The Calculus Gallery -- Masterpieces from Newton to Lebesgue William Dunham, Princeton Univ Press, 2005, 我讀的是 2008 首版平裝書。 ISBN 978-0-691-13626-4.
這本書的內容全部精確地寫在它的標題上了。 我本來打算稍晚讀它，只是拿起來翻閱一下 Weierstrass 那一章， 想要查閱關於數學分析嚴格化的歷程，特別是 epsilon-delta 的極限定義。 但是一讀下來居然就愛不釋手，先從 Weierstrass 往前讀到 Cauchy， 再掉頭往後讀到 Lebesgue，既然已經這樣讀了三分之二， 乾脆還是從頭讀完 Newton 到 Euler 的微積分頭一百年歷史吧。 真像是讀「演義」的感覺，很興奮。
這本書的有效頁數只有短短的 221 頁，很可以隨時翻閱而找到資料； 在其「雖然很薄卻資訊豐富」的意義之下，它也是一本難得可以逐頁閱讀的 Reference Book。
對於牛頓，我的看法跟作者一樣，從他對 binomial expansion 的推廣開始講起。 從那一項技術，他發展了定積分算法。 然後看他如何先找到 arcsin 的冪級數展開，而且如何「不知不覺地」使用了弧度量， 然後再從 arcsin 化為 sin 的冪級數。 這些成就，全部寫在他的 1669 年 de analysi 手稿中。
相對於牛頓，萊布尼茲的確像個半途出家的渾小子。不過，他的確是天才。 他說他很驚訝的發現自己可以像讀言情小說那般地讀數學文獻； 我驚訝的是，那時候已經有言情小說了嗎？ 因為他早年曾經重新發明幾次輪子，導致風評不佳，讓人懷疑他的可信度。 而他與牛頓一樣終身未婚，十七世紀的兩大聖哲都沒有留下子嗣。 牛頓與萊布尼茲之爭，在他們的生時，可以說牛頓大獲全勝， 就連一位德意志貴族到英國去就任時，都為了表示尊重牛頓而不敢帶上萊布尼茲。 萊布尼茲的名聲，在十八世紀可以說是一片狼藉，還好，歷史不但沒有遺忘他， 反而在十九世紀還給他清白，也賦予他應有的榮耀。 1962 年，在德國的漢諾威，總算組織了一個委員會 Leibniz-Archiv， 打算整理出版萊布尼茲全集，看來到現在還沒完工。
雖然害得萊布尼茲被牛頓追打一輩子的那篇論文，屬於微分， 可是 Dunham 選擇寫牛頓的微分工作，卻寫萊布尼茲的積分工作。 而後者的積分，稱為 Transmutation 定理，其實是今天的分部積分。 而這本書所寫的歷史，其實等於為微積分課程開闢了一條新的進路： 原來分部積分有這種「新」看法，使得分部積分可以提早教。 另外，有點兒諷刺的是，Dunham 寫牛頓的流數術時，用的全是萊布尼茲符號。
如今常見的調和級數發散證明，是十四世紀的作品：Nicole Oresme (1323-1382)， Pietro Mengoli 在 1650 做出另一種證明。萊布尼茲這兩者皆不知， 而他自己發現了如何證明，還寫信到英國去宣告，被打了槍。 像這樣的紀錄，害得他在學術圈內的信用下降。
p.66ff 看 Euler 如何推廣階乘到實數，而獲得 [1/2]! = sqrt(pi/4)，或者 [-1/2]!=sqrt(pi)。 但是 Euler 的原始想法並非 Gamma function，那是後來 Legendre 的轉換。
在大一學生的認知水平之下，所謂黎曼和、微積分基本定理，其實全是柯西的。 他在 1823 年發表這些定理，p.88ff。 不知道為什麼微積分課本要這麼抬舉黎曼？ 提出「極限」作為微積分的共同基礎理論的人，也是柯西； 而且他的極限定義就是我們現在口頭上講給學生的那種（越來越靠近...）。 在柯西的極限概念中，誕生了實數的完備性概念。 如今，數學課程通常用公設的形式接受實數完備性。
Dunham 說「數學分析」可謂「不等式之科學」（science of inequalities），我倒是沒聽說過。 想想 epsilon-delta 的極限定義，確實是不等式的玩轉。 一份具體的例子，表現在 Liouville 處理超越數的一個引理（p.122）： 無理代數數跟有理數的距離是「油水分離」的。 當 a 是 0、1 以外的代數數、b 是無理代數數，則 a^b 是超越數。 所以，例如 2^sqrt(2) 是超越數。高中老師常舉這個數為例，不可小覷這個數啊。 log2 和 sin(1) 都是超越數。可是，一些很「簡單」的數，例如 pi+e, pi*e, pi^e， 乃至於 pi^pi 和 e^e，都還沒能證明它們是超越數；雖然大家都相信它們是。
Weierstrass 推導「連續而無處可微」函數時，需要一個引理（p.141）。 他當時用三角關係推論出來，但 Dunham 給了一個基礎的證明（微分均值定理）。 這個引理蠻有趣的，可以當作習題。
數學界似乎特別憐愛早逝的黎曼，但我認為把積分理論歸給他實在是過譽了。 對於大一水平的學生，講他的「條件收斂級數可重排而收斂到任意數」定理就足夠讓學生崇拜了。 對於再大一點的學生，當然就要講黎曼猜想。 總之，黎曼和可以不必講啦，改成柯西和就好了。 從柯西（也許該從 Lagrange 說起）追求微積分的基礎開始， 整個發展過程好像一部「函數」演義，越來越抽象的函數（武藝越來越高強），相繼登場。 就微分而言，Weierstrass 的函數是極端的病態，就積分而言，Dirichlet 函數最高級， 黎曼企圖以他的「黎曼和」定義來拯救積分，雖然有部分的成功，但是 Dirichlet 不為所動。
集合論，是從這一條拯救微積分大作戰的「函數演義」脈絡裡誕生的。 所以 Dunham 把 Cantor 和 Volterra、Baire 放進了這本書。 學生們都知道的「實數不可數」之「對角線」證法，是 Cantor 的第二招（a much simpler demonstration），其原始定理與證明發表於 1874，對角線證法 1891。 數學家也像藝術家，會以更精湛的技巧回到同一幅畫面或同一段旋律。
挖開了「嚴謹性」那一條礦脈之後，微積分被發現越來越多遠離直覺的事實。 也難怪，一旦百年之後一一解決了這些迷團，微積分就從最被詬病為荒謬最唬爛的數學， 蛻變為最嚴謹最紮實的數學。 21 歲的 Volterra 以一個病態的函數，證明了即使每一點皆可微，且導數皆有界的函數， 仍可能是（黎曼）不可積的；亦即不滿足微積分基本定理。 然而函數的病態也是有限度的，例如 Baire 證明了：如果一個函數可微， 則其導函數必在一個稠密集合上連續。 然後 Baire 把函數的「病態」分級。Dirichlet 函數還不算太壞，只列在第二級而已： Baire 用它來當作 Class 2 非空的例證。 Baire 用連續函數的極限獲得 Dirichlet 函數（p.197），以前沒看過，很有意思。
最後的聖杯當然是屬於 Lebesgue 的。 經歷了一百年，四、五代的數學家發現，關於積分的問題不在於積分的定義， 也不在極限的定義，真正的問題在於函數（也就是積分的輸入物）， 而函數的問題在於集合論（也就是輸入物原料本質）。 所謂朽木不可雕也，最後確定的關鍵問題是被積分函數的本質，也不無道理。 Lebesgue 證明黎曼可積的等價條件是其不連續點的測度為 0， 也就是黎曼積分僅能處理幾乎連續的函數。 而這項洞見在他 27 歲的時候寫進了博士論文裡（p.206）。 難怪 Fields 獎認定數學家如果能夠成材，就能在四十歲之前成材； 其他的數學「家」最好早早做廢棄物回收再利用。
這本書的 Ref 並不多。我從中找到一本重要的大部頭參考書，中大數學系圖書館有藏。 找到一篇非常合用的「函數史」論文，一下子就從網路下載了。 真是幸運，新年的好兆頭。
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