科學月刊【數‧生活與學習】專欄 95 年 12 月

次方計算

我們已經記不清楚是在什麼時候學習整數次方的計算了, 例如 6.54 的 3 次方就是 6.54 乘以自己三遍。 幾乎所有成人都知道這個算則,或許是因為這是很年幼的時候學習的, 也或許大家在「生活」中需要這種計算,因此就記得了。 但是可能有一部分讀者忘記了 6.54 的 1/3 次方也可以說是 6.54 開三次方根。 忘記它的原因,可能是在「生活」中不曾需要執行這種計算, 也有一個可能,是學校裡的數學教育缺乏脈絡, 因此不容易建立可供長期記憶或推理的知識。 如果 6.541/3=x,那也就是 x3=6.54。 因此 6.541/3 的根本意義是求解 x3=6.54: 找到一個滿足這條等式的正數 x,它就是 6.54 的 1/3 次方。

在沒有更好辦法的情況下,我們直接使用十進位小數的意義來估算。 因為 13=1 < 6.54 而 23=8 > 6.54, 所以我們知道 6.541/3 在 1 和 2 之間; 這也就是說它的整數部份是 1。 接著我們有系統地計算 1.13, 1.23, ... 發現 1.83=5.832 < 6.54 而 1.93=6.859 > 6.54, 所以知道 6.541/3 在 1.8 和 1.9 之間; 這也就是說它的十分位是 8。 再來我們有系統地計算 1.813, 1.823, ... 發現 1.873=6.539 < 6.54 而 1.883=6.645 > 6.54, 所以知道 6.541/3 在 1.87 和 1.88 之間; 這也就是說它的千分位是 7。 至此,我們可以寫 6.541/3=1.87... 或者說 6.541/3 大約是 1.87。 1.873 和 6.54 之間只有千分之一的誤差, 如果足夠滿意了,就採用 1.87 當作 6.541/3 的估計值, 如果還不滿意,就繼續有系統地計算 1.8713, 1.8723...

越是重要的數學,就越快被隱藏在科技之下。 如今的工程型計算器都有一個可能記做 xy 的按鈕, 用來計算任意正數 xy 次方,例如 6.54 的 3.21 次方。 如果你就是負責製造那個按鈕的人,該怎麼辦呢? 在過去十五年之間,我一共被三個人問起這個問題: 一個是久未謀面的國中同學,一個是畢業了還記得老師的學生, 一個是我的小舅子。 他們都被賦予這種任務:在一個功能頗為有限的晶片上, 使用組合語言寫一個控制軟體。 控制的對象可能是溫度計,可能是掃描機,可能是數位相機。 在控制的過程當中,他們需要執行 xy, 這才想起他們有一個學數學的親戚朋友。

其實他們所需要的基礎知識,在高中二年級以前就學過了:指數與對數。 對任何一個正數 x$x=b^{\log_bx}$, 所以 $x^y=b^{\log_bx^y}=b^{y\log_bx}$。 每一個理工科的大學生,都在高中時期做過非常多稀奇古怪的指數與對數考題, 但是有點遺憾的是,似乎我們在高中時期都不曾獲得一個重要的概念: 任意正數的次方計算,其實是透過指數和對數來定義的! 這個重要的脈絡和核心的概念,被掩埋在令人目不暇接的技巧性計算題裡面。

但是故事還沒有結束。 高中課本提供了以 b=10 為底的指數對數表, 所以 $6.54^{3.21}=10^{3.21\log6.54}$ 可以查表得到答案。 萬一所需的數值不在表上,課本還教了我們線性插值。 可是我的工程師朋友們被交付的那顆晶片,並沒有提供指數對數表啊。 高中數學課本也不曾交代,附錄裡的指數對數表是怎麼算出來的。 或許他們認為高中生對這個問題沒有興趣, 但是我記得自己曾經為這個問題苦惱許久, 就好像我曾經在國中時期為了 $2^{\sqrt2}$ 的意義苦惱許久一樣; 我相信那些數據不是外星人給我們的,如此而已。


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Created: Nov 14, 2006
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© Copyright 2006 Wei-Chang Shann

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