,
i 和 e。其中 i 是單位虛數，
還記得它的讀者，大概立即反應的心像是：根號 -1，或者是
的解 (或說「根」）。
那是代數的看法，也是教育體制中的正規起手式。
在代數看法之後，
高中數學教育其實也舉出了虛數的幾何看法，
即所謂的「複數平面」。
但是，可能是教材過於緊湊，而考試又不常出現，
幾何看法最後還是變成代數操作 (例如計算單位次方根)。
像 1+i, 2-i, 3+4i 這樣的數學物件，
稱為「複數」(complex number)。
因為在口語上與「負數」同音，所以我們經常用英語說複數。
一般而言，只要 x 和 y 是兩個「實數」，
也就是普通使用的那些數啦，則
就是一個複數。
在本質上，複數其實是平面向量；這就是複數不能比大小的根本原因。
高中學生要分別理解 (並內化) 複數和平面向量兩種
(對他們來說) 全新的數學物件，
已經非常勞神費力，更何況這兩者在短期內接踵而至，
也真難為他們了。我認為，學生們難以連結複數和平面向量，
恐怕是課程設計的問題，而不能苛責學生。
我們知道向量有兩個屬性：方向和長度。
向量所在的位置，也就是它的起點和終點，並非屬性；
我們不在乎向量放在哪裡，只在乎它的方向和長度。
這個設計的理由是為了討論物理的方便，眾人皆知「力」可以用向量來表徵，
在討論施力的物理效應時，我們當然只在乎力的方向和強度，
不在乎是在家裡施力還是在國際機場施力。
因此，所有的平面向量可以全部移到起點在原點來討論，
而它的兩個屬性就可以用終點的兩個坐標值來推算，記作
。
所以，平面上的每個點就代表一個向量。
將向量的長度記作 r，
它的方向可以用它與 x 軸的夾角來表示，記作
，
而且
。
那麼，一個平面向量的兩個屬性也可以寫成
。
知道到這裡，其實向量也可以用「字典排法」來比大小：
兩個向量先比長度，長度大的就是大；如果長度相等就比夾角，
夾角大的就是大；如果長度和夾角都一樣，兩個向量當然就相等。
既然複數本質上就是平面向量，當然也可以記作
，
這就稱為複數的「極式」；其中的「極」字來自於「極坐標」。
不過，上述比大小的方法，雖然合乎邏輯，
卻不同於我們直覺上對「兩個數比大小」的認知。
因此，除非經過特別解釋，我們還是說：複數 (或者平面向量) 不能比大小。
平面向量可以相加減，但是不能相乘除，當然也就沒有次方計算。
附帶說明一下，內積不算一種向量乘法，因為計算的結果不再是一個向量；
外積雖然將向量算成向量，但是它定義在空間向量上，我們不岔過去討論了。
一個非常偉大而美妙的數學內部連結，就是將平面向量的終點表示法
轉換成複數
。
如此轉換之後，複數不但保持了平面向量的屬性 (長度和方向)，
更可以做加減乘除的計算 (所以也有次方和開根號)。
除了比大小以外，我們能對實數做甚麼，就能對複數做甚麼，
複數的運算還保持了實數運算的所有規律：像交換律、分配律之類的。
事實上，複數帶進來更豐富、更美妙、甚至說是更神秘的性質，
曼德布洛特 (Mandelbrot) 碎形即為一例。
岔開一段話。 將空間向量連結成某種數，使得那種數盡量像實數一樣能夠做四則運算的企圖， 雖然有些成就，但是並不像平面向量與複數的連結那麼成功。 對於更高維度的向量，那種連結的企圖就可以說是失敗了； 或者說，至今尚未成功。 數學的主流思想，逐漸放棄了將高維度向量類化成實數的企圖， 而發展了現在所謂的線性代數和泛函分析。
如果我們想像實數運算讓對應的點在數線上跑來跑去，
則複數運算可以讓對應的點在平面上跑來跑去。
複數的加減就是向量的加減，假設我們已經知道它在平面上造成的對應關係。
在乘除計算中，我們舉最簡單的「自乘」為例。
從一個複數 z 開始，觀察
,
,
...，
它們大約像是繞成了螺旋狀，但是如果 z 的長度不及 1，就繞向原點，
如果超過 1，就越繞越遠，如果等於 1，就在圓周上面繞。
我特別為科月的讀者準備了圖片，請看
http://libai.math.ncu.edu.tw/~shann/Lite/essay/9604/multi.html。
此後，當我再說圖片的網址，就只寫最後的檔案名，
讀者自行添上前面的字串 (從 http 到 9604/)。
但是，稍微改變計算規則，先固定一個複數 c，一開始令 z=c，
然後做
；
令這個計算結果是新的 z，
對這個新的 z 做
(請忍耐一下，讀下去)；
再令這個計算結果是另一個新的 z，
再對這個新的 z 做 。
如此重複地做下去，每次計算的結果對應在平面上的點，就不再有顯然的變化規則。
例如，在
seq.html
裡面，為您表現 c=-1+0.30i 的變化情況，
和 c=-1+0.37i。
兩者的變化都沒有明顯的規則，但是，如果忽略那些細節，
只看計算的過程是否讓新的 z 變得越來越「長」，
也就是跑得離原點越來越「遠」，那倒是蠻明顯的：
從 (-1, 0.30) 這一點出發，按照上述規則計算的 z 不會越跑越遠，
但是從差之毫釐的 (-1, 0.37) 這一點出發，就跑得越來越遠。
現在，我們規定一個簡單的著色公式。 先在坐標平面上決定一個矩形區域， 譬如根據我的經驗 (任何人寫了程式去算算看，都能獲得同樣的經驗， 這裡沒有神秘之處)，選橫邊從 -2 到 0.5，縱邊從 -1.25 到 1.25 的矩形。 其實它是一個邊長為 2.5 的正方形，左下角頂點坐標是 (-2, -1.25)。 把這個正方形等分成 100 份，也就是橫邊等分成十份，縱邊也等分成十份。 從每個正方形的左下角頂點出發，各做前一段描述的計算 10 遍， 得到 100 個最後的 z。 如果那個 z 的長度超過一萬，就把它出發的小正方形塗白色， 否則就塗黑色。 這個數學公式決定了一百個小正方形的顏色：黑色或白色。 簡單地說，從黑色格子出發的 z 不會越跑越遠， 從白色格子出發的 z 會越跑越遠。 如果您真的很閒而且興趣高昂，可以自己做這個實驗。 按照上述公式畫出來的 100 個小格子，放在 mandel.html 裡面的第一張圖。
如果您覺得那張圖沒什麼意思，我們可以提高解析度， 把正方形的橫邊和縱邊各等分成 400 段，這樣就造成了十六萬個小格子， 從每個小格子的左下角頂點出發，執行上一段的程序十遍， 取得十六萬個最新的 z。 如果它的長度超過一萬，把它出發的那個格子塗上白色，否則塗上黑色。 這可就不是一般人願意嘗試的實驗了， 這也就是電腦該進場的時候。 其實，我只是在提高「解析度」，看 mandel.html 裡面的第二張圖。
雖然還是黑白剪影，但是它的外形是不是已經有點迷人了呢？
如果讓 的重複次數增加一些，
再把 z 跑遠的程度區別出來 (我們確實要讓五十步笑百步)：
譬如我們劃定 10000 這個界線，看看從每個方格出發的 z，
在幾步之後越過界線？
從來不曾越過的，塗上黑色，但是那些會越過的，就記下它們是在第幾步越過，
而指定它出發的小方格塗上那一號顏色。
所以，譬如說，我們就有 1 號色、2 號色、3 號色等等。
最後，只要決定所謂 1 號色是甚麼顏色、2 號色是甚麼顏色...就完成了著色。
這麼沒人性的著色規則，會好看嗎？ 您以前或許已經看過，如果沒有的話， 有幾幅學生的作品放在 mandel3.html 和 mandel4.html 給大家欣賞。它們都是「隔壁男孩」按照上述規則用電腦程式畫的， 並不是遙遠某處藝術家的作品。
【後記】96年4月28日在台北教育大學舉辦的2007張昭鼎研討會， 以此專欄作為演講底稿，配合兩篇網路教材使用：