它的印證.

一般常見的立體便是旋轉體 (solid of revolution). 在 xy 平面上取一呈

$$x=f(z), \quad z \in{[a,b]}$$

形的曲線. 令 A 表這曲線和 z 軸在 xy 平面上所夾的區域. 當 A 圍繞 z 軸旋轉一週時, 令 R 表示它所掃過的區域. 因為平面 z=c 和 R 的截口為一圓, 其半徑為 |f(z)|, 所以它的面積是 $\pi {[f(z)]}^2$. 利用上述的體積公式便得

$$V={\pi}\int_{a}^{b} \ {[f(z)]}^2\,dz.$$

利用這個公式求旋轉體體積的方法, 通常稱為 slice method (薄片法) 或 disk method. 這方法在高三理科數學曾有詳細的介紹.

另外還有一個叫作 shell method 的方法, 茲介紹如下: 仍考慮上述的區域 A, 但再假定 $0\leq{a}<b$, 這次我們讓它圍繞 x 軸旋轉當. 它旋轉一周時, 令 S 表示所掃過的區域. 我們想計算 S 的體積 V. 將曲線上的點 (f(z),0,z) 和 (0,0,z) 連線. 當該線圍繞 x 軸旋轉一周後, 便得到一段圓柱面. 將這樣的圓柱面附以小厚度後相加, 再取極限, 乃得所求體積的公式為

$$V={2\pi}\int_{a}^{b} \ z\mid f(x)\mid dz.$$

例 7   求單位球的體積.

解. 單位球體可看成 xy 平面上的曲線

$$y=\sqrt{1-x^2}\, , \quad x\in{[-1, 1]}$$

圍繞 x 軸旋轉而成的旋轉體. 利用 slice method 可得其體積為

$$V={\pi}\int_{-1}^{1} \ (1-x^2)dx=\left.\pi(x-\frac{x^2}{3}) \right\vert _{-1}^{1}=\frac{4{\pi}}{3}.$$

該體積也可以用 shell method 求出. 因將曲線

$$y=\sqrt{1-x^2}\, , \quad x\in{[0, 1]}$$

和 x 軸間的面積圍繞 y 軸旋轉一周所得的體積為 V/2, 所以從 shell method 得

$$V={2\cdot{2{\pi}}}\int_{0}^{1} \ x\sqrt{1-x^2}\, dx=\left.{2{... ...-2{(1-x^2)}^{(3/2)}}{3} \right\vert _{0}^{1}=\frac{4{\pi}}{3}.$$

例 8   設一圓錐之底半徑為 r, 高為 h, 試求其體積. 該圓錐可看成 xy 平面上的線段

$$x={\frac{r}{h}}{(h-z)}, \quad z\in{[0,h]}$$

和 z 軸間部分圍繞 z 軸旋縳而成的. 用 slice method 可得其體積為

$$V={\pi}\int_{0}^{h} \ \displaystyle\frac{r^2(z-h)^2}{h^2}dz={\displaystyle\frac{1}{3}}{{\pi}{r^2}h}.$$

這體積也可以用 shell method 求得: 因曲線方程式也可以寫成

$$z=h-{\frac{h}{r}}{x}\ , \quad x\in{[0, r]},$$

故有

$$V={2\pi}\int \ (h-{\displaystyle\frac{h}{r}}{x})xdx=\left.{\p... ...^3}{3r}}\right\vert _o^r= {\displaystyle\frac{1}{3}}{{\pi}r^2h}$$

例 9   設 a>0 以 (a,a,0),(-a,a,0),(-a,-a,0) 和 (a,-a,0) 為四頂點作一正方形. 將點 (0,0,a) 和此正方形的各點相連, 求所得區域之體積.

解. 這不是一個 solid of revoloution. 但平面 z=c 和立體之截面積為 [2(a-z)]². 故所求的體積為

$$\int_{0}^{a} \ {4}{(a-z)^2}\,dz =\left.{\frac{4}{3}}{(a-z)}^3\right\vert _0^a={\frac{4}{3}}{a^3}.$$

習$\quad$題

1.

在一個半徑為 r 的半球形的水槽中儲水. 當水深為 ${\frac{1}{2}}{r}$ 試求所容水的體積.

2.

Find the volume of the solid of revolution obtained by rotating the area in the xy-plane bounded by the 4 lines x=0, x=2, y=0 and $$y=\frac{1}{x^2+1}$$ about the y-axis.

3.

考慮雙紐線 $r=a{cos{2\theta}}$, 其中 a>0.
(a) 試求當 $\theta\in{[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{5}]}$ 時曲線所包部分的面積.
(b) 從 z 軸上與圖形距離為 c 的一點至 (a) 中所包各點線, 試求連成區域的體積.

4.

將以 (0,0), (a,0), $({-a}/{2},{\sqrt{3}a}/{2})$ 為頂點的等腰三角形圍繞 y 軸旋轉, 試用 slice method 和 shell method 求出所產生的區域的體積.

5.

(a) 試求 $y=\sin x$ 和 y=x, $(x\in{[0,\pi]})$二曲線所夾的區域圍繞 x 軸旋轉所得立體之體積.
(b)試求出該區域圍繞 y 軸旋轉所得立體之體積.

6.

Find the volume of the solid of revolid of revolution generated by revolving the region between the cycloid and the x-axis about the y-axis.

7.

設 0<r<R 在一平面上取一點 P 和一直線 $\ell$, 使 P 和 $\ell$ 的距離為 R. 以 P 為中心, r 為半徑作一圓板. 將該圓板圍繞 $\ell$ 旋轉一週, 試求所得旋轉體之體積.

8.

一立體之底為單位圓 x²+y²=1. 設每個與 x 軸垂直之平面與該立體之截面均為一正方形. 試求該立體之體積.

9.

Is the ellipsoid

x²+y²+4z²=1

a surface of revolution? Find the volume enclosed in it.