數算大師--梅文鼎與天文曆算。 劉洪濤，瀋陽市：遼寧人民出版社，1997 年 8 月。
寒假剛開始，陪著內人回家探望岳父母；她有三個月沒回過娘家了。 帶著岳父去逛台中的天龍書局，明懿在後面那一進像倉庫的房間裡翻出這本書來， 櫃臺（也許是老闆娘）說這本書放了二十年賣不掉，幾乎要拿去燒掉了。 是它幸運也是我幸運，他們用 1：1 的價格賣給我，新台幣 16 元。 本來想要放到後面再讀，卻放不下來，接連著把它讀完了。
這本書的名稱，有對也有不對。 說它不對，是因為它不只介紹梅文鼎，還另有廿五位算學者，幾乎每人一節； 又說它對，是因為「梅文鼎是中國學術向近代科學過渡中承先啟後的人物」（p.78） 所以整本書裡的每位疇人都跟梅文鼎有關。 這本書的（幾乎）第一句話，引用阮元的話說： 「清代通數學者後先輩出，而師師相傳，要皆本於梅氏」（p.3）， 而最後一句話說：「從梅文鼎到華蘅芳，標誌著從一個時代到另一個時代轉變的完成。」 這兩句話可以概括這本書的內容與編輯要旨。 所以，可以說這是一冊清代的「算學演義」，也可以當作有清一代的《疇人傳》。
作者劉洪濤是南開大學的歷史系教授，但他的大學文憑卻來自北京工業學院（1967 年）。 可能因為工科的基本訓練，使得他在這份歷史性質的書裡，講到數學或曆學的時候， 表現得游刃有餘，毫不做作也不勉強； 此外，劉教授的文筆流暢，有時候忽然夾一句大白話，形容得極為貼切，另人莞爾。 我認為這本書的可讀性非常高，而根據我另外在網路搜尋的額外調查， 發現廿年之後的今天，網文所能提供的新史料也不沒有超過此書太多。 因此，這本讀起來讓人不忍釋卷的薄薄的小書（224 頁），不僅可以當演義來讀， 也還值得放在案前當作參考工具。
這本書屬於一套「清代社會文化叢書」，整套叢書看來編選得非常棒，它包括：
- 思想卷
- 獨樹一幟--戴震與乾嘉學派
- 救亡求存--清末維新潮
- 棄舊圖新--清末共和潮
- 科教卷
- 濃縮天地--避暑山莊營造技藝
- 杏壇春秋--書院興衰
- 跨出國門--清末出國潮
- 史地卷
- 放眼世界--魏源與海國圖志
- 典制卷
- 金榜題名--清代科舉述要
《幾何原本》雖只譯了前六卷，但是《崇禎曆書》卻偶爾引用了後面的，因此撩人心弦。 作者說徐、利只譯六卷並不特別奇怪，也許是基於實用性的考量，「西方各國都有譯本， 由於各種原因，大都略過七至十卷不譯，第六卷後直接與第十一卷相連， 也有前六卷的單行本。」（p.214）。 梅文鼎並無原版可考，僅是猜測或逆推其理，針對後半本的部分寫了《幾何通解》（p.51）。
梅氏在《幾何補編》的序言中，說某命題是受一名旅館館童的啟示：用竹片製圓燈， 先做成若干正六邊形，圍起來恰成一圓球（p.63ff）。 把這種枝節小事寫進書裡，在那個時代似乎是不尋常的行為。 而梅氏一開始並不慕西學，一度誤以為「幾何就是勾股」，因為譯者（說的不就是徐光啟嗎）不明白勾股含意，錯把勾股譯成了幾何，《幾何通解》就是個挑戰： 梅氏用中算的勾股法，解《幾何原本》裡的所有命題；類似的《平三角舉要》則挑戰平面三角，用勾股解三角學的計算問題。「勾股」全用邊長，並不用角。 這本書成為有系統地介紹西算中「平面三角學」的中文著作。 也許，就「算」弦長或弧長而言，勾股真的可以抵得上三角。 可是，因為缺了三角，有些理論完全不得發展， 例如「已知兩邊和夾角，求第三邊，古法向來無此題」（p.185）。 勾股或許在土木、機械的操作上足敷使用，但是缺了餘弦定理、和差角公式， 導致後面的數學知識斷了線，而中國的數學知識就只能停頓在某種實用的層次上了。 其實，作者早在此書開章就下了評論： 「幾何學成了數學中的薄弱環節，三角學幾乎是一張白紙」（p.6）。
《五星管見》運用西方傳入的本輪、均輪、弧三角，搭配傳統曆算方法， 解釋五星是左旋（由東向西運行）還是右旋的老問題。 可見梅文鼎那個時代（1633--1721），奈端（牛頓）的原理還沒傳進來， 就連哥白尼的新模型也還不知道。 揭暄別出心裁地解釋本輪、均輪說：七政在天，如同水在盤中運轉。 由於轉動太急，形成許多大大小小的漩渦，這就是本輪、均輪、次輪等。
眾人都說清代的學術是「考據」，為了考據舊知識而興起曆學， 恰好又遇上西方數學傳入而造成砥礪，因此清代的算學頗為興盛： 私自或有錢人資助出版、遊學與通訊，都相當發達， 文人之間有一個聯絡網路，書籍也有市場。 例如這本書常提到張文虎、黎應南這些「次要」角色，他們在重要疇人之間穿針引線， 編織出一幅學術社群的景象。 如今我們所知的九章、數書之類的古籍，其實都是清代學者的貢獻。 像錢大昕、戴震這些學者，乃至於一些官拜宰相、巡撫的菁英，都可涉及曆算。 按我看來，倒不完全是他們有多麼博學，另一個原因是曆學所涉的數學還是以算為主， 一般的文學、經學、理學者，只要用心還是可以學得會； 等到後來的物理、熱力、電磁等學，所涉的數學就開始深奧，有些文史學者就力不從心了。
康熙二年（1663）莊廷鑨的〈列朝諸臣傳〉補朱國禎《明史》的崇禎歷史，被歸安知縣吳之榮告發，引起一場凶猛的「文字獄」。
「多祿某」是托勒密，「來本之」是萊布尼茲。 「七政」是「日月五星」。 「立成」就是數值表，例如對數表、三角表（「八線表只是勾股的立成」）。 「推步」就是曆算，「鐘律」是音樂，「音聲」和「文字」則為小學。 「度數」是九章算術的兩大類：度是測量，數是算法；「數學」乃算法之學， 以前算法只有「術」的資格，沒資格稱「學」。 「盈縮」是指太陽運行速度，較均速快時為盈，較慢時為縮，又稱「日[足厘]盈縮」； 「疾遲」則是指「太陰」（月球）的運行速度較均速快慢。 自乘為「冪」，互乘為「積」。
漢代《太初曆》、《三統曆》、《四分曆》，隋《皇極曆》，唐代《大衍曆》。 清朝初年沿用明末徐光啟等人所作《崇禎曆書》，改名《時憲曆》，主持人是湯若望。 順治 10 年（1653）受賜名「通玄教師」，寵極人臣。 康熙 3 年（1664）楊光先排湯而接任欽天監正，決定修訂明朝原有的《大統曆》而續用； 明初元統造《大統曆》時，全部搬用了《授時曆》的參數和算法，只做了兩點改動（p.97）。 康熙八年頒佈新曆，可是當年十二月就出了錯，欽天監正只好自行檢舉，向朝廷領罪， 最後還是承認耶穌會教士的方法最準確而又簡捷；南懷仁便接替了湯若望的位置。 中國古曆再一次（決定性地）敗下陣來。
李光地是除了康熙本人以外，喜愛、支持算學的最高官了： 最高做到文淵閣大學士，就是宰相，而且久居其位。 康熙 19 年（1680）李光地述職（內閣學士）第一天就上一疏， 說臺灣鄭經已死，鄭克塽幼年繼位，可一舉平定臺灣；還具體推薦施琅領兵。
為什麼中國幾乎不存在高官而研讀曆算的菁英學者？作者解釋原因如下。
自隋唐行科舉制，經學與曆算的身價一升一降，判若雲泥。... 曆算被視為術數之學，學了也能做官，不過是技術官，不入九品，是流外官。 或者做專司雜務、供人驅策的吏而非官。 士人一入此途，幾乎等於萬劫不復，終生與朱紫無緣。(p.108ff)李光地有言「曆家取籌算之便，儒者求義理之通」， 像他那樣的經學學問大（官也大）而兼修曆算的人，可能都取如此的觀點吧。 而作者評論曰儒者有什麼「義理」？不過是拿傳統理論（比如陰陽五行論）及從日常瑣事得出的常識與天相比罷了。 其實，任何人都不免用自己已有的知識體系去衡量、鑑別未知的事物。 但是未知的新的東西常常是與人們熟知的知識不相容或完全相反的。 一定要用舊知識做框架過濾新的知識，不能通過者就拒不接受， 就是通常說的「守舊派」了。(p.111)說到「義理」，作者在 pp.150--152 舉了一個生動的例子。 前人注《三統曆》越注越玄，不如不注。 譬如某數 81，注曰：因為黃鐘律管長九寸，自乘得八十一。 但為何就要黃鐘自乘？應鐘或大呂就不能自乘嗎？ 另有某數 2392，它的解釋才精彩：從大衍出發，大衍之數是 50， 因為周易用五十根蓍草占卜吉凶，先保留一支「道據其一」， 也就是 49，然後兩兩之、三三之，四四之，也就是 49*2*3*4 得 1176。 然後加上閏月數 19（象閏）再補回剛才保留的一支蓍草，得 1176+19+1 即 1196， 然後再兩之，就得到 1196*2 等於 2392。這就是為什麼要取 2392 這個參數的原因。很自然讀者會想，為什麼要這麼搞？ 包管你想破頭也想不出來。上邊一段文字我是逐句作了解釋的，毫無用處。 文字懂了，曆理是半點也不明白。(p.152)原來，陳澧解釋說，只是因為由實測知，每個朔望月等於 29 又 43/81 日， 亦即 2392/81 日，分子 2392 就是「月法」，分母 81 是「日法」。 如果把一日分做 81 份，則集滿 2392 份就是一月，所以稱 81 是「日法」， 2392 為「月法」。另一位官居高位的疇人，也是李善蘭傳記裡的要角：江蘇巡撫徐有壬，死於太平天國。 他為許多算學朋友出版書籍，毀於太平天國的木刻版，除了李善蘭的著作以外， 還有戴洵（1805--1860）為朋友項名達（1789--1850）完成的遺著《象數原始》。 項名達導出了餘弦定理；從這個時間參考點來看， 誇張點兒說，中國數學慢了波斯一千年，而保守地說，慢了西歐三百年。 戴洵的數學，曾被艾約瑟翻譯成英文，在英國發表。 像這樣的一位人物，在太平天國攻陷杭州的時候，投井自殺身亡。 太平天國，可謂數學界的大敵。
從經學到曆學的遷移或連結，是清代疇人的特色。例如這位安徽學者江永（1681--1762） 是十三經注疏的學問家，續朱熹完成八十八卷的巨著《禮經綱目》， 使其得與桐城方苞、荊溪吳紱列在平等的論述地位。 戴震（1723--1777）是其及門弟子（也是安徽人），也是唯一習得全學的人： 推步、鐘律、音聲、文字。 如此的經學大師，在曆算上「力贊西學」(p.142)。 他從黃石齋的《答袁坤儀書》中第一次得知地是個圓球。 「弱冠後，見黃石齋《答袁坤儀書》，始知地圓。」 黃道周（1585－1646），號石齋，諡忠烈，乾隆時改諡忠端，人稱石齋先生， 閩南、台灣尊稱為「助順將軍」。 袁黃（1533－1606），字坤儀，號了凡，《了凡四訓》的作者。 作者說「中國學者不知有地圓說，西洋傳教士把西方地理學的最新成就地圓說介紹到中國來...」（p.145)， 但是《大戴禮記》卻也記載了曾子批駁天圓地方的話：他說方圓不合， 如此則天地之間就有縫隙，不能密合：「天地不相揜」（「揜」音演）。 所以，不知道黃石齋的「地圓說」是他自己創見的理論，還是從西方學來的看法？
戴震論述古經書之內的璇璣（北斗前四星）即是「黃極」，黃道之旋轉軸。 戴震的弟子，沒有人習得全學。曆算的傳人是孔廣森（1751--1786），孔子第七十代孫， 是他復刻重印了在民間失傳多年的《九章算術》；孔廣森自己著有《少廣正負術》。
《九章算術》在明清之交已經失傳，梅文鼎沒見過原本。 歷經宋元明的衰退，許多算學知識到了清初已經失傳。 例如，就連梅文鼎都曾認為賈憲的「開方作法本源圖」上的巴斯卡三角數， 每列代表一個數：11、121、1331。 乾隆 34 年（1769）四庫開館以後，戴震才從《永樂大典》中把《九章算術》輯錄出來。 但因此書久佚初顯，有很多扞格不通之處。 如今我們讀到的《九章算經》，多虧了李潢（1746--1812）作了詳細的校訂與闡釋。 他出版了《九章算術細草圖說》九卷，另附《海島算經》一卷，共十卷。 「細草」是以籌式圖表示運算過程，讓讀者較容易理解文字的解說； 但籌算根本上是動作，除非錄影，否則無法盡示其算法。 「雖名為『細草』，與筆算中的『草式』是根本不同的」（p.4）。 李潢的另一部書《緝古算經》是《九章》中「少廣」、「商功」兩章的反運算： 前者是從邊線求體積，而後者從體積反求邊長。 一些立方體之切割，如塹堵、陽馬、鱉臑，由李潢作了圖說。
另一位兼通曆算的經學典範人物是錢大昕（1728--1804），到他那時已經可以「兼通中西兩法」。 可是，在這種後期，他還是回頭研究古老的（漢代）《三統曆》， 作者評價錢氏是《三統曆》最大的功臣。 「歲星」是木星，正好每年一「次」（周天的十二分之一），可以對應十二辰（由子至亥）。可惜的是歲星在天右旋，十二辰在地，次序是左旋（先子後丑，由東向西）。 因此「假想」有一顆星，與歲星相應，就成了與歲星運行方向相反而對應十二辰的星。 用這顆假想的星紀年就避免了用歲星紀年造成的不便，而又具有歲星紀年的一切優點， 這顆假想的星就是「太歲」。因為歲星是實，太歲是虛，故又以歲星為陽，太歲為陰 （p.135）。
李善蘭和偉烈亞力合譯的後九卷《幾何原本》，從咸豐二年（1852）六月一日起， 每日（最多）一題，共耗時四年多。因為他們的用心考據，而且有李善蘭等級的數學才華， 使得偉烈亞力自負地說，西方若求此書的善本，應當求諸中國（p.215）。 李善蘭最推崇《測圓海鏡》，把它當作自己生平學問的「一貫」（p.212）。 到同文館之後，也把這套經驗傳授給學生：把《測圓海鏡》當作基礎教材， 要學生用西算代數法解書中算題。
如前面說過的，這本書結束於華蘅芳（1833--1902）。 然而那一章卻把徐壽（1818--1884）當成了配角。 可是徐先生對於清末科學和技術的進步，貢獻似乎更大些。 這兩位先生直接服務於曾國藩的麾下，但李善蘭被他外派了。 總之，這三人應該是等量齊觀的。 我查到此時已經有徐壽和華蘅芳的傳記問世了，
我在作者（p.158）以《周髀》舉例時，學到「正例」與「變例」兩個詞。 我們在數學教育裡說：素養導向的數學教學，包含核心的數學內容， 不必擴及紛雜的延伸與變化。 核心的部分，包括例題，可謂「正例」，其他的考題，可謂「變例」。 當然，數學概念的學習，「反例」的效用也是不可忽視的。
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