謝明初、陳慕丹（2019）。作為文化體系的數學。（譯自 R. L. Wilder, Mathematics as a Cultural System. Amsterdam: Elsevier. 1981）上海市：華東師範大學出版社。
這本書太了不起了，短短的內容把我的視野從「作為文化成分的數學」一下子拉到「作為文化體系的數學」。 這本書應該是在 1979 年寫下的，當時作者 Raymond Louis Wilder (1896-1982) 已經足 82 歲，我們讀到一位耆老有點氣虛的聲音，試圖整體重述一遍他的思想。 全書內容只有 123 頁，附 105 筆參考文獻──其中 14 篇是 Wilder 自己 1932-79 年間的著作。 但文章精簡應該不是因為老人體力不濟，而是數學家的寫作風範（這也算是數學次文化的表現吧），彷彿小時候讀 Rudin 的高微和實複變分析教科書的那種感覺： 每一句話都有結結實實的概念，簡白的解釋全部省去，前後緊密連結但並不重複。
我在 d'Ambrosio 講 Ethnomathematics (1985) 的論文裡讀到提起 Wilder 的一句話， 就馬上想要找來讀， 可是全臺灣的共同書目查不到這本書的原文版，只在臺灣大學找到一冊簡體中文翻譯。 感謝徐式寬教授幫我借出。 我相信讀中文確實比較省力，而且兩位譯者的文字還算可讀； 雖然我猜想有些誤譯之處，但是影響不大。 例如「數學有著內在的統一性，這一性質受益於數學的每一領域」(p.123) 我猜想原意應該是「數學有著內在的統一性，數學的每一領域都受益於這一性質」。
我特別感動以及感謝的，是這位數學前輩花費了許多精力去了解文化、人類、社會、哲學等等領域， 在他的數學腦袋裡融會貫通之後，用富於數學思維的敘述， 並舉出多樣且深刻的數學實例，留下精實的文字給我們後人。 這樣的內容絕不是數學圈外人寫得出來的，可能也不是圈外人讀得下去的。 讀者至少要有完整的大學部數學訓練，才能欣賞他的簡約而深刻的論述； 而我說的大學部，是指 20 世紀臺灣的數學系標準，如今因為課程典範的轉移， 我猜測許多數學系畢業生已經不具備足夠的基礎。 這個現象正是 Wilder 闡述的文化發展的正常現象之一，不必責怪或惋惜。 對 21 世紀的讀者，將會出現另一位作者，替 Wilder 重說一遍，也許比 Wilder 再前進一步。
作者兩度以中國為例，說明宿主文化對數學次文化的影響，並且對中國寄予厚望。 在他寫作的那一年初，鄧小平訪問美國，在電視上造成「萬人空巷」的效果， 中國才剛剛即將開始改革開放；真沒想到 82 高齡的 Wilder 就大膽做出預測了。 看來，這真的是「人文」的力量；能讓 Wilder 敢於預測的力量， 應該不是數學，而是他對文化的理解。 不是有這樣一句話嗎：一個人能朝過去看得夠遠，才看得到未來。
The farther back you can look, the farther forward you are likely to see.
―― Winston Churchill
中國隔了 38 年，超過一代人的時間，才翻譯他的這本書，是不是太久了？ 還是──從文化發展的時間尺度來看──差不多？以下並非原文，是我的摘要。
文化應該是人類創造的，每個個體（大腦）是一個節點，這些節點組成的網路承載著文化； 可是文化一旦形成，卻又看似有了生命，不再是個別節點所能控制的， 反而由文化支配著它的載體。 把這個概念裡的「文化」改成「次文化」，例如數學文化，也可以。 反過來說，一個領域要能滿足前述那一番話，才有資格稱為次文化，否則它只是文化中的成分。 好比數學在各地古文明都只是文化成分； 在古希臘或許可謂次文化，但史料不足以認真辯證。 大約 17 世紀之後，數學在歐洲成為次文化。 次文化會從它的原生文化滲透（原文似乎是 diffuse，我覺得說「擴散」較好）到其他地區，找到新的宿主文化（例如美國，例如中國）， 而宿主文化必須為次文化的興衰負責；意思是說，產生次文化的原生文化不能理所當然地保持次文化的持續發展。 當宿主文化不利的時候，次文化或許會自尋更肥沃的宿主，但也可能會冬眠，進入所謂的「黑暗時期」。 次文化受宿主文化的影響，可分析出若干因素，其中以環境張力最強； 而在次文化內部，遺傳張力則是最關鍵的發展因素。 數學次文化的演化評估規準，就是抽象的程度。
以下兩段關於「應用數學」和「數學課程」的闡述非常精彩， 作者說的是大學數學系的課程，但也可以轉化到學校裡的數學課程。(p.118ff)
在環境張力與遺傳張力的對立中，不斷存在從核心數學到環境的滲透。 近代產生的博奕論、計算機理論、運籌學、線性規劃、系統分析、訊息理論、最佳化等等， 都正在驗證這一點。 這導致了「應用數學」術語的意義的轉變。 在二次世界大戰前，應用數學主要由經典分析及其在力學和物理學中的應用 （一般說自然科學和工程的應用）組成 〔丹注：新加坡預科階段的應用數學課程還保有這樣的精神〕， 而這類應用一般都被那些應用這些數學的專業吸收進去了， 而在一些情況下，「應用數學」卻又加入到原有的核心數學中去。 由上面列舉的某些學科組成的新的「應用數學」， 與原來相比具有完全不同的意義。 它除了經典分析之外，還包括現代代數。 今天，數學家在各種領域工作， 如航空工業、經紀公司、銀行等。 有人猜測，某些數學家從來沒有解過一個微分方程， 但是他們擅長應用有限數學，尤其是運用數學方法解決社會和商業的問題。在這樣的情形下，受環境張力作用的數學系必然需要對課程進行調整或改編， 以便將這些新的應用反映到課程中來 〔在某種程度上，這一番話也適用於中小學的數學課程； 高中階段顯然最受影響，但是在十二年一貫的課程理念下，小學階段也不能置身事外〕。 而許多數學家，尤其是那些缺乏歷史眼光的數學家， 會認為自己面臨一個嶄新的局面，並且為怎樣去應付而感到疑惑 〔同樣適用於為中小學制訂課綱的工作團隊〕。 所有這些都不足為奇，都不是什麼新鮮事，在 20 世紀初出現的「應用數學」與核心數學的分離也只是在類似情形下做出的反應。 雖然可以通過課程以及人員調整來處理「危機」， 但為了回答「分」或「不分」的問題還是需要仔細研究 〔在課程設計中，就是強弱、增刪、脈絡調整等問題，需要仔細研究〕。 數學最強大的力量是通過不斷地抽象來實現的， 若試圖中斷這一過程，將導致應用科學賴以生存的核心數學停滯（或毀滅） 〔數學課程不能無上限地放棄抽象〕。 隨著新概念的不斷累積，必然需要向數學「用戶」做出解釋， 並作相應的課程調整。 個別院系如何行事將極大依賴於其對數學演變的認知程度 （包括數學是如何演變的、已經演變到什麼程度，以及演變過程中什麼力量正在日益增加等），尤其是熟知 20 世紀初期類似的發展將有助於做出決定 〔這就是為何需要參考數學史、課程史的研究結果；我認為 HPM 較高的價值在於課程設計層次的著力，而不在於插入數學小故事給學生，更不宜為了數學史而增加數學課程的認知負荷〕。
這句話真夠挖苦：「不要太擔心自己是第一個得到結果的人。」原因是
這不僅會在精神上對你造成傷害， 而且必須意識到的是，數學史上大多數的「第一次」其實都不是第一次。 (p.122)其實引述這句話似乎是要稱讚自己，因為我也獨立產出這樣的見解。Wilder 用了頗多篇幅從文化發展的角度解釋「一題多解」的神秘情形， 我也在《文化脈絡中的數學》寫了相同的解釋。 誠如 Wilder 接著說的，也是我用來安慰自己的話：
即使知道自己並不是「第一人」，但發現前面有重要人物做過同樣的事， 表明自己有能力進行重要的工作，這樣已經夠好了。我在通識課常常講：「絕大多數的創新都是因為無知。」 意思是它根本就不是創新，只是你不知道而已； 別再動不動就用「史上XX」之類的修辭了。
在這本書裡，我還發現兩項「後見之明」的喜悅，如下。
第一，在 P30 L5
(Russell, 1937: 405-407) Elements 第一個命題的證明就不充分。 隨著數學的進展，這類隱藏的假設被揭示出來。我在《文化脈絡中的數學》(p.177) 也指出這一點，現在總算看到一份明確的文獻， 而且居然是羅素寫的！
第二，在 P43 L11-15。 Derek J. de Solla Price (1922-83) Science since Babylon (1961)
認為托勒密把巴比倫數值天文學 〔數值三角比〕 和希臘幾何天文學結合起來，構成現代科學的開端， 與其他文化──例如中國文化──相比，這是西方科學能夠取得如此巨大成就的原因。我也在去年暑假達到這個觀點，首度發表於 2022 年 10 月 15 日臺中一中。
讀這本書就像我小時候讀 Rudin 教科書的心得：不能畫重點； 假如你要畫重點，就差不多會把整本書畫起來。 因此我掃描了整本書，把一些特別悸動的頁碼記在下面。 但還是很想要分享，挑幾句特別特別感動的話吧。
P21 L10
(Childe, 1946: 102) 巴比倫的算術和幾何簡直就是應社會發展的需要而產生的產品。P39 L12
幾何在巴比倫並沒有形成一門獨立的學科，更多的是附屬於算術。我認為《九章》也是這樣。
P33 L7-10
(Wigner, 1960) 數學在自然科學中不合理的有效性 (The unreasonable effectiveness of mathematics in the physical sciences)： 數學在自然科學的巨大用途，有時似乎有點神秘……，對此找不到合理的解釋。 例如複數在量子力學中的例子，就好像「我們不可避免地遇到奇蹟」。常看到類似引言，但這次看到確切文獻。 Eugene Paul (E.P.) Wigner 尤金．維格納 (1902-95) 1963 年物理諾貝爾獎。
P35 L11
文化滲透過程中留下的印記。不妨譯作「痕跡」吧，這樣的痕跡就是「人文」。
P37 L-9
希臘數字系統在希臘數學發展中並不起本質作用此頁也提及「量」的觀念，我認為「量」引出實數。
P38 L5 原來 Babbage 是把 Leibniz 符號系統引進英國的人。 此舉總算終結了英國人沿用的牛頓符號。
P38 L-7 英國人 William Jones 比 Euler 更早使用 pi 表示圓周率， 但是就文化脈絡而言，卻是從 Euler 開始。Wilder 說，更詳細考察，Jones 用 pi 表示的是梅欽 (John Machin) 算得的一百位小數圓周率估計值。
P53 L2
應該提醒那些反對把計算機引入數學中的人：即使是「純」歐氏幾何，也允許使用直尺和圓規啊。哈哈，對呀！而且，這句話出版於 1981 年！
P53 L-9 以下，幾何尤其是歐氏幾何在數學教育中的意義。
P54 L1-5：「一門學科的意義可能源於其他領域。」其實 Wilder 在此可能忽略了他自己的主題：文化。 所謂「意義」一向是以文化為背景才能討論的，所以一門學科（例如數學）的意義當然也不是數學自己可以決定的。
二戰前，美國的教育專家基於「能力遷移」理論而削弱了數學教育的內容 〔傳到中國、臺灣是為「隨機教算」〕， 反而是戰爭「救了」數學課程，重新鞏固了數學在中學課程中的地位， 一直延續至今（1979）。這裡也凸顯研究課程史的重要性； 閱讀課程史之後，才知道三十年以來我所見所聞的各種教學「創新」全是重複 20 世紀上半葉美國某人曾經提出的主張，在美國某地曾經流行過；真的就是這麼誇張。
P55 萊布尼茲符號。
P57 L-11
幾種不同的數學文化同時存在的時代已經過去。另一個概念闡述得更好：「天下各有文化，但文明只有一個。」
P77, L-7: ... the times when there were different mathematical cultures ... has passed away. [P78, L3: a world-wide unity]
P88 射影幾何史。
P91 L1：「積極參與社會的人，仍然可能在他的個人智力生活中是一個『不合群的人』。」
P101 L-1 到次頁，預期中國將孕育數學次文化。
P103
戰爭開闢出數學的新領域。事實上，自從搞定了行星運行軌道之後，從十八世紀的法國、德國開始，數學的進展似乎就有一大部分來自戰爭或備戰的需求。
P109 L5
...這是對數學思維的巨大貢獻，但是為所有數學尋找基礎注定是要失敗的。 這不是因為 Godel 的不完備定理， 而是因為並不存在一種結構能夠容得下直覺中所有可能的概念。
P109 L11：「隨著數學的發展，隱藏的假設不斷被發現並得到明確的表述。」 作者接著舉了幾個比較高深的例子，卻忘了一個最古老的淺例：Elements 第一命題。
P109 L-3：「宿主文化（包括數學文化本身）要對數學創新負責。」
P114 Oswald Veblen 在 Princeton 保留群論課程的故事， 而物理學中群論觀點的兩位先驅 Hermann Weyl 和 Eugene Wigner 正是 Princeton 的教授。（前面引過 Wigner 對數學「奇蹟」的讚嘆，他的經驗可能來自群論。）
P116 L-3：「數學在其他科學領域的應用一般可以分為兩類： (1) 作為一種工具；(2) 作為概念結構的來源。」
P117 L11：「出於數學目的而創造的數學最容易推動數學進一步的發展， 任何人都不該忘記：它導致了一個新的概念結構的出現， 這個新的概念結構成了科學思維上一個新的里程碑。」後面舉幾個例子。