刻卜勒的猜想，G. Szpiro 原著，葉偉文譯，天下文化【科學文化97】2005, ISBN 986-417-504-1
這一冊書是應聯合報『讀書人』專欄邀請寫的書評。 因為是寫在正式出版之前，所以原本以介紹為主。 而我讀的是未付梓的書稿，可能尚未最後校稿， 因此看到一些打字或排版的錯誤，沒有印出插圖，也沒有書內提及的附錄。 後來在正式出版的書本裡，發現插圖和附錄都印刷出來了， 而許多小問題也都在最後一次校對時被抓到並訂正。 因為聯合報的評介性質，以及字數限制，我沒有寫出對這本書完整的意見。 以下前三段是刊登在聯合報 (94 年 7 月 31 日) 的版本， 之後是補充的意見。這本書以堆球 (sphere packing) 問題為核心， 大致上以時間為軸、偶而以事件的發展為絮， 講述一個前後約 400 年而牽涉約 40 個人物的數學故事。 堆球問題原本是如何堆積同樣直徑的硬球，以達到最高密度的問題； 衍生出來覆蓋和碰觸問題，以及降到平面和升至抽象的高維度空間的問題， 這本書都有涉獵。 所謂刻卜勒猜想就是說， 先整齊排好底層，然後在相碰觸的三個球或四個球所形成的最凹處放置第二層球， 就是最高密度的堆積。書裡有附圖的詳細解釋。
慣於處理粒子互動關係或原子排列方式的物理和化學家， 甚至經常堆置葡萄柚的貨架管理員， 可能都「知道」這個「事實」而不明白何以它需要「證明」？ 這或許就像對於道德的看法一樣，擁護者將它看得像生命一樣重要， 而輕忽者認為那不過是一種自我虐待罷了。 重視證明而將經過證明且只有經過證明的敘述視為事實， 是數學這個學門起碼維持了 2500 年的價值傳統。至於什麼是數學家所謂的證明？ 是這本三百餘頁的科普書籍應該投資篇幅去解釋、而作者輕忽了的主題。 因為輕忽這個主題，使得整本書豐富而精彩的故事失去了共同的核心價值， 顯得稍微紛雜而較難讓讀者明白這些數學家們究竟在堅持些什麼？ 所幸台灣讀者想必在國民教育階段已經見識過所謂的數學證明， 對於書中所談的爭議 (第 10 章關於項武義教授的證明和 13 章關於電腦輔助證明) 和驚讚 (第 7 章高斯的 40 行書評對 Seeber 的 248 頁原著)， 也就能有更深刻的認識與感動。
我們可以說古今中外的數學工作者，以他們世代相傳對於證明的標準和堅持， 合力編撰一本辭典。在這本辭典裡，他們定義自己的名詞動詞連接詞形容詞和副詞， 然後利用這些經過定義的詞彙， 寫出一條又一條絕對正確或者絕對錯誤或者絕對無法判定正確或錯誤的句子。 這本辭典裡的名詞，譬如平面、直線和球，嚴格來說在物質世界裡根本沒有對應的實例。 譬如葡萄柚和水梨當然都不是球形， 星星月亮和地球，也都不是數學所謂的球。但是只要自然科學或社會科學的工作者， 甚至研究語言或哲學的人，認為他所面臨需要探究的對象可以被視為球， 則那本數學辭典裡面所有關於球的句子都可以為他帶來推論的威力。 例如，根據這本書闡述的故事，他會肯定一個中心位置的球， 不可能在其周圍同時碰觸超過 12 個同樣直徑的球。
而真正明白數學的價值的應用者，當然知道數學推論雖然絕對正確， 但是並不真實。應用者根據他本身專業內的知識或經驗， 可以參考數學推論的結果而估計或者解釋成真實的結論。 例如這本書裡提供了一些關鍵數據，讓我們知道一立方公尺的箱子裡， 頂多只能裝得下 0.74 立方公尺的同直徑球。 但是水梨不是球，就算是也不會滿足相同直徑的條件， 但是想要用數字作為運輸管理參考的決策者， 可以拿這個數據作為裝箱效率的參考標準，或作為估計成本的計算準則。 而空間中的堆球問題降到平面就是拼圓問題 (第 3、4 章)， 如果一位果農說他的園子裡有 500 株梨樹， 而他栽樹的時候特別留意讓它們兩兩保持 2 公尺的距離， 那麼如果我們將梨樹的根視為一個點，2 公尺作為半徑畫圓， 那麼這片果園中有 500 個不重疊的直徑 4 公尺的圓， 所以數學理論斷言這片果園至少占地 1,732 平方公尺。 數學 (例如堆球和拼圓理論) 的應用，當然不止於貨運和丈量， 讀者可以從書裡 (主要在第 14 章) 讀到其他不太訴諸於生活經驗的用途。 但是作者的重點放在訴說 400 年來， 數學圍繞著堆球問題在知識與思考方法上的發現、困頓、興奮、犯錯和冤枉路， 而非應用；那可能需要另一本書來闡述吧。
在書寫方式上，我對作者 Szpiro 頗有意見。 他可以用 120 頁左右寫下故事的主軸， 從主軸的關鍵字將人物介紹與旁枝發展寫成連結出去的網頁。 那些連結出去的人物簡介也好、枝節故事也好，不一定非常切題， 內容長度和深度也不一定恰當。 以閱讀網頁的技術而言，成熟的讀者都知道要避免過度受到連結的牽引， 而應該先集中精神將主軸讀完，之後按照興趣和輕重緩急， 連線去外部網頁吸收旁枝的知識。 但是，Szpiro 就彷彿將所有重要、次要、不重要的連結網頁， 全部拉進來彙整成一本線性排列的書籍。 有時候插入的情節長達六、七頁，然後又毫無明顯標記地接回主軸， 遇到不熟悉的人物，我幾乎已經忘記剛才在講甚麼人的故事。 這樣的書寫風格，徒增閱讀的困擾。
以下是我認為比較嚴重的內容錯誤或值得商榷的意見 (我沒有讀長達 60 頁的附錄)。 由於我沒有原文書比對，我不知道這些是原文的意思還是翻譯使然？ 其實我只有三天五次坐下來的時間翻完這本書，也不算精讀。
但是，我要先說些好話。所謂「開卷有益」，每一份文件，只要懂得如何讀它， 總會有幫助的。雖然我要提出一些批評，但是它們只佔整本書也許不到 5%， 而其他部份還是很值得玩味的。我們之所以舉出錯誤或異議， 是希望讀者能從這本書裡獲得更多的知識和閱讀樂趣， 並非排斥這本書的意思。
- 第 9 頁說堆球問題是『最古老的數學未解難題』有點誇張了。 400 年歷史的未解題其實在數學中還不堪稱「古老」。 起碼『孿生質數』問題就老得多。
- 第 27 頁還有後面某處，以帶著鄙夷的語氣說刻卜勒和牛頓， 身為一流科學家怎麼還迷信占星術和鍊金術。 其實不必用這種語氣。那兩種「術」被認為是「迷信」是更晚的事情， 在他們那個年代，這些「術」和後來被尊稱為「科學」的研究， 在當時都是探究自然奧秘的正當途徑；當時的哲人智者，普遍都有所涉獵， 是很正常的行為。人們是到了十九世紀末、甚至是二十世紀，才開始獨尊科學的。
- 第 31 頁說同時用四個小組去測量紀錄，使誤差「降到最低」， 這是沒有根據的說法。如果四個人的觀測平均可以降低誤差， 那麼五個人的觀測平均不是應該更低嗎？為何四個人可以達到「最低」？ 我們可以接受四筆測量數據的某種平均值會比任意一筆數據更值得信任， 但是我們既然不知道所要測定的量真正是多少， 自然也就無法評斷哪個測量的誤差「最低」了。
- 第 40 頁還有書中的許多地方，提到正十二面體和正二十面體， 很可惜全書沒有一張插圖顯示這兩種正多面體。 事實上刻卜勒也是結晶專家，他重新發現了 13 種阿基米德設計的「半正規多面體」： 正多面體只有五種，這顯然讓那些有創造力的人很不滿， 因此忍不住要放寬「正」的條件而創造更多美麗而規則的多面體。 以下這本書有非常豐富的多面體繪圖：
典雅的幾何 (Sacred Geometry + Platonic and Archimedean Solids) M. Lundy + D. Sutton 原著, 葉偉文譯, 天下文化【科學天地 2023】, 2002, ISBN 986-417-015-5- 第 51 頁說物質趨於能量最低狀態是個「公設」，它「必然成真」。 我相信更多的科學家認為，物質科學中沒有「必然成真」這一回事。 物質科學研究的對象是存在的物質本身，不像數學或計算機研究的是人造的系統。 前者沒有恆真的敘述，後者可以經過證明而得到。 作者說的「公設」的確是科學家普遍的信念，但是要說它「必然成真」還是過份了一點。
- 作者有時候顯得搞不清楚讀者定位。 在 57 頁他毫無預警地寫出來矩陣和量子力學這兩個名詞， 其實跟這個故事無關。而稍後他又極為詳細地介紹牛頓。 如果他的讀者可以受得了他隨便說說矩陣和量子力學， 那麼這些讀者顯然不需要過份詳細地被介紹牛頓。 這也呼應我前面所質疑的，這位作者的寫作風格有檢討的空間， 他太不懂得「割愛」的藝術：這是我們在初中國文課本上讀到的， 忘記是朱自清還是梁實秋的文章，告誡未來想要從事寫作的年輕人， 首先要懂得割愛。Szpiro 需要讀那篇文章。 事實上，我認為這是原文版的編輯 (editor) 沒有做好他份內的工作。
- 第三章的主題在講平面覆蓋與緊密排列問題的相關性與各自的歷史發展， 是個很好的故事，但是可以寫得條理更清楚一點。 在平面上，覆蓋問題比排列問題更早一點獲得完滿的解決。
- 這是最嚴重的地方了。第 69 頁寫一個二元二次方程式， 其實他指的是二元二次「多項式」。雖然我沒有查證，但是肯定書上印的不對。 應該是 a2 x2 + 2b xy + c2 y2 才對。 作者說那一段是給對數學比較了解或者有深入閱讀能力的讀者， 那就應該要寫得足夠讓一名有能力的讀者看懂的資訊啊！ 否則他不就只是賣弄而已嗎？ 次頁寫「距離和角度都是根據畢氏定理得到」。我不明白何以角度可以用畢氏定理得到？ 這是反三角比的應用吧。
- 第 83 頁起多次講到「網格」和「格子」，那是 lattice。 簡單的例子就是坐標系統內的整數點。這個概念對此故事頗為重要， 作者本應有責任寫得更清楚一點。希望 84 頁的插圖能夠讓讀者對此有足夠的認識。
- 第 84 頁說 Minkowski 的定理「沒有建設性」， 這應該是翻譯問題。原文想必是 not constructive，通常我們說「非建構的」。 這跟中文使用的「沒有建設性」差很遠。 非建構的證明是指類似反證法那樣：證明的過程中並沒有指出如何建立被證明的事實， 而只是說它的否定是不可能的，因此原命題就必然成立。 相對地，建構性的證明就是把所證明的事實造出來。
舉例來說，「中間值定理」有一種建構性的證明： 如果一個連續函數在某閉區間的兩端點異號， 則在此區間內部有一個根。證明方法是用二分法，按照證明的推理， 我們可以發展出一種計算的方法，去算出來（或至少估計出來）那個根是什麼。 而「質數有無窮多個」的證明就是非建構的： 我們不可能真正列出無窮多個質數來證明此敘述， 而是舉證說明質數不可能只有有限多個。 這兩種證明的方法都會擴展我們的知識，也當然都會替數學那本大辭典增添一條語句， 所以怎麼會「沒有建設性」呢？它們都是很有建設性的。
再者，此處所說的「建構」跟中小學數學教育中所談的「建構式教法」也沒有關係， 只是恰好用了同樣的中文詞彙罷了。
- 第 87 頁是很好的例子，可惜少寫了一個條件：必須要知道共有幾棵樹， 才能回答所問的問題。要讀後面的楷書部份才會知道， 作者漏了一個條件：共有 500 棵樹。
- 高維度的覆蓋和堆積問題 (136 頁前後)， 遠超過一般人的直觀，而書本中也沒有適當地解釋， 因此這一段文字，恐怕是白寫了。 不過，受過數學和高等物理教育的讀者，應該會看得很有趣。
- 第 155 頁概述希爾伯特 (Hilbert) 的好友和弟子們在堆球問題上的貢獻， 以表達他擬定第 18 號問題的背景。我要提醒讀者， 那些事件全部都是在 1900 年 Hilbert 舉出第 18 號問題以後發生的。
- 第 162 頁關於 Cohen 在可數與連續之間的基數問題， 語焉不詳，而最可能的解讀是作者或譯者誤解了 Cohen 的結論。 這也算是個頗嚴重的內容錯誤。Cohen 和 Godel 共同獲得的結論， 是連續統假設「獨立」於公設系統之外。而連續統假設， 用 162 頁的術語來說，就是可數與連續之間沒有其他的基數 (也就是希爾伯特的 1 號問題)。 但是，讀者要真的懂這句話在說什麼， 至少需要明白可數、連續和基數這三個名詞是什麼意思。 其實它們並不太難，我實驗過，20 分鐘可以講解得讓我讀高二的女兒明白， 而讓讀初二的兒子『大概知道你在說什麼』。但是這本書的作者寫得不太明白， 因此讀者在此也就不要必求甚解了；您如果讀不明白，那是正常的。 就像我前面說的，作者不知割愛而賣弄太多不相干的資料。
- 第 200 頁倒數第三列的百分比數字應該是 74.05%。
- 在 218 頁扯到 ENIAC (美國第一部電子計算機) 之後， 第 12 章還陸續陳述了浮點數運算的規則和硬體設計 (甚至扯出蝴蝶效應，這實在太遠了)， 最佳化理論和單工演算法 (simplex algorithm)， 以及 Mathematica 和 Maple 這兩種代數計算軟體以及它們的發明人或團隊。 這麼多計算機軟硬體的事，紛紛雜雜鋪陳了許多， 究竟與故事的主軸有甚麼關聯？讀者或許就得到一個概念： 反正那個證明需要用電腦幫忙就對了。如果只是想要描述這一個概念， 其實犯不著扯那麼遠。
我猜作者不只是因為黑爾斯需要符號計算才在故事裡介紹 Mathematica 和 Maple。 因為如果只是這樣，那麼完全沒有必要談浮點數計算與數值誤差造成的誇大效果。 我認為事情是這樣的：黑爾斯的證明計畫當中，遇到本質上屬於線性規劃的問題， 因為維度很高，需要很高的數值準確性才能獲得有用的結果。 而計算機的有限性使得硬體上必須規定對於一般應用來說合理的準確性， 這就是卡漢與 IEEE 浮點數計算標準所做的規範。 這個規範通常只能提供 15 位可靠的十進制數值，而黑爾斯的問題可能需要 40 位。 因此黑爾斯不能接受那個規範，所以他必須訴諸於「軟體計算」的方法， 那就是 Mathematica 和 Maple 這兩種套裝軟體上場的原因了： 只要計算機的記憶體夠大、CPU 夠快，理論上這些軟體可以用任意精度 (例如 100 位數) 執行電腦程式。這就是作者為什麼寫了第 12 章的主要原因； 我不覺得他向讀者說明了這些原因。
最後，卻也是我最想要抒發的意見，是關於項武義教授的地位和所謂「歷史」的形成。 我們雖然是數理科學界的人，但是多少也聽說過一些社會科學或哲學的觀點， 認為歷史並不是事實，歷史是為了當代的意義、反應當代的價值， 對過去所做的解讀與詮釋。歷史並非給我們事實真相，歷史給我們的是某些人的解釋。 而誰擁有歷史的解釋權？學院的學者和掌握媒體的人。 而這些人又受到他們所在的社群甚至是派閥的驅使與保護。 有人說，所謂的科學是西方一小群白種男人協調出來的一套語言符號。 他們創造了所謂的科學和所謂的歷史，他們擁有是非對錯的判決權，也壟斷了發言權。
就我個人對於數學和科學的一點點經驗，並不能全盤接受上述說法。 但是，那些哲學家的理論總不能完全不切實際，還是必須承認他們有道理。 人文的知識與數學不同，常常沒有非對即錯的兩面，而是有程度性的、具妥協性的。 現在，項武義教授與一小群白人 (甚至可以說是一小群猶太人) 之間的爭執， 本來是專業中的事情，而在專業中雖然某一派人士已經看來佔據歷史的發言權， 取得正統地位，但是這個事件還不能說是百分之百的塵埃落定。 項武義教授 (民國 48 年台大數學系畢業，民國 53 年獲普林斯頓數學博士， 之前還在台灣服了兩年兵役) 也非泛泛之流，而且在他的專業內並非無人支持。 只是堆球問題在歷史的脈絡上有其一貫的方法，屬於離散數學； 項武義教授被視為外人，因為他的方法和學門都屬於幾何。
而這一本科普書籍，把尚未百分之百塵埃落定的專業事件寫了進去， 而且作者已經明顯採取了另一方面的觀點。 我們閱讀這本書，特別是從第 10 章中間開始， 便活生生地在眼前觀察前述那種對於所謂歷史和知識的看法： 一種歷史的解釋，和歷史的塑造，就正在我們眼前發生。 作者竟然隱然地將項武義教授與完全外行而有濃厚興趣的建築師富勒相提並論 (p.192)， 這個類比的手法已經表明了作者的立場，而且是極具有暗示性的寫法。 原作者的英文或許已經帶有貶意，而譯者也許忠於原著， 翻譯本寫『項武義揚揚得意』，但是『他的說詞總是模模糊糊的， 讓人信以為真』(p.201)，最後『項武義惱羞成怒』(p.205)。
作者可能跟隨康威、黑爾斯、穆德、斯隆與加博等人的論調， 說項武義的證明「只」利用「大家熟知」的基本數學工具， 例如球面幾何、代數向量或微積分。 作者或許不知道這一句大話有多麼嚴重。 誠然，大多數理工背景的專業人員都在大學一年級學了微積分， 但是把它說成大家熟知的基本工具，如果不是負氣而故意說大話，就是無知。 微積分至今三百年，數學家還有許多掌握不住的觀念和應用。 所謂「我們熟知的微積分」，差不多在大學二年級的後續課程結束時，也跟著結束了。 剩下的，都是不熟知的，甚至未知的。 記得有一次聽劉太平教授演講，他的開頭就說微分方程很難，說了三遍。 然後自問為甚麼呢？問了三遍。然後自答：因為它要用到微積分。 大家都笑了；並不是嘲笑他，而是會心地笑了。 一個專業人士是不會在大庭廣眾之下說前面那種大話的， 但是一名初出茅廬的科普作家卻敢寫，因為他不知道那是會鬧笑話的大話。 可惜，一般讀者可能也不知道那是一句不恰當的陳述。
因此，在專業領域以外，在普羅大眾的心目中，這段歷史就此定案： 白人數學家是對的，白人哲學家也是對的， 項武義就連他本來是個優秀數學家的尊嚴都被毀棄了。 就算他在 2001 年 12 月出版了一本書來再度詳述自己的見解， 並解釋或訂正貝茲德克在 1997 年給原證明提出的反例 (p. 204)， 也無濟於事了；他必須找到社群中等值等量的另一批專業人物， 最好是白人，願意讀懂他的論文，提出反例，或者作證。 因為，歷史已經幾乎定稿，最近不會再用立可白塗去了。
我可沒有說，項武義教授必然是對的。 不論是幾何證明，還是離散數學的證明，都超出我個人的專業範圍。 如 287 頁所寫，『專家說了算』。 數學社群相信那一小群已經具有發言權的專業同行， 整個學術界相信數學社群。 而社會大眾呢？他們相信媒體，當然也包括像這本書這樣的科普讀本。 因此，不論我怎麼說，這本書參與了歷史的塑造過程，所有的讀者也都是幫手。
這麼說起來，數學定理豈不是很不可靠：它只是很少數幾個人認證過的敘述。 倒也不至於。數學這盞如豆的青燈，如此延燒了兩千多年， 至少從歐幾里得的時代開始，這個標準、這個風格，師徒相傳至今。 我們當然曾經出錯，除了那些寫下來之後再也沒有人關心的無聊數學， 就算錯了也無關緊要之外， 我個人倒不知道有任何一份數學文獻， 能夠被認定為「正確」超過 30 年之後才發現錯誤的。 一個有趣的例外是牛頓的《自然哲學中的數學原理》這本揭示微積分的大作， 居然在慶祝出版 300 週年的時候， 被美國一位高中生發現一個計算錯誤 (在英譯本內)。 即使只是個不重要的計算錯誤，但是它畢竟藏了 300 年。 我個人猜想的可能原因有二： 當初用拉丁文寫，讀的人已經不多； 而牛頓出版此書時，他和萊布尼茲分別提出的這種超級有力的計算方法， 已經在英法德之學術界流傳甚廣，牛頓出版這本書的宣示意義大於實用意義， 當時的學者並不必真的用力讀這本書。
既然最後成功的證明是經過線性規劃這種想法得到的， 因此競相拉低上界的那一條路，其實是走岔了的冤枉路。 這種事情相信在各種學科都曾經發生，特別經常發生在學生身上。 因此我又不免質疑：有必要為那歷史上的冤枉路寫這麼多記載嗎？ 莫非作者有其他的目的？ 例如：確保曾經走在這條冤枉路上的所有人物，仍能維持他們的歷史地位。
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