馮立昇（1995）。中國古代測量學史。呼和浩特：內蒙古大學出版社。
2024 年 4 月 13 日下午，我抵達內蒙古師範大學拜訪代欽教授，他特地把科學技術史研究院馮立昇院長從北京清華大學請來，暢談中，代教授從書架後層抽出這一冊 1995 年印刷的珍藏本，就連馮教授作者本人都感到驚奇，他簽字贈了這本書給我。傍晚由代教授設宴款待，席間發現我們三人以及當日恰好也從北京來出席口試的考古學教授，全是 62 年次的，當年恰逢 62 歲；而我居然最年長，接著是馮院長，代欽最年輕。我有點小感慨：馮老師和代老師的學業都在動盪的社會中起步稍晚，我在 1990 年完成博士論文答辯，他們當時正奮起直追，如今我們聚在這裡，一見如故彷彿前世的兄弟，他們深耕三十年在數學與科技史上成就崇高，而換過兩次領域的我，誠心地仰望與欣賞，並向他們學習。
這本書於 1992 年 8 月寫成，李迪老師的序落款於次年 9 月，但出版年份是 1995，可見當年這類學術著作的出版並不容易啊。
殷墟的建築遺跡表明，殷人不但能較準確地測定方向，而且已懂得用水來測定水平。
弧田是弓形的田，《九章》給的面積計算公式為 \[S={ah+h^2\over2}\] 其中 \(a\) 為弦，\(h\) 為矢。當 \(h\) 達到最大可能的 \(\displaystyle {a\over2}\) 時，九章弧田公式得 \(\displaystyle S={3\over8}a^2\)，而真值是半圓面積 \(\displaystyle S={\pi\over8}a^2\)，可見此公式取圓周率為 \(3\)。這次讀到九章弧田公式，我興起念頭測試它的數值準確程度。我想測試：假如取圓周率為 \(3\)，當 \(a\) 和 \(h\) 的相對關係在「合理範圍」時，弧田公式跟真值的誤差是不是很小？ 我試算的結果是：
當 \(\displaystyle{1\over5} \leq {h\over a}\leq{1\over2}\)，九章弧田公式的相對誤差皆小於 \(1.7\%\)。我做了一張 Excel 表格，有系統地試算種種情況的誤差，發現九章弧田公式畢竟是近似算法，但在「合理」的實務範圍內，誤差非常小。這樣的公式真的是「經驗」的歸納嗎？實在很難相信。更何況，古人可能並不知道真正的弧田面積。我猜：以前的聰明人是用兩、三種特例「湊」出公式的。
漢初，武帝採納了鄭當時的意見，下令引渭水從長安向東開渠直通黃河，渠長三百餘里，節省了漕運時間，又可灌溉農田萬餘頃。......漢武帝還開鑿了一條大型渠道 — 龍首渠。渠道必須經過商顏山（即今鐵鐮山）。施工時為避免沿山腳明挖渠道發生的坍方現象，改用井渠施工法。
由於人眼的分辨能力有限，測量中會產生一定的觀測誤差。此項誤差對高程測量的經度影響較大。根據「測量學」，人眼的極限分辨能力為 60 秒（1/60 度），設距離 \(D=44\) 公里，則此項誤差為 \[m={60D\over206265}\approx 12.8\text{ 公尺}\] 測望海島兩次的累積誤差顯然要更大，但這一誤差要比地球曲率的影響還小。下一段就試算地球曲率造成的誤差，約為 \(13.1\) 公尺。可是，如果累積兩次、三次觀測誤差，應該就要超過地球曲率的影響了。
十字杖 (Cross-staff，也稱 Baculum 或 Jacob）最早出現於十四世紀，它在歐洲使用了相當長的時間，在 1594 年戴維斯的象限儀發明後很長一段時間才逐漸被取代。...直到十七世紀，這種工具仍在歐洲使用，在 1614 年義大利波隆那的出版物上仍載有用十字杖測量的實例。...十字杖的用法與《海島》中的累矩術原理相同，測法也相近，但已比我國的應用晚了一千多年。
指南車是一種機械性指南工具。它的發明年代，傳說始於黃帝。...這些傳說都不大可靠，比較可信的記載見於《宋書．禮志》：「後漢張衡始復製造。」...從漢代到南北朝時期，不斷有人設計製造指南車。...從這些記載可知：指南車是裝有自動離合控制裝置的指南工具。在車子開始運動時，使車上木人手指向南方，則不管車向哪個方向運動，木人之手總可保持指南。
《五曹算經》卷一第十四題是任意四邊形的面積計算公式。...當然是錯誤的，因為一個給定邊長的凸四邊形並沒有確定的形狀，即其面積是不確定的。...對於越接近矩形的凸四邊形，術文的算法精確性越高。...應用術文的算法可能會產生極大的誤差，而這種方法在古代卻流傳十分廣泛 ... 宋代楊輝、明代程大位在其著作中都曾指出這一算法是錯誤的，...但明清時期不少書中仍然沒有校正。
僧一行原名張遂，生於唐高宗弘道元年 (683 年) ... 編定《大衍曆》...創立了「關於太陽運動不等速」的不等間距內插法公式。...唐代的天文大地測量是為了配合一行改曆的需要進行的。...測過的地方有十三處：(1) 林邑（約北緯 18 度，在越南中部）；...最北到北緯 51 度，最南到北緯 18 度。...這是按隋劉焯建議的方案進行的。
令人費解的是：一行既知道二至日中影長度的南北差異，也知道北極高的南北差異，而且還通過實測和分析得到了北極高差一度，南北距離為 351 里 80 步的定量結果，卻仍未能得到大地為球形的結論。...中國古代天文學把天體光線看成輻射光，即使對遙遠的星體也沒有形成平行光線的觀念。...由於沒有把星體射到地球上的光線看作平行光線，一行也難以從測量結果進一步得到大地為球體的結論。
大業年間，隋煬帝又發起了三次開鑿大運河的工程... 大運河工程浩大，動用了數百萬民工，全長四、五千里，溝通了海河、黃河、淮河、長江和錢塘江五大水系，是世界水利史上偉大工程之一。... 隋唐時期，由於土木工程的發展，促使數學家去研究土木工程中的數學問題。唐代數學家王孝通... 給出的求堤積公式在土方測量上具有重要意義。... 這一公式對於兩橫斷面都是梯形的河堤都適用。... 在間接測量術的研究方面，唐初李淳風在為《周髀算經》作注時，對重表測量術做了推廣，創立了斜面重表法，為重差術增添了新的內容。... 李淳風創立此兩術的目的是用以解決斜面地形（坡度始終如一）情況的重差測量問題。書中夾注的大業年段，明顯有誤，但馮老師
沈括是我國第一個研究弧長和弦、矢之間關係的科學家，並最早給出了計算弧長的近似公式。沈括此一方法，無論對測量地形，還是地圖測繪都有重要意義。在實際測量中，將會遇到大量的弧弦互求計算問題，沈括的「會圓術」為解決這類問題提供了科學的方法。
《數書九章》卷八第二問「遙度圓城」... 此題術文給出了 10 次方程... 秦九韶研究圓形城邑的測量問題，在當時是有實際意義的〔由於軍事和經濟等方面的原因，古代也修建過不少圓城〕。秦九韶解決此一問題得到的結果是正確的，但他為什麼要用城徑的平方根作未知數，並把所立方程達到 10 次，是令人費解的。從解決具體問題角度看，是不可取的。元代李治《測圓海鏡》卷四的「明股底勾」求城徑題與此問題型相同，李冶所立方程為二次方程，此形式是比較簡單的。馮老師的原文寫的是「城徑的平方」，我想那是個小失誤，應為「平方根」。
郭守敬始終是這次測量工作的領導者。... 當時二十七個觀測點分為兩類：其中，南海（南海一代約北緯 \(15^\circ\) 某海島或沿海地區）、衡岳（今湖南衡山附近）、岳台（今河南開封）、和林（今蒙古鄂爾渾河上游東岸哈爾和林）、鐵勒（今俄羅斯境內安加拉河、葉爾塞河地區）、北海（今俄羅斯下通古斯卡河下游）六個地點加上大都（今北京市）為第一類。... 第一類七個觀測點比較重要，是郭守敬精心選擇的。... 〔大都 — 元朝的首都 — 以外的〕六點相鄰兩點的北極高差值為十度。
從本質上說，「北極高度」和「地理緯度」是兩個不同的概念。中國沒有形成球形大地觀，儘管元代扎馬魯丁帶來西域儀器中已經有了地球儀，但從現有史料來看它對中國的傳統科學幾乎沒有產生多大影響，沒有任何資料表明，郭守敬的工作是建立在球形大地觀基礎上的。... 古代地理緯度測量的提法是不夠妥當的。扎馬魯丁又譯扎馬剌丁，波斯人，拉丁名 Jamal ad-Din Bukhari，大約於 1250 年進入北京朝廷，那時忽必列 (Kublai Khan) 尚未登基；由他開始了分別回回與漢人主持的雙欽天監。
〔元代天文測量儀器有不少進步〕只是這些儀器當時主要用於天文測量，沒有在普通測量方面推廣。這大概與中國傳統數學沒有形成平面三角概念有關，我國古代對角度的測量和處理一直沒有重視。
《修防瑣志》還介紹了利用水平線與鉛垂線相垂直的原理製作的水準測量工具。書中介紹了「旱平」、「架平」兩種儀器。... 設計旱平的原因：「測量高低，雖有水平，然攜帶不便，且冬月水凍不能為力。」
利瑪竇通過繪製世界地圖，對傳播地圓學說以及以其為基礎的西方經緯度概念和測量方法起了重要作用。
1607 年至 1608 年間，又由利瑪竇口譯，徐光啟筆受《測量法義》一書，把西方的普通測量學引入我國。... 書中介紹的原理和方法儘管並不比中國傳統的測量方法先進多少，但其中卻有一些方法是中國所沒有的。... 在研究了西方測量方法的基礎上，徐光啟寫了《測量異同》，他把《九章算術》中的測量方法與《測量法義》中載的西法進行了比較，「推求異同」，並對中國「舊篇所有今譯所無」的一題，依西法加以「補論」。徐光啟還撰寫了《句股義》一書；他在書中用《幾何原本》和《測量法義》的基本定理來解釋和補充傳統測量法的「義」。
利瑪竇來我國時帶來他的老師克拉維斯編的《實用算術概論》一書，李之藻與利瑪竇根據這部書又參照了《算法統宗》編譯了一部系統的實用數學著作，分為《同文算指前編》、《同文算指通編》、《同文算指別編》。其中《通編》共八卷，卷六專門介紹了西方的測量方法，主要內容與《測量法義》大致相同。這部著作對我國影響很大。
矩度和矩尺是 16 世紀中義大利數學家塔爾塔里亞 (Tartaglia) 為砲兵發射砲彈而設計的。這位 Nicolo Tartaglia (1499/1500–1557) 就是著名的「三次方程公式解」故事主人翁之一，我稱他塔塔利亞。
白尚恕先生曾對《測量法義》底本問題做過研究，認為《測量法義》一書是摘譯自瑪金尼 (G. A. Magini, 1555–1617 年，義大利人）《平面三角測量》(De Planis Trianguls, 1640)，克拉維斯的《實用幾何學》(Et. Trigonometric Sphiriconum, 1609) 以及第谷的《天文學》(Astronomi Instaurat Progymnasmata, 1602) 各書。... 其中的增題有不少是自編的，製造儀器法也可能是參考有關資料自行編寫的。
崇禎八年 (1635) 李天經奉旨督同湯若望、羅雅谷等製造望遠鏡。這年八月初，製成望遠鏡二具，這是我國最早自製的天文望遠鏡。製造鏡片所用的玻璃是傳教士從歐洲帶來的，其餘部件的材料在中國可以找到。我主張：古中國科技發展的限制條件，第一個是沒有「角」，第二個就是沒有玻璃。
乾隆二十五年以後，又對《康熙皇輿全覽圖》加以補充修訂，完成了《乾隆內府輿圖》，此圖由參加過乾隆二十一年測量工作的法國人蔣友人製在 104 塊方銅版上，以 5 緯度為一排，共十三排，故又稱《乾隆十三排圖》。此圖的範圍要比康熙圖大得多，不僅是一幅中國全圖，而且是當時最完善的亞洲大陸全圖。... 一直到民國初期，坊間流行的地圖，也多源於《乾隆內府輿圖》。
第 327 頁，本書內文的最後一頁，通過「地圖」此一物件，預言中國近代悲傷史的後見之明。
乾隆中期開始，我國出現了復古思潮，忽視科學的測繪方法的傾向出現，而且隨著時間的推移越來越嚴重，後來連官方繪製的地圖也不繪經緯線，... 甚至有些連比例尺也不重視了，地圖繪製又退回到傳統的軌道。... 在這之後的一百年時間裡，我國的測繪科技沒有新的進展。這樣，我國與西方的差距逐漸拉大，以致於被遠遠拋在後面了。