| 科學月刊【數‧生活與學習】專欄 | 95 年 3 月 |
大多數人可能根本沒有想過這個問題。 但是，或許您只是忘了自己曾經在4歲的時候問過。 大多數人問這個問題的時候，或許並不嚴肅，而把它當作一個俏皮的問題， 或者把它當作一個顯示自己頗有深奧思想能力的問題。 當一個數學老師被問及這個問題，有時候他認為孩子可愛而樂於陪他玩玩， 有時候他以為受到惡意挑戰深具戒心； 但是我猜想，大多數的數學老師寧可一輩子沒遇上這個問題。
雖然很想至少禮貌性地稱讚這個問題， 但是其實我真心想說的是：「別鬧了。」 這並不是一個深刻的數學問題，甚至於不是一個有意義的哲學問題， 它充其量只是一個語言學問題。一加一之所以等於二， 只是因為一加一的意思是「一後面的那個整數」， 恰好那個序數在我們的語言中稱為「ㄦˋ」，而它恰好被寫成「二」。 在另一種語言中，它可能被寫成「2」或者「Ⅱ」， 或者被寫成 two 或者 zwei 或者 duo， 或者其他各種超出我們想像力的書寫符號與喉舌發音。 甚至在另外一套自我完備的記數系統中，1＋1 等於 10， 那麼 10＋1 就是 11，而 11＋1 等於 100。
什麼是整數？就是語言中，被用來點數同類物件而指稱其總量的名詞。 這種語言能力是 40 萬年演化的結果，人類如何產生並掌握了語言能力， 似乎也離開了語言學的範疇，更超出了作者的知識範圍。 自從 16 世紀歐洲的航海大發現時代以來，所有被認為是「人」的族類， 並不全部具有文字文化，但是都有語言。 就連屬於最原始生存形式的新幾內亞叢林人種， 也都有能夠數到六的語言。
對於那些硬要追根究柢地問什麼是整數的人， 數學其實也有套正規的答案。 令空集合代表 0，以空集合及其冪集合產生代表 1 的集合； 單純地用子集合、冪集合和集合運算（交集聯集與差集）， 數學可以從空集合出發，定義出代表0和所有正整數的集合， 以及它們之間的加減計算。這是個極具哲學意涵的結構： 所謂無極生太極，從空集合可以定義 1。 這整個結構不需外求於任何物質，只需要純粹的想像力， 任何人都能想像空集合，而且空集合永遠存在。美則美矣， 並非所有數學家都讚賞這套集合論的整數模型。
可能更多的數學家認為：什麼「是」整數應該透過整數有些什麼功能來回答。 所謂功能，包括有哪些動作（例如四則運算）可以作用在它們之上？ 而它們又因為這些動作產生了什麼彼此的關係（例如互質）？ 就好像什麼「是」象棋，不該由棋子和棋盤的外觀來定義， 而是由棋子在棋盤上的遊戲規則來定義 （《棋王》那部小說或電影裡面，有許多不用棋子下棋的象棋高手。） 對大多數人而言，所謂功能就等於這個抽象結構被具象化的應用模式 （例如點數一類物件的總量）。 仔細反省，當我們宣稱「了解」整數的時候， 其實是否只是意味著我們熟悉了整數的操作規則和應用模式呢？ 讀者或許太熟悉整數而難以體會它的抽象性，那麼不妨想想向量。 高中時期，經常用一根帶著箭頭的線段作為向量的表徵， 那只是一個方便之門，那並不「是」向量。 不能跨越這個障礙，而以其功能來了解向量的人， 將被擋在「多項式是一個向量」的牆外，而恐怕不能踏入更深一級的數學。
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