數學教材教法：學前到中學，陳彥廷、王瑞壎譯， 臺北市：華騰文化，2011. ISBN 978-986-6654-64-0.這本書譯自 Marilyn Burns (2007) About Teaching Mathematics, a K-8 Resource. 第三版。其實此書英文版已有第四版，還是由 Math Solutions 出版，2015 年。 原作者著作豐富，在臺灣也有許多譯本，她本人的名字是瑪瑞琳．伯恩斯。 全書五章，僅第三章是王瑞壎教授（中正大學教育所博士，嘉義大學教育行政所副教授）所 譯（相對品質較低）， 其餘四章都是陳彥廷教授（高師大科教所博士，國立編譯館副編審）的譯文， 譯筆相當流暢可讀，專業也到位。
第一章 Raising the Issues 提出數學教育的大議題，很精彩也很實用。 第二章 Instructional Activities for the Content Standards 根據 NCTM 2001 的 Principles and Standards for School Mathematics 的 10 項標準的部分課題提出實例。 NCTM 2001 有 5 項內容標準：
NCTM 2001 另有 5 項過程標準：
- 數字與運算
- 代數
- 幾何
- 測量
- 資料分析和機率
第二章不僅是內容標準，還有屬於過程的「邏輯推理」；特別有一節談「函數」，也未明列 在標準裡。 第三章 Teaching Arithmetic 特別講算術教學，第四章 Mathematical Discussion 為教師補充數學知識，相當於把第二、三章提出的部分較深奧的活動，解釋一遍。 第五章 Questions Teachers Ask 以其長期的經驗，回答教師常提的教學疑問。 她的回覆很務實，可是那些問題似乎不是臺灣的國中數學教師關心的問題。 這本書的「有效」頁數為 255 頁。
- 解決問題
- 推理及證明
- 溝通
- 關聯
- 表徵
Burns 從 1962 年開始教書，有各年級的實務經驗（例如她在書裡提到，曾有四年的 Grade 8 經驗）。 1981 年出了這本書的第一版。這本書涵蓋美國的小學和國中，當然並不完整對應我國的國中階段。
第一章的總論，有一般性的參考價值。這是我認為最有價值的一章。
學生必須體認到學習計算是為了解決問題，但是，學生卻常將文字題當作是計算的練習。 上述說明並不代表教師在一開始就該讓學生做文字題，因為做文字題無異是在測量學生的能力。 教師應該教導學生去認識課程中的運算方法獲知識，而非做測驗。 (p.1-7ff)英文有 Question vs Problem 兩個字，可是中文似乎沒有。 例如「我家的貓叫什麼名字？」「你最喜歡哪個顏色？」是 Questions。
數學問題的準則：(p.1-9)
- 學生能理解的複雜情境。
- 學生有興趣解決的情境（認為有必要解決的）。
- 學生無法力極值皆找出答案的情境。
- 該情境需要靠數學概念與技巧進行思考。
課本上常有一些文字題，同一頁出現的題目，都是使用同一種運算過程。 該頁的第一題可能對學生來說是個數學問題，然而當學生了解到其他題目都是使用同一種計算過程的時候， 那其他的題目就不再是數學問題了。 只能算是不需經過大腦思考推理的練習題，重複地使用同一種運算模式。 (p.1-10)心理上的混淆作為學習的開始，皮亞傑以失衡─平衡作為類比，英文是 disequilibrium 和 equilibrium。
學習的發生，需要三種條件。第一條比較難解，是「識」的成分：意識到問題的存在（失衡）， 這需要認知上的成熟。
學習通常發生於對問題有一定程度的認識才開始。 而平衡即是心智概念架構（mental conceptual structual）和環境不斷互動交流所產生的。 因此那三種條件是社會知識也是影響數學學習的一個面向。我們用數字表示數量，用符號描述關係， 這些（文字）都是社群溝通數學概念的語言。因為單字和符號的知識來源是「外在的」， 即是社會加諸於學習者。因此，學習著不太可能透過推理或探索的方式來「發現」我們用來做乘除的數字稱為「因數」，而乘法的答案稱為「積」。 ... 在社會知識和邏輯知識的教學上，明確的教學（explicit instruction）是必要的（即「告知」或「宣告」）。 (p.1-16ff)
- 心智成熟（mental maturity），也就是到達了適學的心智年齡。
- 實際經驗（physical experience），所以教學例和導入動機，都要搭配學生的生活經驗或可想像的範圍。
- 社會互動（social interaction），能激發學生反思自己的想法，使之趨於客觀，也是社會習俗及規約的重要來源。
教具英文是 manipulative materials。融入精確數學語言但是用「講人話」的言語說出來， 叫做「數學言談」，英文是 Math Talk。注意 Suzanne Chapin 的著作。 數學寫作應該是「融入寫作的數學教學」之縮寫 Incorporating Writing into Math Instruction， Burns 另有專書。Writing to Learn 的目的是「寫作是讓自己在學習的科目中工作，並且讓學習的東西成為自己的。」（William Zinsser，Writing to Learn）。
A saying attributed to E.M. Forster, “How can I know what I think until I see what I say” (Auden, 1962)美國的寫作課，會教學生寫作之前先設定假想的讀者。數學寫作則告訴學生，把教師設定為讀者。 臺灣的學生，大概都知道（只會）把課堂作業、報告的讀者設定為老師吧？數學課的寫作不是優美的作文，而是提供學生一種學習的管道，用來探索、延伸和加強數學。 除了學生以外，教師是首要的讀者。教師必須注意學生寫作時顯示的學習情況─注意他們寫了什麼？ 而不是寫得如何？ (p.1-20ff)在 p.1-22 第十二節，翻譯得不好，英文 Teaching Math Vocabulary 不應翻譯為「教數學單字」而是教數學語彙。 當 Burns 說「教數學就像是在教第二種語言」，「但是，將數學視為第二種語言並無法類比至第二語言的學習。」 她專注於「二語」，或許是美國中學生常有機會選修的西班牙語之類，而非「外語」。 學習二語的常見特徵之一，是已經能用母語理解與表達指定的概念，要學習的是新的溝通符號（語音）。 但是，學習二語和外語，都可能遇到母語本身沒有或不完整的概念（若此情況偏多，則稱為學習外語，否則就稱為學習二語）。 數學跟學習二語的不同，其一是（幾乎）沒有語音的學習，其二是某些概念本身就不存在母語中， 所以要從概念學起，而不僅是命名和文法而已。
p.1-25 第十五節說「幫助學生發展學習態度和數學技巧是必要的。為了成為成功的數學學習者， 學生朝以下特徵發展。」這些特徵，應該可以作為「素養」之中的「態度」定義。
- 對找出問題的解法有興趣。
- 有自信嘗試各種不同的策略。
- 能承擔有可能錯誤的風險。
- 能接受未知的挫折感。
- 願意堅持到底。
- 了解不知道答案和尚未算出答案的差別。
從標題就知道第三章都是小學階段的內容，主題就是整數、分數、小數（全都是正的）， Burns 提供非常多教學活動的範例，值得小學教師參考；但是我就不詳讀了。 第二章按照學習的主題編排，並未劃分年級。在 Burns 舉出大約 100 個教學活動範例中， 大約 55 個可以在臺灣的國中階段實施；其中尤以機率、統計的例子最精彩實用。
三種有趣的身體上的二維數據，然後也可以變成「以相對單位描述長度」的例子。
- 頭圍：身高
- 步距：身高
- 步距：前臂
- 身高：雙手橫寬
第二章每一節（學習主題）基本上都先寫學習內容「概要」，然後寫「為什麼要學 XX？」 這很好，是「識」的層次。接著說「XX 方面應該教授哪些概念？」。 例如，為什麼要教機率統計？除了常見的理由，Burns 說「日常生活中，大部分的運算都是統計。」 「學習機率與統計也能幫助學生進行批判性思考。」 「這些方法足以應用在日常生活中的各種領域，包括社會、政治與科學。」(p.2-12) 至於該教哪些概念呢？其中一項是「指出機率」：
首次評估不確定性時應該以較不正式的方式進行， 並討論某個結果是否可能發生、發生機率相等或不等。指出機率能提供更多資訊，讓人在面對不確定時更容易下決定。(p.2-13)「最接近 15 點」的機率遊戲：擲骰子，累計點數之和，自己決定停止或繼續，最接近 15 點者獲勝。 記錄過程，問「通常」擲幾次之後停止？如何理性判斷停或繼續？但是「幾何與空間概念」缺了「應該教導哪些」這一小節。 很多活動可以在小學也可以在國中進行，用鏡子作對稱性的活動是很不錯的主意， 還有 p.2-38 利用四根牙籤（規定直角或平角相連）排成形狀，藉以便是「全等」圖形， 玩「接龍」遊戲：只變動一根牙籤就能換成下一幅圖形，目標是形成圖形的迴圈。
我認為「邏輯推理」是有待商榷的學習主題。我認為邏輯不該專屬於數學， 邏輯的教學不是數學一科的責任，它是所有學科的共同責任。 如同 Burns 自己說的，數學問題的要素之一是用數學方法可解， 在此意義之下「邏輯推理」這一節的問題不全是數學的。 p.2-46 的亞瑟王問題，太變態了啦，不宜在中小學玩這種情境的遊戲吧？！ Burns 在第四章提供它的解，但是也僅能歸納而已，完整的處理，或許實在超出了小學教師的能力範圍， 就連國中教師也可能有困難，這個例子很糟糕。 我不反對在數學裡「順便」玩一些邏輯遊戲，但是數學不該（承諾或被認為應該）負起邏輯教育的全部責任。
數感（number sense）是涵蓋範圍廣泛的能力，包括能作出合理的估算、 靈活思考和推理、作出合理的數字判斷，以及將數字作有用的處理。 (p.3-3) ... 算術能力是必需的生活工具，心算需熟練以外，也要有能力評估答案的正確性。 算術教學的定義需要做修改，算術能力不能只是單一評量學生算術演算的精熟度， 精通算術應包含知道哪個算式適用於特定情形、需要使用哪些數字、計算之後答案會是什麼？ （p.3-4，我認為翻譯的品質不太好，這裡的中文不太可信，若有必要，應查閱原文。）
老生常談，數學重「理解」，但是理解的目的終究還是為了要「記得」。 p.3-10 說，了解為什麼之後，較易於應用在新的題型，也更容易記住。 如果要這麼說，我認為我的說法較好：理解是為了記憶，記憶是為了流暢，流暢是創造力的必要條件。 此書引述查平、強森的書 Suzanne Chapin and Art Johnson, Math Matters: Understanding the Math You Teach, Grades K-8 (2nd ed., 2006, Math Solutions) 說
「精熟演算規則可以增加我們的心智容量（mental capacity），讓我們專心於解釋和理解問題的內容。 而最遭的情形式學生只將演算規則使用在心算或死記一些規則──這就是計算的重要。」(p.3-11)同樣地，我懷疑以上翻譯的品質，以後再找原文。頁 3-63 說，因為學生總是在圓形的表徵之下學習分數，導致以為「分數是圓形的」。 這倒是一個奇特的觀察。但我認為，這樣子的概念心象，並不會造成永久性的傷害吧？
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