Pimm, David (1987). Speaking Mathematically — Communication in Mathematics Classrooms. London: Routledge.
如果不是 David Pimm 還活著，我都得以為他是我的前世了。這本書從 Mathematics is a Language 轉到 Mathematics as a Language，從各種語言學與「外語學習」的角度闡述這個理念在數學教育上的潛在威力，並試圖以課室觀察所得證據，說服讀者這個「看法」不僅是個理念，其實也是迫切的需求。而且，從這個「看法」可以獲得一系列的「方法」，簡單地說就是一個系統性的「譬喻」。
其實「數學是一種語言」是一個相當明顯的譬喻，沒有人提起它才是奇怪。我本來也沒幻想我是最早提出者，至少當我在通識課以它做為標題之後不久，就發現 91 年版的九年一貫數學領域課程綱要將它列為三大理念之首。但是課綱幾乎沒有闡述這個概念，留給我在《文化脈絡中的數學》第一講論述它的空間。但是在 Pimm 的書裡讀到那麼多與我相同的概念，仍然感到非常震驚；這應該就是「德不孤必有鄰」的意思。但我們還是有一些差異，譬如 Pimm 把「數學是一種語言」放置在數學哲學或 metamathematics 的地位，我並沒有這個企圖，真的就只認為它是具有極大潛能的數學教育思想源頭，從這個上位觀念，可以察覺、發想非常多有益學習或可以解釋困難的教材教法。
Daivd 可能出生於 1953 年 6 月或 7 月，只比我大九歲。但是他顯然比我早很多開始思考這個概念，在這本書出版的時候只有 34 歲；而那是創造力最強的年歲。 從網路查詢得知 Pimm 教授還活躍著，他也許不算是英國的數教一哥，但他在 1972 年就修了 David Tall 的課，算得上英國數教傳統中的第一代嫡系子弟了。他在英國、加拿大、美國似乎有一個以 Mathematics as a Language 為圭臬的群體，現在仍然工作中，而且他們把注意力放在課室內的數學溝通，把「語言」擴充為「溝通」，特別新增了「手勢」，尤其近年關注研究操作觸控螢幕的手勢。我可以想像，新的走勢比 1987 的初始主張更容易生產「實徵性」的研究論文。林福來老師不曾與他同學，但是曾擔任同一屆的 PME 國際委員。
我感覺雖然 Pimm 早我 20 年（10 歲）抵達這個點，他那時候的文獻積累已經非常豐厚，但是晚到的我卻在數學與數學教學實務上更為成熟。很想找機會拜訪他一次，聽聽他這 30 多年累積的心得。
Pimm 留學美國 Cornell 時，聽一場語言學演講，講者肯定地說 There is no metaphor in math，他當下感覺不對，就開始了這一個方向的探究。中外都一樣，跨領域的學者經常栽在數學，外行人太容易誤解數學了。
看來「數學是一種語言」在 1980 年代的英國還算常有人講，只是不太認真的譬喻而已。但仍引起學術討論，Pimm 指出至少一位反對者：David Wheeler (1983), Mathematics and Language, Proceedings of the Canadian Math Education Study Group，他認定那是一塊「不毛之地」(uninhabited)（頁 xiv，頁 206）。 還有 Felix Brouwer 聲稱「mathematics is a languageless activity f the human mind」（頁 197）。
對任何母語者而言，學習數學就像學習一種外語。Pimm 引用了歌德 (Goethe, Principalen und Maximen): (p.2)
Mathematicians are a sort of Frenchman. Whenever you say anything to them, they translate it into their own language and right away it is something completely different.而外語教學的內容與方法在 1980 年代已經有了長足的新看法（頁 202），數學是不是也可以借鏡？
頁 8 記錄一則英語會發生的失焦對話。
What is the difference between 24 and 9?頁 89ff 是另一個英語的特色：某師給學生編號，然後要他們按照奇、偶數分組。某生拒絕編入奇數組，因為他不想被說成「odd」。
One is even and the other is odd.
Pimm 多次指出數學「喜歡」用同一個符號表示另一個概念的特性。在專業溝通當中，這或許是美德，但是它為初學者製造了很大的障礙。例如他問 \(3-2\) 和 \(2-3\) 的「\(-\)」符號難道真的是同一個意義嗎？（頁 184）：我認為，用數線上的位移解釋之後，確實是同樣的意義。又例如「乘」，初學時「乘」總是變大，但是後來同樣的「乘」符號卻可能變小。
When the notion is extended, and the same words and symbols are applied metaphorically to the new situation (either to fractins or to negative numbers). (p.9)又例如 \(2.00\)、\(2\) 和 \({4\over2}\) 真的相等嗎？（頁 128） 他也指出所謂的「整數包含於有理數」，「實數包含於複數」的數系概念（頁 187），經常就用集合之間的包含關係來溝通，但其實它們不是子集概念。我在上個月也想到使用這組例子，我認為其實是 embedding，但 Pimm 沒用這個觀念進一步解釋。這裡 Pimm 把有理數包含於實數也視作不恰當之例了，但有理數包含於實數是正確的集合關係。
頁 12 舉一個小學教材裡的無聊情境例題；原來「為情境而情境」不是我國獨有，它還可能是時髦的舶來品呢！我在德國教材就沒發現過這種無聊情境。
"My mother had six irons. She was given another two. How many irons did she have altogether?" All that seemed to be important was the form of the question.
頁 44 說英國學校傳統上並不重視數學口語表達的評量。他指出至少丹麥和德國有口試的傳統。事實上，在西元 2000 年前後，英國有一段時間實施學校教學成效評量，那個考試包含數學的「聽寫」：用錄音播放數學問題。那種考試不再繼續了（也許太不符合英人國情，也許功成身退了），聽寫的考試可能也就沒再繼續。我也十分關切 — 小學、國中階段的 — 數學「聽說」評量。
頁 78 擔心將來 clockwise 會變成數學（物理）專有詞彙，當時鐘都數位化之後。
頁 79 引述 David Tall (1977) 一項發現：不少人把 some 排除了 all (some entails not all)。許多大一學生判斷 some rational numbers are real numbers 為「錯」，因為 all rational numbers are real numbers。
頁 83 提到英語可以將 \(4\times4=16\) 說成 four fours are sixteen。首先，第一個 four 當形容詞用，第二個變成名詞，即使母語兒童也不能自動理解。其次，這裡的「\(=\)」就是「\(\to\)」的概念，沒有一點兒「相等」的感覺。英語可以把「\(=\)」說成 are/is/makes（頁 187）華語可以說「是」或「得到」，但似乎學校沒有發展出「另一種」口語說法，此一「缺失」是阻礙低年級學習呢？還是使得我們的學童比較容易產生「相等」的感覺？
頁 89 從 The Life and Letters of Lewis Carroll 引述了一段故事：
Dr. Paget was conducting a school examination, and in the course of his questions he happened to ask a small child the meaning of average. He was utterly bewildered by the reply, "The things that hens lay on," until the child explained that he had read in a book that hens lay on an average so many eggs a year.這的確是 Carroll 會注意蒐集的 nonsense 例；我猜他不是因為關心教育而記下這個故事。
在英語的語境中，rectangle 可能是 square，diamond 也可能是 square。Pimm 指出英語本來就另有一個字限定非正的長方形 — oblong（本是形容詞，可會意當名詞用）— 看來英國師生都知道這個字，可是老師們認為此字「不正式」所以自發在教室中排除它。Rect 這個字根是「直、正」，所以 rectangle 就是直角形的概念。此概念當然包含正方形。但是華語的語感應該認為「長方形」排除了「正方形」，我們應該遵循母語的語感，也就是讓「長方形」對譯 oblong，而 rectangle 才對譯「矩形」。（p.91）
頁 98 指出 a function is a machine、an euqation is a balance 是很常見的 extra-mathematical metaphors。但是：It is essential for pupils ultimately to be aware that a function is not a machine, nor an equation a balance。
頁 100 指出一個有趣的「反向借用」：英語 analogy 借用希臘文 analogia，而後者其實是「成比例」的意思。在希臘 analogia 是數學詞彙，被英語借用成為普通詞彙。
頁 119 示範數學書寫（對孩童）需注意區分 two 和 2。沒錯，我一向注意此事。在教學書寫時，我總是在溝通脈絡中使用「二」或「兩」，只在數學脈絡中使用 2；類似地，在說明文字裡使用「一半」或「二分之一」，只在指稱數學符號時使用 \({1\over3}\)。
Pimm 多次提到數學書寫（數學「字」）不像英文依序從左到右。這一點，我已經做過中英比較的論述。基本上，「人造的」數學符號比自然語言的文字（很久以前的創造）更聰明：數學字是二維的，而不像拼音文字是一維的。例如 \({1\over3}\)、\(\sqrt{1-x^2}\)、\(\int_0^1 x^2\,dx\) 都不能依序從左讀到右，更別說混合不同優先序之算子的算式了，例如 \(\log(3\times2^{2^2})\)。因為中文本來就是二維的，我們可能比較容易自然接受數學字。但另一種「非線性數學字」即使中文也沒辦法了，例如 \(0\leq x\leq 1\) 不該從 \(0\) 開始說，而要從 \(x\) 開始說。
頁 128 說學校數學過度、過早使用「數學符號」，話說得好。簡單說，數學教材以及教師口語，要盡量「講人話」已取代符號。就好像教外語，教師可以寫外國字（數學字）但說普通話（人話）。
Algebra thrives by being vague about the scope of many exprfessions. ... There is one context of overwhelming importance in later mathematical work where the conciseness of expression aesthetic is defensible, and that is where the expressions whichn are being formulated are to be manipulated. The more concise the formulation, the easier it is to manipulate. However, this criterion often does not apply. The superiority of concise symbolic statements over natural language formulations is unequivocal only under such circumstances, and its defects are often crippling on other occations. It is not always advantageous to symbolize: for instance, when it is premature for the pupil or when the problem does nt warrant it. The much-vaunted power of mathematical symbolization is much less apparent than is claimed. Premature symbolizaiton is a common feature of mathematics in schools, and has as much to do with questions of status as with whose of need or advantage.而什麼時候適合讓符號出場而不會「早熟」呢？頁 148 接著說
If they are not to obtrude, it is important that the symbols employed already exist as a conceptual object for the user, which is to say that they can be recognized, formed and distinguished without effort and preferably without any conscious attention.
頁 141–147 舉例說明 Pimm 認為的四類數學符號：
頁 141 說 It is a minor historical irony that the so-called Arabic numerals are not widely employed in most Arabic-speaking countries. 我沒有在阿拉伯世界旅行過，不知道是不是這樣？但至少我在摩洛哥時完全沒察覺他們不用阿拉伯數字。對於這項訊息，存疑而備查。
頁 150 討論顏色，Pimm 觀察 Colour is selcom used in printed mathematical notation。我不但同意此現象，甚至要主動維持它。我察覺數學領域有特別多色盲同事：我估計色盲數學家的比例遠高於其他理工領域，原因很自然，其他科學與工程領域必須辨識顏色，數學不必。我很早留意到此事（我自己並非色盲），因此自從我早年擔任國小數學教科書審查委員時，非常堅持數學課本裡不可以有顏色干涉的例題和習題。國中、高中數學教科書似乎本來就不會涉及顏色。我希望國小數學還維持這項堅持。
頁 152 記錄了一種非常有趣的猶太數字寫法：gematria，仍用於希伯來文內。
... the twenty-two letters of the Hebrew alphabet have numerical equivalents. At the time when I was writing this section (July 1984) it was year 5744 in the Jewish calendar. Just as in the UK wher it is common to refer to the year by the last two digits alone, it is common to refer to the Jewish yeqar by the last three. 744, the last three digits of the then current year, is obtained as \(400+300+40+4\), and so its name pronounced tashmad. Now tashmad happens to be a Hebrew word meaning "destruction" and, as a result, many people are referring to the year as tashdam. Because order of the symbols is irrelevant in determining the overall value, tashmad and tashdam are (numerically) equivalent.
Pimm 在頁 161 舉例說 \(5\;+\;+\;7\;-\) 是不合文法（或語法）的數學句。但我恰好知道它可以合法：後運算。例如 \(5\;4\;3\;+\;-\) 的意思是 \(5-(4+3)\)。當二元運算（例如 \(+\)）之前只有一個數時，就自動重複它，例如 \(3\;-\) 得到 \(0\)。因此 \(5\;+\;+\;7\;-\) 是合法語句，可算得 \(13\)。
從頁 164 和相關內容看來，英國教師似乎很熟悉小學的數是 unsigned（無號數） — 無號並不代表正，有「負」才有「正」 — 而一旦引進負號，正、負就使得數成了「有向數」：directed numbers。 因數分解、質數並非只在正整數之中討論，而是只在無號整數討論； 可以講正因數、負因數，但那是在應用過程中出現的需求，就知識而言，只需要在無號整數之中學習因數、倍數、質數。
頁 164 顯示「化為最簡分數」英語說 reduced to lowest terms。
頁 164 之末開始討論代數的教學。
The meta-language of arithmetic is algebra. Many, but not all, of the transformations — the laws of arithmetic — are either taught explicitly to the pupils in the meta-language, or in the form of arithmetic specializations from whichn the pupils are expected to extrapolate the general form.
頁 174 引述 A. N. Whitehead (1925, Science in the Modern World, p.59)
Civilisation advances by extending the number of important operations we can perform without thinking about them.文明真的一定因此而進步嗎？假設戰爭時的武器操作變成了類似電玩的介面，敵軍只是螢幕上的符號（例如畫成小蜜蜂），軍人只要盡快擦掉那些符號就好了，是不是符合 can be performed without thinking about it？懷海德當年真的沒想到這種情形嗎？一戰已經結束，當年的毒氣攻擊應該相當駭人，而且釋放毒氣的操作可能相當輕易。
更可怕的是現在所謂的 AI：心智活動的自動化。我倒也不相信 Pimm 是一位先知，只是不幸一語成讖罷了。他當年所說被機器自動化的心智活動，應該意指符號代數系統 (computer algebra system)。
Our society has seen an increasing incursion of machines from the automation of the physical to that of the mental. Mechines can extend our reach and strength, but can also restrict and atrophy our current abilities, as well as distort our perceptions of what we ourselves do and why.
頁 183 反省了英語數詞的一個「矛盾」，我早就用來舉例了： 28 是 twenty-eight，38 是 thirty-eight，可 18 卻不是 onety-eight！ 其實造成困難的不是英國孩子學說他們的數詞，困難的是把數詞轉換成國際通用的（主流數學文化指定的）數碼：18、28。David 似乎沒有察覺這一點。
頁 186 抵達我跟玉芬前幾年抵達的點：負數乘以正整數可以沿用過去乘法的解釋：連加，但是 \((-2)\times(-3)\) 就不再可能了。此處，必須引進（相容的）新規則：新物件（負）的引進，必須為它量身定做新遊戲規則。我們採取的切入點是先了解 \((-1)\times n=-n\)，這是舊規則的沿用；以此為動機而規定 \((-1)\times(-1)=-(-1)\)，接下來就是（稍早已經懂得的）負負得正了。其實再早一點就遇到難點：正分數乘以正分數，已經不能用連加解釋。
頁 188 也是我在設計有理數除法時舉的例子：當 \(7\div4\) 的答案可以直接寫 \({7\over4}\) 時，會不會太便宜了？有些國中生持續將 \({1\over2}\) 和 \(\sqrt2\) 視為「有待計算」的算式， 而不能接受它就是「一個數」（或者理解為「數式」）。英國學生也一樣。所以說，不論哪種母語的學生，數學都是外語。而 Pimm 說維根斯坦講 in mathematics processes are always identified with results；這回他沒有指出文獻。
頁 194 提到個案觀察／訪談相對於大樣本／重複實驗的統計，有趣的是他的寫法是 agratian statistical models：農業的統計模型。特別強調「農業」或許反應出費雪等統計學家成功應用統計的領域：我記得以 Student 為筆名的那一位，是啤酒工廠的統計師。
Pimm 在頁 200 之前宣稱數學可以創造「有系統的譬喻」以支持教學；我完全相信，而且我和玉芬已經有成功經驗。這裡用了個有趣的例子說不是所有物件都可以創造有系統的譬喻，譬如我們有桌腳、桌面，但是很難想像桌耳、桌眼、桌胸。
最後紀錄另外一個有趣的概念：Thomas Carpenter 的 CGI：Cognitively Guided Instruction。他認為 symbolic fluency 先於「理解」，理解之後增強 symbolic fluency。這就是「知難行易」概念。他有一本書：Symbols and Meanings in School Math, Routledge, 2002。