相看兩不厭
指數與對數

如果每天砍掉一根木杵當時長度的一半，幾天以後它的長度是原來的 1/8？稍微思考這個問題，就知道答案跟木杵原本的長度沒有關係，我們問的只是對甚麼數 x 而有 ${1\over 2}^x={1\over 8}$ ？相信大部分讀者都知道答案是 3：三天後木杵的長度是原來的 1/8。如果杜絕了污染源之後，河流每年能夠自然排除 20% 的污染 (污染量是去年的 0.8 倍)，多少年後可以排掉 80% 的現有污染 (污染量是原來的 0.2 倍)？如果以固定的 4% 年收益率長期存款 (存款是去年的 1.04 倍)，多少年後可以「翻兩番」(存款是原來的 4 倍)？理解了問題之後，就知道前者的答案並不是 4，而後者的也不是單純地 4/1.04。其實前者是問，對甚麼數 x 而有？後者是問，對甚麼數 x 而有？
若 a 是一個正數，如果對 x 而有，我們將 x 記做 $\log_ab$ 。不妨將 $\log_a$ 視為專門對付 a^x 的一種動作，稱為『做以 a 為底的對數』，它使得 $\log_a a^x = x$ 。把 $\log_{0.8}$ 作用在的等號兩側，就得到 $x=\log_{0.8}0.2$ ，也就是做 0.2 以 0.8 為底的對數。把 $\log_{1.04}$ 作用在的等號兩側，就得到 $x=\log_{1.04}4$ ，也就是做 4 以 1.04 為底的對數。
但是，打開高中數學課本附錄內的對數表、搜尋計算器的按鍵或者電腦軟體的指令，似乎都找不到以 0.8 為底、以 1.4 為底的對數表或者計算指令。這是因為，很幸運地，對數的一個基本性質使得我們發現它的「底」是甚麼並不重要，只要固定一種底數，以甚麼為底的對數都能計算。因為 $b^2=(a^x)^2=a^{2x}$ ，所以 $\log_ab^2=\log_aa^{2x}=2x=2\log_ab$ ；同理 $\log_ab^c=\log_aa^{cx}=cx=c\log_ab$ 。從這個經驗，就讓我們相信吧：一般而言，任意挑一個正數 d 當作底， $\log_db^c=c\log_db$ 都是對的。所以將 $\log_d$ 作用在的等號兩側，就得到 $x\log_d0.8=\log_d0.2$ ，因此 $x=\log_{0.8}0.2=\log_d0.2/log_d0.8$ 。同理 $\log_{1.04}4=\log_d4/\log_d1.04$ 。
所以製作對數表或者設計對數計算電路的人，只要以任何一個方便的底數 d 來計算即可。如果全世界都約定了同一個底數 d，就沒必要總是拗口地一再聲明底數是誰，只要說『做 0.2 的對數』或者『做 0.8 的對數』即可，而符號上也簡化成 $\log0.2$ 或者 $\log0.8$ 。高中課本提供了以 10 為底的指數與對數表，可惜 10 並不是當今世界共同約定的底數，而是某個大約 2.71828 的無理數。這個常數就像圓周率 $\pi\approx3.14159$ 一樣重要，重要到我們必須為它取個名字。前面已經用過了英文字母 a,b,c,d，那就用 e 來代表它吧。
如果計算器提供了 LOG 和 LN 兩種功能，那麼通常 LOG 就是 $\log_{10}$ (稱為常用對數) 而 LN 就是 $\log_e$ (稱為自然對數)。如果只有 LOG，您可以試試看 LOG(10) 的計算結果：若是 1 則它是常用對數；不然就應該是大約 2.3，則它是自然對數。不論是哪一種對數，前面那兩個問題的答案都是 $\log0.2/\log0.8\approx7$ 和 $\log4/\log1.04\approx35$ ：大約七年後才能再見河清，大約 35 年後才能有四倍的存款。
但是讀者想必並不關心求解這種技術性的小事，您或許想問的是：為甚麼好好的不用 10 當作底數，而要搞一個怪怪的無理數 $e\approx2.71828$ 出來？難道以 e 為底的對數，就真的比以 10 為底來得好算？不論好算還是難算，課本上那張對數表，乃至於電子計算器那神奇的 LOG 按鍵，究竟是怎麼算的？畢竟那也是人做出來的，不是外太空掉下來的也不是土地裡長出來的。如果您有這種好奇心，我要先向您致敬，然後說下回見。