萬物的尺度

單維彰的私人書摘

萬物的尺度 -- The Measure of All Things,Ken Alder 著,張琰、林志懋譯,貓頭鷹, 2005, ISBN 986-7415-60-4

我為了豐富《文化脈絡中的數學》之中〈投票〉那一篇的內容, 而選讀了這本書。此書的主角和主題都跟〈投票〉沒有直接的關係, 而是此書故事中的兩位關係重大的配角:波達(Jean-Charles de Borda, 1733--1799, 此書譯為波爾達)和鞏多瑟(Nicolas de Condorcet, 1743--1794, 此書譯為孔多塞),和我的故事有很大的關聯。 此外,我對「公尺」的故事也很著迷。

就科普而言,這本書講的是法國科學院在法國大革命演變成暴亂、 拿破崙平亂而自我封冕的那段時間, 在法國與西班牙土地上執行通過巴黎天文台之經線長度, 然後推算四分之一條經線的長度(從理想中的北極經巴黎到理想中的赤道), 並取其一千萬分之一當作「公尺」, 以制訂一套「屬於全人類」的「全新」度量系統的故事。

在〈投票〉裡的兩位大人物,鞏多瑟和波達,促成了這個計畫的誕生, 但是實際執行測量任務的,是梅衫 (Pierre Méchain, 1744--1804) 與德朗柏 (Jean Baptiste Delambre, 1749--1822) 兩人。 就故事而言,它彰顯了一句座右銘

真相來來去去,誤差永世長存
整個故事圍繞著「梅衫的錯誤」發展,他那自虐式的執著、恐懼、憂鬱、驕傲、瘋狂, 到頭來的一場誤會,充滿了悲劇的張力。前面的「誤差」在書裡總是譯作「錯誤」, 我認為那是英文「error」的翻譯:折磨了梅衫一輩子的秘密, 是他自以為的錯誤,其實不然,那僅是測量的「誤差」問題,而且根本原因是
梅衫和他的同時代人並未將「穩定」(內在一致性)和「準確」 (接近「正確答案」的程度)做原則性的區分。(p.318,但我改了譯名)

承上,因為「誤差」居然成為這則故事的抽象主角, 使得這本書(意外地)也具備了數學素養的價值。 從數學觀點來看,這本書訴說的偉大故事,是「誤差」觀念的成形與「誤差」現象的實踐。 波達和鞏多瑟都來不及聽到高斯對於誤差的「正規」見解, 可憐的梅衫至死也不明白這個道理,使得他彷彿是科學奉給「誤差」的獻祭。

要解決度量衡不一致所造成的實際問題(為了經濟的效率與帝國之管理), 只要一個強權就能達到,譬如拿破崙像秦始皇那樣下令即可, 並不需要煞費周章地測量地球。但是伴隨法國大革命的浪漫情懷, 促使或者暗示那些科學菁英採取「民粹」的理由, 發明了以地球作為基礎的新單位長度:公尺。 我前面說的那兩位「配角」發揮了極大的影響力, 促使法國科學院以及它的舊主子(法王路易十六)以及新婆婆(革命後的國民議會) 都接受這個浪漫的想法,而給予資助。

在封建時期,也就是法國大革命之前,科學菁英就像畫師和樂師一樣, 還不能成為可以獨立謀生的專業人士,他們伺候著王公貴族,為宮廷的需要而提供服務, 藉此為自己掙到體面的生活, 並在服務主子之「餘暇」從事滿足自我好奇心或成就感的科學探究。 有時候,他們得編造一些「善意的謊言」,才能獲得「經費補助」, 假服務之名而從事科學上的測量或研究。

有時候為民服務,就是必須打定主意欺騙他們。(p.270)
這些才智之士,在當時稱為 Savant,此書譯得很好:科學才士。 也就是在這段時期的 1792 年,馬哈 (Jean-Paul Marat, 1743--93) 首度以「科學家」(Scientist) 之詞稱呼科學才士, 而他發明的新詞乃是損意,諷刺他們「自私自利」,就像「公制」的整個計畫那樣。 不論「公制」是不是自私自利,隨著法國大革命之前走到之後的, 包括 Savants 已經踏上了轉型為 Scientists 之路。

聰敏、尖刻而激進的馬哈,是法國大革命的代表人物之一,他的死: 被謀殺在浴缸裡,也是法國大革命流存至今的鮮明影像之一,如圖。

那些法國科學院的才士學得很快,舊主子路易十六被罷黜之後, 成功地訴諸民粹而重新取得革命政府的支持。 既然標榜要以「全人類共有」的地球作為新單位長(公尺)的依據, 那條被測量的經線當然不一定非經過巴黎不可。 可見科學才士和法國新政府,都不那麼真心地想要「為全人類」服務。 事實上,「巴黎經線」和「格林威治經線」為了誰是「原始經線」 (也就是經度為 0 的所在,而且也將定義國際標準時間)而競爭了兩百年。 奇妙的是柏林並沒有參與競逐。 這件事,當然除了比科技以外,也要比拳頭。 雖然法國在美國獨立戰爭的時候幫美國打英國, 可是人家兄弟鬩牆之後,血還是濃於水, 美國(以傑弗遜為代表)陪著英國一起排斥「巴黎經線」, 也就一併排斥了「公制」單位。 (pp.369--70 報導了美國關於公制的「近況」。)

然而法國科學院在 1790 年代的「公制」提議,不僅是重新定義長度單位而已, 還附帶著兩項「進步」而影響深遠的想法: (1) 所有單位(長度、重量、時間等)皆可彼此精密連結成一個系統。 定義了其中一者,例如長度,其他單位皆可透過與長度單位的關係而加以定義。 (2) 十進制的延伸單位。這些觀念寫在 page 102ff, 而這些科學理念,是由一位長袖善舞的政治人物塔雷朗 (Charles-Maurice de Talleyrand, 1754--1838) 在 1790 年 3 月向法國的立法會提案,落實為法律的。 塔雷朗受到鞏多瑟的鼓舞。至於 kilo 和 milli 這些慣用的字首, 則是 1793 年 5 月出現的 (p.104)。

透過立法,「科學才士夢想著要把他們的公制語言,延伸到所有的科學及公共生活領域之中」。 P.156ff 有一番話,將「公制」視為「全球化」的先驅,「試圖消除一切地方特色」。 這是一個發人深省的比擬。果真如此,則如今英國的「脫歐」以及美國川普政權的反動, 也可以視為繼續當年對抗「公制」的延長賽。

至於「巴黎經線」優於其他經線的理由,則在射出了箭之後, 端看科學才士如何畫一幅合情合理的靶了。 科學才士並不缺乏這種基本的「作文」功夫, 就像如今每年寫科技部研究計畫的大學教授一樣。 本書 p.107 列出了波達的「四項選擇經線的條件」, 能夠同時符合這四項條件的,全世界只有一條:那當然就是「巴黎經線」。

可笑的是,就算要測量巴黎經線的長度,也不必從頭重來一次, 因為早在路易十四的時代 (1670 年代) 就開始測量了。 科技迭創藝翻新,工具和技術都在進步,所以經線長度的測量當然一代比一代精確。 但是波達等人在 1790 年提出的重新測量計畫,實在是誇張了。 當時卡西尼四世 (Cassini IV, Jean-Dominique, comte de Cassini, 1748--1845) 還在陸續出版他與其父 (Cassini III, Cassini de Thury, 1714--84) 花了大半輩子測量而繪製的法國地形圖(等高線地圖)。 卡西尼家族握有當時最新的測量數據,那些數據最老也不過 50 年, 沒有太強的理由要重新再測一次。 波達和鞏多瑟都相信重新測量一次,結果會「超級」準確; 特別是波達鼓吹最力,因為當時才士們仗恃的新測量儀器, 就是波達發明的「複讀儀」(Repeating Circle,翻譯得好)。 因此,假科學之名,搭民粹便車的這一次測量行動, 實在很難撇清「自私自利」的諷刺:私心地想要推銷自己發明的儀器, 私心地想要為自己在歷史上留名, 甚至也可能想要在那動亂的時代,為自己找到多一層保障。

複讀儀絕對是這則故事的器物主角。 這部儀器一方面可以從卡西尼的 15 秒解析度,一躍而至 1 秒的解析度, 另外又提供非常方便的重複測量程序,讓觀測者可以輕易(如果很有耐心的話) 重複(譬如說)10 次觀測。本書第 73 頁解釋了重複測量的設計與操作方法。 重複測量之後,取所有數據的平均值,被「相信」是更準確的數值。 但是究竟有多準?因為沒人知道「真正的值」是多少, 所以誰也不知道該如何討論誤差是否變得更小? 這就是數學的「機率」和「統計」該出場的地方了。 可是在梅衫生前 (1804 年之前)還沒有這樣的數學, 要等到 1805--11 年之間,關於誤差的理論才由高斯和拉普拉斯建立起來, 本書在 p.327 有段優美的描述。

這麼「精緻」的新儀器,造價當然不斐。 本書作者說,最後,整個測量計畫的開銷,達到王朝時期科學院三年份的總預算。 他還說「除了拉蘭德以外的全部科學才士」都在公制計畫裡找到工作機會。 拉蘭德 (Jérôme Lalande, 1732--1807) 是當時聲望最隆的科學才士, 社會上的群眾魅力也很旺盛, 可是他雖然一路反對此計畫,卻未阻止也沒有宣揚他的異議, 而實際執行測量計畫的人,都是他的昔日弟子。 他是名字被刻在巴黎鐵塔上的七十二名人之一。

隨著作者的故事讀到最後,證明這一次的測量行動確實是白忙一場。 根據後來「更準確」的數據,德朗柏和梅衫的結果其實比卡西尼的舊數據還差一點, 何況以當年的工商業與科技需求而言,兩者沒有實際的差別。 梅衫因為恐懼而根據「理論」竄改了數據,等到「誤差」的真相大白之後, 後人發現他認為有錯的數據,反而更準確 (p.314)。 所以這整個故事,就是一個關於人性與情感的悲劇, 它實在可以寫成一部小說或劇本,而不必是科普。

不論測量得多麼準確,從一部份的經線長度推算「四分之一地表弧長」 還有一項重要的變因: 地球不是「完美的」球形:「大自然的完美並不在於孩子氣的幾何, 而是在深藏不露的自然力量中,並由牛頓揭露」。 P.109 寫了一段牛頓較少被提起的成就: 他以均勻液態球體為模型,計算其旋轉後的形狀,估計地球有 230 分之一的「離心率」, 也就是南北極的直徑,比赤道直徑短 230 分之一。 (後來根據測量數據調整為 334 分之一,到了公制測量的時候,又調整為 150 分之一。) 他還進一步推論,太陽和月球對地球的引力,使得地球稍微不對稱的身材產生些微擺動, 而這就是春分點的歲差現象:地球的自轉軸以 26,000 年的週期緩慢地旋轉。 我們身處的這一段「文明」恰好發生在「北極星」座落在自轉軸上的時期, 所以北極星看來「固定」在天頂上。 可是,在春秋時代,孔子和弟子們應該會注意到,北極星每晚微微地繞著天頂轉一小圈。 研究地球的離心率,並據以從「巴黎經線」的長度, 估算地球的「四分之一弧長」,是拉普拉斯擅長的領域。

這本書還講到一件我不知道的拉普拉斯的事: 他在 1798 年推薦拿破崙成為法國科學院的院士。 事後證明,他真有遠見,為自己和法國科學院下了把一本萬利的注。 第 280 頁記載了後續的發展。

然而,牛頓、拉普拉斯和其他當代的科學才士,原本都認為地球是一個旋轉體。 扣除地表的起伏之後,在理想的「海平面」高度上,就算地球不是一個「完美的」球, 也是個旋轉體,亦即任一條經線都等長。 法國的科學才士就是基於這個理論,認定英、美和其他反對「巴黎經線」的人無理取鬧。 可是,追求精確的經線測量計畫,卻意外地發現,地球竟然不是「完美的」旋轉體。 通過巴黎的經線,和通過格林威治的那一條,真的不一樣長 (p.269)。 後來的工程師更知道,就連「海平面」都不是一樣高的。 建造蘇彝士運河 (Suez Canal, 1869 年開航) 的工程師比較幸運, 紅海和地中海的海平面一樣高。 但是巴拿馬運河 (Panama Canal, 1913 年 10 月 10 日啟用) 就沒那麼幸運了, 運河兩側的海平面不一樣高,太平洋那一端比大西洋那一端高了大約 20 公分。

就歷史而言,這本書詳述德朗柏、梅衫和他們的隨從,駕著特製馬車和複讀儀, 沿著從敦克爾克 (Dunkirk) 經巴黎到巴塞隆納 (Barcelona) 的子午線, 以三角測量法計算它的長度。科學和數學的故事,都可以簡單說完, 但是這本書寫了三百七十多頁,一部份用在細膩地描寫梅衫的情緒和憂愁, 另一部分則詳細記載他們在執行測量任務途中,與當地官民發生的衝突。 前面那一部分像是一部言情小說,後面這一部分則相當具有歷史價值, 因為它是「法國大革命」的實況側寫,而且記錄的是遠離權力中樞的鄉下民間。 整體而言,閱讀「法國大革命」的動亂、暴力、猜忌與狂妄, 人性在那個環境下因為慾望(趨吉)和恐懼(避凶)而呈現的扭曲, 我才明白「文化大革命」並不是史無前例的自我毀滅, 發生在中國的一切造反(包括紅衛兵)也不是那麼地特殊, 同樣的事情都在「法國大革命」發生過了。 只是法國的運氣比較好,動亂並沒有持續太長的時間,就被拿破崙控制住; 可惜拿破崙並沒有守住那個成就,他希望爭取更高的成就。

史上都知道法國大革命當時的國王路易十六在 1791 年 6 月 20 日早上開始了「瓦倫逃亡」(英文 Flight to Varennes, 法文 Fuite à Varennes)。後來對照法國科學院的紀錄,發現這位亡君還真「淡定」呢。 就在逃亡的前一晚(6 月 19 日傍晚),路易十六接見了四位科學院士: 波達、卡西尼、梅衫,還有一位我們在數學課本裡也很熟的人,勒讓德 (Legendre), 批准了科學院重新測量巴黎經線的研究預算。

Page 40 敘述了三角測量的原理(正弦定理),也指出實際上操作的困難, 以致於「原理」必須加上哪些細節。 雖然作者沒有深入那些數學的細節,但是已經寫得夠清楚了。 根據正弦定理,測定所有三角形的內角之後, 只要知道「任一邊」的邊長,就能算出所有邊長。 那一條「基礎邊長」就是梅倫基線 (Melun baseline, p.236), 它是法國國道高速公路 N5(後面又說是 N6)從梅倫東北往巴黎的一段筆直的路段。

Pages 318--21 記載了尼可耶 (Joseph Nicollet, 1786--1843) 在梅衫身後廿五年從數據及信件中「挖掘」出來的真相, 以及科學家在「錯誤」和「誤差」之間的意識變遷。 作者提及統計學家費雪認為孟德爾的豌豆數據, 不可能那麼接近他聲稱的 1:3 基因比。 尼可耶是拉普拉斯的學生,他對梅衫資料的再調查,可謂誤差理論的應用, 而他的真正生涯代表作,是在美國的密西西比河谷完成的。

Page 326ff 簡單敘說了勒讓德在 1805 年發表「最小平方法」之後, 與高斯發生的爭執,作者並發表了自己的意見。

Page 294 記錄了西班牙海外馬約卡島 (Mallorca) 上的帕瑪城 (Palma)。 梅衫造訪的時候,那裡有一支第十世紀時製作的「太陽鐘」。 這座鐘把一天分成 12 小時,但是這些小時的時間長, 會在夏季白晝長的時候拉長,冬季白晝短的時候縮短。 此外,巴塞隆納城南的如意山 (Mont-Jouy),法西邊界的星星山 (Puig de l'Estelle), 中央高地 (Massif Central) 上的狂猛山 (Puy Violent) 以及羅德茲 (Rodez) 大教堂, 還有梅倫基線,都可以列為旅遊目標。

這本中文版的譯書並沒有附上原文的註釋,也不含中英(中法)對照, 對我來說有些遺憾與不便。還好,寫 E-Mail 給貓頭鷹出版社之後, 有人在丁酉年初六開工的那一天,就把檔案寄給我了。 公佈於下與大家分享:

[中文與原文對照], [英文註釋]


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Created: Feb 28, 2016
Last Revised: 2017-02-04
© Copyright 2016 Wei-Chang Shann

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