科學月刊【數‧生活與學習】專欄 95 年 10 月

一尺之捶日取其半

莊子天下篇 (第33) 有『一尺之捶日取其半萬世不竭』: 一尺長的木杵,每天截取它當時的一半,永遠也砍不完。 這是個非常具有數學趣味的想像。如果這根木杵今天的長度是 1 尺, 明天被砍成 ${1\over2}$ 尺, 後天是 ${1\over4}$ 尺, 三天後是 $({1\over2})^3$ 尺,n 天後的長度將是 $({1\over2})^n$ 尺。 不管 n 有多大,就算一萬年後,還是有 $({1\over2})^{3652422}$ 尺。 就數學而言,不論這個數有多小,畢竟大於零; 那根木杵,不論它以甚麼形式存在著,畢竟還是存在。

前述的變數 n 只取正整數。 我們也可以容許它是實數,此時則習慣性地將變數寫成 x。 像 $({1\over2})^x$ 這樣形式的函數, 稱為指數函數,因為變數被放在指數的位置。 請先別問當 x 不是整數、甚至不是分數的時候, 要怎樣計算 $({1\over2})^x$?我們將會回到這個問題, 甚至將會知道 x 不但還可以是複數,而且具備非常美妙的意義; 美得足以導出數學中最美的等式。

一般的指數函數形如 $a^x$,其中 a 是一個固定的正數。 指數函數經常用來描述「按比例成長」或「按比例衰退」的情況。 莊子所想像的情況,就是按比例衰退:每天變成前一天的一半。 在語言上,所謂成長 3%,是變成原有之 1.03 倍的意思; 所謂衰退 3%,是變成原有之 0.97 倍的意思。 所以,不論是成長還是衰退, 底數 a 都是正數:$a>1$ 代表成長, $a<1$ 代表衰退。 在實務上我們只需要正的底數,在技術上我們規定底數必為正數。

如果乘上一個係數,單項指數函數通常寫成 $P\,a^x$P 是當 $x=0$ 時的函數值,也就有「原來的量」的意義。 如果莊子寫的是『三尺之捶...』,則木杵的長度就是 $3({1\over2})^x$。 如果一開始的儲金是 P 元,以 3% 的年利率並且每月以複利計息一次, 則存了 x 月之後的儲金就是 $P(1+{0.03\over12})^x$。 這時候 $a=1+{0.04\over12}=1.0025$。以此狀態存款一年, 成長率是 $1.0025^{12}\approx1.0304$, 銀行會說這筆存款的年收益率 (APY: Annual Percentage Yield) 是 3.04%; 這個數據比年利率好看一點點。 以此狀態存款 x 年之後的儲金將是 $P(1.0304)^x$

畢達哥拉斯 (畢氏定理的那位) 發現,當琴弦的長度減半,琴音高了八度 (他還發現了其他關於和弦的數學關係)。 換個語言來說,聲波頻率的兩倍,造成聽覺上高了八度的樂音。 按住吉他的一根弦就相當於臨時縮短了弦長, 可以簡單地實驗, 當弦長變成 ${1\over2}$ 時音高了八度, 變成 ${1\over4}$ 時再高八度。 中央 C 的頻率大約是 264Hz,高八度的 Do 是 528Hz,再高八度的 Do 是 1056Hz。 再怎麼厲害的女高音,也很難發出 2000Hz 以上的聲音。 在 264--528Hz 這一段 264 的頻寬中,有 12 種音符, 但是在 1056--2112Hz 這一段 1056 的頻寬中,也是只有 12 種音符。 對我們來說,音符才是有意義的訊息; 這個現象反應了訊號處理這門知識的一則基本原理: 高頻的資訊較疏,低頻的資訊較密。

雖然鋼琴的高音弦和低音弦使用不同的材質, 因此不完全符合長度和音高的指數關係,但是大致上相去不遠。 這就是為甚麼平台鋼琴的外型,總是長得那副模樣。 當您欣賞著平台鋼琴或是教堂講壇背後管風琴的曲線時, 您就正在欣賞著一種指數函數的圖形。


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Created: Sep 21, 2006
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