Ferrie, Chris (2024). Calculus for Babies. Sourcebooks Explore. 〔拍照分享內容 PDF, 1.2MB〕
《寶寶的微積分》？這也未免太誇張了。 外甥女帶著她半歲的女兒逛市立圖書館（在美國加州）， 發現這本圖畫書，娃娃似乎會看，就借回家了，分享一張娃娃「讀」書的照片給我。 我實在太好奇內容了，還好書本內容不多（當然），媽媽就拍攝分享了。 當然內容不可能認真，而且實在有點唬爛， 但仍不妨讓大家看看，說不定臺灣有人可以編得更好， 而且說不定可以觸發一些創意。
這還是一系列的幼兒圖書呢。今天在 Amazon 顯示全系列有 45 冊。 作者（或者主編）是一位名叫 Chris Ferrie 的父親， 他有加拿大滑鐵盧大學的數學物理博士學位。
翻閱內容，很明顯的主題是：圓面積等於半徑與半周之矩形面積。 這固然是個了不起的成就，而且「似乎」可以啟發幼童， 但用它代表微積分實在不太說得過去，畢竟這個想法太古典了， 可以說是微積分的遠古祖先。 而 Ferrie 引導圓面積的方式卻非常值得讚許：他從球的表面積出發。 我們活在三度空間，合理的想像是： 幼兒（我們每個人的小時候）的幾何經驗來自空間而非平面。 這些年我常主張：空間是具體的，平面反而是抽象的。 數學課程導入的平面圖形，合理的推論是前人為解決空間問題所發明的想像物件。 雖然現代生活環境中到處有圓形物件，但在實際視覺「看到」圓的經驗並不多， 當我們「看到圓」其實視覺經驗通常是橢圓，是我們這副「世故」的大腦把它解釋成圓。 我們實際「看到圓」的經驗，其實來自於「看到球」。 所以作者從球出發而轉向圓，是值得喝采的，也不枉他的物理學根底 （畢竟他不是純數學家）。
這是我替 Ferrie 詮釋的編輯理念：
視覺的圓形經驗，來自於球。
感官（視覺與觸覺，也許還有味覺 — 哪個幼童不用口腔嘗試新物件？） 的面積經驗，
來自球的表面積。
但是在第三雙開頁（page 5 and page 6），作者虛晃一招。 整個圖畫故事的關鍵就在這兩頁：球表面積等於其等高外切直圓柱面積。 用後見之明得知兩者的公式都是 \(4\pi r^2\)， 但它們的公式一樣也可能純屬巧合，這樣解釋完全沒有引進微積分的「洞察」。 事實上，要感謝朱安強在聊天時談起這個有點令人意外的性質： 球上任兩個緯度之間的表面積，等於外切圓柱上同樣水平高度的面積。 用微量 (differential) 表達，取第一象限圓弧 \[x^2+y^2=r^2\] 上任一點 \((x,y)\)， 繞 \(y\) 軸旋轉而成的一滴滴表面積 \(dS\) 是 \[2\pi x\sqrt{dx^2+dy^2}\] 運用圓切線垂直於幅線之基本幾何性質， 可以推算那一滴滴表面積等於 \[2\pi r\,dy\] 任兩個水平高度之間所截的面積，不過就是 \(dS\) 對 \(y\) 的定積分。 這樣才是運用微積分對球表面積性質的了解。 有誰要挑戰：把前述洞察做成兒童圖畫書嗎？