文明的巨輪

別小看輪子，它可是一個重要的文明指標。雖然人們抬頭看太陽和（滿月時的）月亮，都見到圓形，卻不是每個族群都能從中萃取圓的性質，更遑論應用那些性質。巴比倫、埃及、印度和中國，是那些發現並且有能力應用圓的古老民族，他們都發明了輪子。整個美洲的原住民，除了安第斯山脈裡的某個部落曾經有過單輪人力車以外，不曾發明過輪子。輪子（和圓）是如此的基本而偉大，所以當有人做出很了不起但是卻也很可惜是個無知的創作時，西諺就說那人『重新發明了輪子』。
那些會製造輪子的文明，都獨立地發現了，圓周長與直徑成比例，那個比值就稱為圓周率。自從一位英國紳士 William Jones (1675--1749) 在他 1706 年（牛頓時年 64 歲）出版的《A New Introduction to the Mathematics》（數學新導論）裡面使用作為圓周率的縮寫之後，這個符號便流傳至今，成為它的標準符號了。是對應拉丁字母 p 的希臘字母，而 p 是 periphery (周圍) 的起頭字母；這裡所說的周圍，當然是指直徑為 1 的圓周。學生們常將 $2\pi r$ 視為圓周長的公式（r 代表半徑），其實它是圓周率的定義。而後發現圓的面積等於以圓周為底、半徑為高的三角形面積，也就是
$\begin{displaymath} \frac12\times(2\pi r)\times r = \pi r^2 \end{displaymath}$

這條公式，則是如發明輪子般的基本而偉大；我們通常在小學五、六年級認識這個性質，而後理所當然地使用它，直到高三或大學的微積分課程才首度看到嚴格的證明。
人們似乎對的數值有著特別的狂熱。我們知道是無理數，因此它的數值在小數部份將有無窮多個沒有規則的數字。就實用目的而言，追求精確的十位或者二十位小數是有道理的；但是自古以來就不斷有人熱切地挑戰更高的位數。就連個人也都經常以背誦的數值為樂（或者以此炫耀）：儘管實際上 3.14 或 3.1416 通常足敷使用。我的教書生涯中，經常遇到自稱可以背誦到五十甚至一百位的學生（以台大數學系者居多）。不知道什麼時候，有人創作了一首法文詩，每個字的字母個數依序是的前 31 個數目字，可以用來幫助記憶的數值。在中文方面，從中央大學數學系退休的王九逵教授創作了一首詩，以筆劃數對應的前 31 位數值 (3.141592653589793238462643383279)：
弓一夫一付
派人共四千打的急
但是大刀小斧不合又多欠工
才怯下了兵威
王教授曾特別囑咐，他明白那個「的」是別字，應該是「得」才對，但是為了湊筆劃不得已而為之。這首詩和《科學月刊》深具淵源：它是在整整 33 年前（1974 年 3 月號）發表於此的。因為沒有零筆劃或零字母的字，所以這種「油詩」遇到數值 0 就走不下去了。而的第一個零恰好出現在第 33 位 (王教授的詩後面跟著「50」兩個數字)。 33 年前的那篇文章也介紹並翻譯了法文、德文及英文的「油詩」各一首，不另贅附於此。
的數值計算，即使超出了實際需求的範圍，卻如同一輻時代的巨輪，具有文明發展的指標意義。計算的方法之一，當然是畫一個很精確的圓然後測量它的周長；我們鼓勵小學老師帶領學生親手做這個嘗試。想想即使在能夠精確測量到奈米尺度的實驗室裡，也只能大約以此科技估計到小數點下第 9 位，就知道小學生如果能靠著測量而計算到小數點下第 1 位，實在已經是難能可貴了。
整個計算的歷史雖然有三千年，但是大致而言只有兩種數學方法。第一種是幾何的，基本上就是以圓的內接或外切正多邊形的周長來代替圓周長。假設圓的半徑是 1/2，則它的周長就是。所謂「周三徑一」就是說 $\pi\approx3$ ，那是其內接正六邊形的周長（每一條邊的長度等於半徑，也就是 1/2）。以這個簡單的事實作為起點，將內接正六邊形的每個邊破分成兩個邊，造成一個內接正十二邊形；利用平面幾何中關於圓心角與圓周角的性質，再利用正弦的半角公式，可以推導一個遞迴公式，從正六邊形的周長推算正十二邊形的周長。同樣的公式就能計算正 24 邊形的周長，然後再代入計算正 48 邊形的周長，依此類推。說起來很簡單，但是那個遞迴公式的計算牽涉兩次開平方根，在古代並不容易執行。公式如下
$\begin{displaymath} P_{n+1} = K_n\times\sqrt{2(1-\sqrt{1-(P_n/K_n)^2}\,)} \end{displaymath}$

其中 $K_n=2^n\times6$ 而 P_n 是前述之圓內接正 K_n 邊形的邊長。從 P₀=3 開始，代入 P₀ 和 K₀ 可以計算 P₁，然後代入 P₁ 和 K₁ 可以計算 P₂，依此類推，這就是所謂遞迴公式的用法。阿基米德、劉徽和祖沖之父子，可能都是用這套方法。他們更厲害的是，都以分數估計平方根的計算結果，而得到漂亮的分數估計值：22/7 或 355/113，後者準確到 10^-6，這大約是以同樣方法經過非常努力的人力計算所能達到的最佳結果了。
要在幾何方法上得到本質的進步，意味著在平面幾何和三角的功力上，要超過阿基米德的水準；這聽起來就不太容易。這方面的最後成就大約發生在 1620 年代，也就是微積分誕生的前夕。以折射定律傳世的 Snell (1580--1626) 用類似阿基米德做三等分角（非尺規作圖）的手法，導出圓與三角形的新幾何性質，藉以提高計算的效能：只用內接正六邊形，就能計算出三位準確數字 (3.14)。即使如此，非凡的幾何洞見與超人的計算耐力，幾何類的方法也只能準確到大約 10 位數這個水準。
如今的套裝軟體，即使只是在一般的家用電腦中執行，也可以輕易計算到三千位以上，它們靠的就是能夠提供無窮計算資源的無窮級數（參閱本欄一月）。無窮級數（和微積分）的出現，一舉突破了橫阻數十代人的障礙，將人力計算的推到 100 位數的水準。能夠用來計算的無窮級數不只一個，形式最簡單的應屬 Gregory (1638--1675) 的
$\begin{displaymath} \pi = 4\times(1-\frac13 +\frac15 - \frac17 + \frac19 -\cdots) \end{displaymath}$

其實他發現的是反正切函數的級數展開，就像指數與對數函數的級數展開一樣（參閱本欄二月）：
$\begin{displaymath} \tan^{-1}x = x - \frac{x^3}3 + \frac{x^5}5 - \frac{x^7}7 + \frac{x^9}9 - \cdots \end{displaymath}$

前面的級數只是代入 x=1 而已。 Gregory 在 1671 年於私人信件內透漏了反正切的級數函數，卻沒有提到用它來計算的特例，那個特例是萊布尼茲在 1682 年發表的。這可能是因為 Gregory 已經知道那個級數收斂得過份慢而沒有實用價值：計算一百萬項只能得到六位正確數字，而萊布尼茲當時已經在思考自動化計算機械的可能，他認為這種繁瑣但有規則的計算，將可以由機器代勞。
其實，在外人不知情的閣樓裡，24 歲的年輕牛頓已經在 1666 年利用 $\sqrt{1+x}$ 的二項式展開（參閱本欄一月）和定積分，發現了一個效率比較高的無窮級數，可以計算 22 項而得到 15 位正確數字。但是那個級數長相比較醜，比較少在歷史著作以外的地方亮相。近代的印度天才 Ramanujan (1887--1920) 憑空寫下了更多能夠計算的高效率無窮級數。但是因為電子計算機的發達，人們通常也不必追求太高效率的級數。在級數的效率和寫程式的方便之間妥協，經常以 Machin (1680--1752) 等式
$\begin{displaymath} \pi = 16\tan^{-1}\frac15 - 4\tan^{-1}\frac1{239} \end{displaymath}$

配合反正切函數的級數展開（分別代入 1/5 和 1/239）來計算。如此巧妙安排之後，只要將兩個反正切級數各算四項，就能得到六位正確數字。這和代入 1 的效率相比，真可謂天壤之別。
1949 年 9 月，史上第一部可變程式的電子計算機 ENIAC，在它不為炮指部做彈道計算的餘暇，以 70 個小時用 Machin 等式計算出的 2,037 位小數。這個舉動開啟了一個傳統，新造的超級電腦總是以這個計算來初試啼聲。從此以後，的已知位數，就幾乎按照莫爾定律 (Moore's Law) 在成長了。
以為主角的數學科普讀物很多，我有一本電機系教授 Petr Beckmann 在 1970 年出版的《A History of Pi》，可惜似乎沒有中譯本。推薦一本相關的中譯讀物《毛起來說三角》，淡江大學胡守仁教授翻譯，天下文化出版。明明來自於完滿渾潤的圓形，卻扯上了尖尖銳利的三角形，數學這個知識體系，就是這樣盤根錯節地美妙相連啊。

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