勾股定理 The Pythagorean Theorem, a 4000-Year History， Eli Maor 著，馮速譯，人民郵電出版社， 2009, ISBN 978-7-115-21691-5
2012 年春假期間，我到北京探望外甥女 Claire，在清華校園裡散步時遇到了這本書。 Maor 在台灣應該算是著名的數學科普作者吧， 但我沒有這一部的（繁體）中譯本，看看這本簡體書的品質還不錯，價格也相當便宜， 就買了。 旅程結束之後我就開始讀它，斷斷續續讀了超過一年。 若不是從頭再翻閱當初打了折的地方，恐怕真的忘了許多細節； 而我讀這種書，要的不就是細節嗎？
Maor 的書並不能真的算做「科普」，而是「學生與教師的課外讀物」。 起碼我自己是用後者的態度讀它。 Maor 真的是一位功力深厚的作者，譯者也做了相當稱職的工作， 讓我讀得很愉快。但是，編輯的支援工作做得頗差，書裡經常出現一些可笑的錯誤。 幸好，應該沒有造成誤解的錯。
我在整本書總共打了 17 折，而最後一節簡直就像 Samos 島的旅遊指南， 我還特地上網找了旅遊與登山的路線呢。 讀到這裡，才知道除了畢達哥拉斯生於斯以外， 另外兩個著名的古代工程（隔山打隧道，三角之應用）與古代天文（最早的日心說） 故事，都發生在 Samos；小小一個島有三大遺跡可供憑弔，又有一座山可以登， 真是太完美的旅行目標了。
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- 還在「前言」裡，Maor 就露了一手，舉了個高超的簡單但不凡的例子。 我居然不知道這個簡單事實，真的很丟臉。還好，總算還是知道了：
過（固定的）圓內任一點 P 做弦 AB，則 PA x PB 是常數。（其實這是國中數學課本裡面的「內冪性質」，還有「外冪性質」呢。 所以我一定學過，但是徹底忘了。）
- Page 14ff
- 這段精彩的補充的第一句話就譯錯了，應該是「美索不達米雅以『西』800公里...」。 我們都知道埃及的箂茵草紙書，這裡 Maor 為它做了個簡述。
該書於 1858 年被發現，蒐集 84 道涉及算術、幾何、初等代數等領域的問題， 每一題都附詳解，有些還配了插圖。 紙卷長 5.5 公尺，寬近 4 公尺，現存於倫敦的大英博物館， 是現有最完整而且最古老的數學教科書。 它是一名叫做阿摩塞 (拉丁文寫成 A'h-mose) 的抄寫員在大約 1650BC 寫下的， 而他抄寫的文本則是作於 1800BC。 抄寫員為政府（皇家）工作，他們要學會讀、寫、算， 幾乎就是現在的 Literacy and Numeracy。
- Page 36
- 柏拉圖自己雖然不是數學家，但是他對數學有著重要的貢獻： 他認識到掌握邏輯思想的重要性，以及這種思想態度（數學素養？） 最終對建立良性健全之民主社會的重要性。
- Page 47
- 寫在《Elements》卷 1 命題 47 的畢氏定理，因為堅持純幾何的證明路線， 其證明比較繁瑣。雖然這個定理冠以畢達哥拉斯的名銜， 但以他當時的數學技術，應該是無法證明的；目前也沒有關於他曾證明的證據。 《Elements》卷 1 的證明，據說出自歐多克斯 (Eudoxus, 408BC--355BC) 之手。 而當歐幾里得發展了較多的代數技術之後，他在卷 6 命題 31 重新證明了畢氏定理。
如果 △ABC 之角 C 為直角，其三邊長分別為 a, b, c。 從角 C 向斜邊做垂線段 CD，則 △ABC 相似於 △ACD 相似於 △CBD， 因此，令 DB=x，則有 b:c = (c-x):b、a:c = x:a，將兩式交叉相乘之後相加， 即得 a2 + b2 = c2。Maor 說，這是整本《Elements》裡面，唯一出自歐幾里得之手的原創證明。 事實上，卷 6 命題 31 說得比畢氏定理更多。 畢氏定理相當於是沿著直角三角形的三個邊各做一個正方形， 而有兩個小面積和等於大面積的性質。 卷 6 命題 31 將它發展成任意三個沿著直角三角形之三邊做成的「相似圖形」， 都有同樣的性質（兩個小面積和等於大面積）。多年前，我在一場演講裡聽到成功大學數學系某教授誇言他發現了這個定理， 並且用積分技術證明它，講得眉飛色舞。當我指出歐幾里得「似乎」已經證明過了之後， 他瞪大了眼睛重複地說，那是他的原創。 我想，很少有人真的讀過《Elements》，更少人讀到了第六卷。
- Pages 75--7
- 這附近關於印度《繩經》的拉丁文全部寫錯了。 我們知道各種佛教、印度教經典常稱為 Sutra，所以看到書裡印著 Sulba-Sturas 就懷疑它寫錯了。果然，它應該是 Shulba 或者 Sulba 的 Sutra 複數。 其中 Shulba 是繩或弦的意思，意指用來測量長度的尺。 印度最早的數學工作都附在宗教活動之內，其著作統稱為 Shulba-Sutras， 是為了研究祭壇的面積問題而發展的，大約成就於 600BC。
Maor 在 page 76 示範了一個「做正方形使其面積等於給定的長方形」命題， 在 page 77 又示範了「做正方形使其面積等於給定的兩個正方形」命題， 還真的蠻妙的，而且這就是畢氏定理：給定兩正方形 ABCD 與 EFGH，其中 AB >= EF。 複製 EF 長到 AB 邊上的 AP 線段，則以 DP 為邊所做的正方形即為所求。 可不是嗎？另 AB=a，EF=b，則 △ADP 不就是邊長為 a, b, c 的直角三角形， 而印度人的命題恰恰就是 c2 = a2 + b2。
- Page 102
- 這裡聊到了傳奇而偉大的英國建築師，雷恩爵士 (Christopher Wren, 1632--1723)。 他在 1666 年倫敦大火災之後，規劃了重建的藍圖；建成了宏偉的聖保羅大教堂， 並且還是牛津大學的薩維爾教授，專長為天文學與數學。 他首度算出擺線 (cycloid) 之一段弧長為 8a，其中 a 為製造擺線之滾圓半徑， 或者說擺線長為其高之四倍。
另外，雷恩也發現，將雙曲線 x2 - y2 = 1 繞 y 軸 旋轉而成的雙曲面（上下截斷），可以這樣做出來：水平放置兩個同樣直徑的圓， 從上圓按某種規則拉直線段到下圓，就能「編織」出雙曲面。
- Page 110
- 說畢氏定理怎麼能漏掉那位瘋狂而勤奮的盧米斯先生呢 (Elisha Loomis, 1852--1940)； 譯文在這裡又弄錯了，誤植為 1825--1940，這位先生雖然神奇，卻還不至於活了 115 歲。 盧米斯在他的《The Pythagorean Proposition》裡， 蒐集整理了「很多」畢氏定理的證明； 究竟有幾個？那似乎得看你怎麼數。從 250 個到 371 個都有人說。
- Page 124ff
- 似乎有點循環論證的危險，這裡指出了一個微分方式的證明。 在半徑為 a 的圓上一點 P(x,y) 滿足 x dx + y dy = 0， 而其一般解為 x2 - y2 = C， 但是代入 x=a、y=0 則得到 C= a2。若做點 P 到 x 軸和 y 軸的垂線段， 則是一個直角三角形，於是得到畢氏定理。
- Page 140
- 小畢氏定理：用 page 47 的符號，令垂線段長為 d，則 1/d2 = 1/a2 + 1/b2。 特例：若單位圓的一條（斜）切線的 x 截距和 y 截距分別為 a 和 b， 則 1/a2 + 1/b2 = 1。
- Page 141
- 將畢氏定理推廣到非直角三角形時， c2 就會等於 a2 + b2 再加或減一個修正項， 這就是我們所知的餘弦定律。 歐幾里得也已經知道它，但是因為當時並沒有餘弦，更沒有廣義角， 所以他必須用卷 2 的 12 和 13 兩個命題，分別說鈍角和銳角的兩種狀況。 而那個修正項 a.b.cos C，在《Elements》裡面的說法是「相鄰兩邊的任一邊 與另一邊在這條邊的垂直投影之積的兩倍」；像不像繞口令？
- Page 142ff
- 巧妙好玩ㄦ的事ㄦ還真多。在歐幾里得的畢式定理標準圖示上， 將相鄰兩個正方形最靠近的外側頂點連起來，會產生三個新的線段 x, y, z， 還會產生三個新的三角形。運用正弦的補角定律以及正弦面積公式， 可以看到新的三個三角形面積，都與原來的直角三角形面積相等，而且
x2 + y2 + z2 = 3(a2 + b2 + c2)
- Page 145
- 根據阿拉伯天文學家比魯尼 (Abu Rayhan al-Biruni, 973-1048, 拉丁名為 Alberonius) 的記載，海龍公式其實是阿基米德發現的。 令 s 是公式裡的常數（三角形周長的一半），A 是三角形面積， 則三角形的內切圓半徑是 A/s，外接圓半徑是 abc/(4A)。 這些公式僅須知道三角形的三邊長即可，不須角度。
- Page 149
- 畢氏定理的三維推廣。 直四面體是有三個面為直角三角形，且那三個直角的稜聚在同一個頂點上的四面體。 該特殊頂點相對的面稱為「前面」。則前面的面積平方，等於其他三個面的面積平方和。
- Page 153
- 空間餘弦性質的推廣。 我在《數學Ⅳ》寫了「空間中一片平行四邊形的面積平方， 等於它在 xy, xz, yz 坐標平面上的投影面積平方和」。 而這個性質對所有空間中的平面圖形皆成立，不限於平行四邊形。
- Page 169
- 普呂克 (Julius Plücker, 1801--68) 的線坐標與線設計。 Maor 列了六幅圖當作範例，並留下一冊參考書 Dale Seymour 《Line designs: Designs and drawings, Geometric Figures》 1994, ISBN-10: 1564510816。用「Line Design」關鍵字搜尋，也有一些不錯的結果， 雖然為數並不算多。
- Page 191
- 這一段話不容易翻譯，原文應該更精采：
幾何空間的維度對應於音樂的節拍，它們都定義組織主題本體的一種結構。 在大致 1800 年之前的古典音樂中，樂章通常有固定的節拍，4/4, 3/4, 6/8, 偶爾出現 5/4。這樣的節拍刻畫了一部作品的主旋律等諸多特性。 例如貝多芬小提琴協奏曲開篇的的五聲定音鼓，開始時只能勉強聽見， 但隨著音樂的開展，不斷重複，且貫穿於整個第一樂章。 但是到了十九世紀中葉，也就是黎曼進行其開創性工作的時候（指任意維度的彎曲空間）， 作曲家開始在一個樂章中運用頻繁變化的節拍。 在史特拉文斯基 (Stravinsky, 1882-1971, 俄裔美籍) 的芭蕾舞《春之祭》配樂中， 節拍按小節反覆變化，有時從主節拍的 6/8 到 7/8， 然後再到 3/4, 6/8, 2/3, 6/8, 3/4, 最後是 9/8。 當這首樂曲 1913 年首次在巴黎公演時，聽眾們表示強烈的不滿。 第一次聽到這樣不和諧的陌生聲音，這樣的表現不足為奇。 以往平坦空間的舒適世界和固定節奏，也許一去不復返了。
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