莊子天下篇 (第33) 有『一尺之捶日取其半萬世不竭』：
一尺長的木杵，每天截取它當時的一半，永遠也砍不完。
這是個非常具有數學趣味的想像。如果這根木杵今天的長度是 1 尺，
明天被砍成 
尺，
後天是 
尺，
三天後是 
尺，n 天後的長度將是
尺。
不管 n 有多大，就算一萬年後，還是有
尺。
就數學而言，不論這個數有多小，畢竟大於零；
那根木杵，不論它以甚麼形式存在著，畢竟還是存在。
前述的變數 n 只取正整數。
我們也可以容許它是實數，此時則習慣性地將變數寫成 x。
像 
這樣形式的函數，
稱為指數函數，因為變數被放在指數的位置。
請先別問當 x 不是整數、甚至不是分數的時候，
要怎樣計算 ？我們將會回到這個問題，
甚至將會知道 x 不但還可以是複數，而且具備非常美妙的意義；
美得足以導出數學中最美的等式。
一般的指數函數形如 
，其中 a 是一個固定的正數。
指數函數經常用來描述「按比例成長」或「按比例衰退」的情況。
莊子所想像的情況，就是按比例衰退：每天變成前一天的一半。
在語言上，所謂成長 3%，是變成原有之 1.03 倍的意思；
所謂衰退 3%，是變成原有之 0.97 倍的意思。
所以，不論是成長還是衰退，
底數 a 都是正數：
代表成長，
代表衰退。
在實務上我們只需要正的底數，在技術上我們規定底數必為正數。
如果乘上一個係數，單項指數函數通常寫成
。
P 是當 
時的函數值，也就有「原來的量」的意義。
如果莊子寫的是『三尺之捶...』，則木杵的長度就是
。
如果一開始的儲金是 P 元，以 3% 的年利率並且每月以複利計息一次，
則存了 x 月之後的儲金就是
。
這時候 
。以此狀態存款一年，
成長率是 
，
銀行會說這筆存款的年收益率 (APY: Annual Percentage Yield) 是 3.04%；
這個數據比年利率好看一點點。
以此狀態存款 x 年之後的儲金將是
。
畢達哥拉斯 (畢氏定理的那位) 發現，當琴弦的長度減半，琴音高了八度
(他還發現了其他關於和弦的數學關係)。
換個語言來說，聲波頻率的兩倍，造成聽覺上高了八度的樂音。
按住吉他的一根弦就相當於臨時縮短了弦長，
可以簡單地實驗，
當弦長變成 時音高了八度，
變成 時再高八度。
中央 C 的頻率大約是 264Hz，高八度的 Do 是 528Hz，再高八度的 Do 是 1056Hz。
再怎麼厲害的女高音，也很難發出 2000Hz 以上的聲音。
在 264--528Hz 這一段 264 的頻寬中，有 12 種音符，
但是在 1056--2112Hz 這一段 1056 的頻寬中，也是只有 12 種音符。
對我們來說，音符才是有意義的訊息；
這個現象反應了訊號處理這門知識的一則基本原理：
高頻的資訊較疏，低頻的資訊較密。
雖然鋼琴的高音弦和低音弦使用不同的材質， 因此不完全符合長度和音高的指數關係，但是大致上相去不遠。 這就是為甚麼平台鋼琴的外型，總是長得那副模樣。 當您欣賞著平台鋼琴或是教堂講壇背後管風琴的曲線時， 您就正在欣賞著一種指數函數的圖形。