曲面的表面積

在討論在曲面上做積分以前, 讓我們先思考一下什麼是曲面的表面積 (surface area). 我們很容易會想到應該推廣計算曲線的弧長的方法來給表面積下定義. 但是很可惜這種推廣歸於失敗. 首先讓我們舉一個失敗的例子:

考慮一個圓柱面, 設其高為 h, 其底圓的半徑為 1. 我們將頂圓和底圓的周界分別分成 2n 等分. 分割時注意務使每個頂圓的分點落在對應的底圓分點的正上方. 將頂圓的每個奇數分點和底圓上和他最接近的兩個偶數分點相連接, 最後再將頂圓相鄰的奇數分點相連,將底圓相鄰的偶數分點相連, 如是乃得 2n 個等腰三角形. 以下我們要計算這些三角形的總面積 T.

因為所有的三角形皆全同, 所以我們只需計算其中任意一個三角形的面積 A. 令 $$\theta=\frac{2\pi}{2n}=\frac{\pi}{n}$$. 一個典型的三角形以

$$(1,0,0), \quad (\cos{2\theta}, \sin{2\theta}, 0) \quad\textup{和} \quad (\cos{\theta}, \sin{\theta}, h)$$

為其三頂點.沿該三角形的二邊的向量的外積為

$$\left\vert \begin{array}{ccc} \cos{2\theta}-1 & \sin{2\theta... ...}-1 & \sin{\theta} & h \\ i & j & k \end{array}\right\vert.$$

三角形的面積 A 是這個外積的長的一半, 即

$$A^2=\sin^2{\theta}[(h\cos{\theta})^2+(-h\sin{\theta})^2+(1-\cos{\theta})^2].$$

從而 $A=\sin{\theta} \sqrt{h^2+(1-\cos{\theta})^2}$. 遂知諸三角形的總面積為

$$T=2n\sin{\theta}\sqrt{h^2+(1-\cos{\theta})^2}.$$

現在考慮以 1 為高也以 1 為底圓半徑的圓柱面. 因為我們可以把這圓柱面沿一條母線剪開, 攤在平面上, 得一以 $2\pi$ 為底, 以 1 為高的矩形, 所以圓柱面的表面積應該是 $2\pi$. 我們將此圓柱面用水平面分割成 m 個薄片, 使每片的高均為 $$h=\frac{1}{m}$$. 再依上法將每個薄片分成 2n 個三角形. 則 m 個薄片上共有 2mn 個三角形, 其總面積為

$$S=mT=2mn\sin{\theta}\sqrt{h^2+(1-\cos{\theta})^2} =2n\sin{\theta}\sqrt{1+m^2(1-\cos{\theta})^2}$$

以下我們要計算當分割愈來愈細時, S 在不同的情形下的極限. 在計算時宜注意 $$\theta =\frac{\pi}{n}$$, 故當 $n\rightarrow\infty$ 時 $n\sin{\theta}\rightarrow\pi$

1)設 m=n. 此時 $n(1-\cos{\theta})\rightarrow 0$, 所以有 $\lim S=2\pi$. 這正是我們所要的表面積的值.

2)設 m=n². 此時 $$m(1-\cos{\theta})\rightarrow\frac{(\pi)^2}{2}$$, 所以有

$$\lim S=\pi\sqrt{4+(\pi)^4}$$

3)設 m=n³. 此時可證 $\lim S=\infty$. 讀者不妨自己作一作.

以上的討論顯示在定義表面積時, 推廣定義弧長的方法竟歸於失敗. 所以我們不宜利用曲面的內接多面體的面積作其近似. 定義表面積須另闢蹊徑. 但在介紹正確的方法以前, 我們必須先解釋一下什麼是曲面.

仿造利用參數式定義曲線的法子, 可以定義曲面如次: 設 D 為 uv 平面上的區域, $f:D\rightarrow \mathbb{R} ^3$ 為連續映像, 則稱 f 或它的像集合

$$\{f(u, v): (u, v)\in D\}$$

為一曲面 (surface). 這曲面以 S: (x, y, z)=f(u, v) 表示. 在以下的討論中, 我們均假定 f 有連續的一階偏導函數; 此時我們說 S 為 continuously differentiable.

在以下的討論中, 令 $D=\{(u, v): u\in [a, b], v\in [c, d]\}$, f 如上. 我們要定義曲線面 S: (x, y, z)=f(u, v) 的表面積.

將 [a, b] 和 [c, d] 分割如下: $a=u_0<u_1<\cdots <u_m=b$, $c=v_0<v_1<\cdots <v_n=d$. 對 $i=1, 2, \cdots, m, j=1, 2, \cdots, n$ 定義

$$D_ij=\{(u, v): u\in [u_{i-1}, u_i], v\in [v_{j-1}, v_j]\},$$

The solution of the last problem suggests a more general situation: Consider the curve z=f(x), $x \in{[a, b]}$ in the xz-plane. When this curve is revolved about the z-axis, there results a surface of revolution whose equation in cylindrical coordinates is z=f(r), $r \in {[a, b]}$. Then

$$z_x=f'(r) \frac{x}{r}, \qquad z_y=f'(r) \frac{y}{r}.$$

Consequently 1+z_x²+z_y²=1+[f'(r)]², and the area of the surface under consideration is

$$\int_0^{2\pi}d \theta \int_a^b \sqrt{1+[f'(r)]^2}rdr=2\pi \int_a^b \sqrt{1 +[f'(x)]^2}x\, dx.$$

讀者可以試用本公式再計算一次球的表面積. 以下我們用此公式來計算圓錐的表面積:

例 1   試求底圓半徑為 R, 高為 h 的正圓錐的表面積.

解. 本題中的圓錐可視為將線段 z=hx/R, $x \in{[0,R]}$ 圍繞 z 軸旋轉而得的旋轉面. 因此它的表面積是

$$\left. 2\pi \int_0^R \sqrt{1+\frac{h^2}{R^2}}x\, dx =\pi \sqrt{1+\frac{h^2}{R^2}}x^2 \right\vert _0^R=\pi R \sqrt{R^2+h^2}.$$

習$\quad$題

1.

Find the area of the surface $z=x+\sqrt{2}y+1$ whrere $x^2\leq y\leq 1$.

2.

Let D be the triangular domain in the xy-plane with vertices (0, 0, 0), (0, 1, 0) and (1, 1, 0). Find the surface area of the part of the graph of z =3x+y which lies over D.

3.

求由二圓柱面 x²+y²=a² 和 x²+z²=a² 所界立體的體積和表面積.

4.

求曲面 $$z=\frac{1}{\sqrt{2}}x^2-y$$ 被四平面 $x\pm y=\pm 1$所夾部分的面積.

5.

試計算球面 x²+y²+z²=4R² 在範圍 $x^2+y^2\leq R^2$, z>0 內分部面積.

6.

Let the equation of a surface in cylindrucal coordinates be $z=f(r,\theta)$, $(r,\theta)\in\Omega$. Show that the area of this surface is

$$\displaystyle\int_\Omega\sqrt{r^2+[rf_r(r, \theta)]^2+[f_\theta(r, \theta)]^2}drd\theta.$$

7.

拋物線 y²=2px, $x\in[0, a]$, 繞 x 軸旋轉, 試求所得曲面的表面積. 又該曲面繞 y 軸旋轉, 則結果又如何?